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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath},~
\overrightarrow{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\overrightarrow{u},~\overrightarrow{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STI Génie mécanique B, C, D, E, des matériaux}
\lfoot{\small Métropole}
\rfoot{\small{septembre 2002}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
 
\begin{center}{\Large \decofourleft~\textbf{Baccalauréat STI Métropole  septembre 2002~\decofourright
\\[5pt]Génie mécanique B, C, D, E, des matériaux}} 
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 5 points}

\medskip

On désigne par i le nombre complexe de module $1$ et d'argument $\dfrac{\pi}{2}.$

On considère les deux nombres complexes :

\[z_{1} = 2\sqrt{3} + 2\text{i}~ \text{et}~z_{2} = 2\sqrt{2} - 2\text{i}\sqrt{2}.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Donner le module et un argument des deux nombres complexes $z_{1}$ et $z_{2}$. En déduire le module et un argument de
$\dfrac{z_{1}}{z_{2}}$.
\item  Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal \Ouv, d'unité graphique $1$~cm. Utiliser les résultats obtenus dans la question 1, pour placer les points A et B d'affixes respectives $z_{1}$ et $z_{2}$ en faisant apparaître les traits de construction.
\item  Vérifier que $\dfrac{z_{1}}{z_{2}} = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \text{i} \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$.	En comparant les formes algébrique et trigonométrique de $\dfrac{z_{1}}{z_{2}}$	donner les valeurs exactes de $\cos \left(\dfrac{5\pi}{12}\right)$  et de
$\sin \left(\dfrac{5\pi}{12}\right)$
\item  Soit C le point d'affixe $z_{3} =  4\dfrac{z_{1}}{z_{2}}$.	Placer le point C sur la figure faite à la question 1.
\item  Montrer que les trois points A, B et C sont situés sur un même cercle dont on précisera le centre et le rayon.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 4 points}

\medskip

On considère l'équation différentielle

\[4y'' + 9y = 0 \quad  	(\text{E})\]

où  $y$ désigne une fonction  numérique de la variable réelle $x$,
deux fois dérivable, et  $y''$ sa fonction dérivée seconde.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Soit $g$ la fonction numérique définie, pour tout nombre réel $x$,
par : $g(x) =  2 \cos \left(\dfrac{3x}{2} 	+ \dfrac{\pi}{6}\right)$.

Vérifier que $g$ est une solution particulière de (E).
\item  Résoudre l'équation différentielle (E).
\item  Déterminer la solution particulière $f$ de (E) telle que : 
$f(\pi) =  1$  et 

$f'\left(\dfrac{5\pi}{9}\right) = 0,{} f'$ désignant la fonction dérivée de $f$.
\item  Montrer que $f = g$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 11 points}

\medskip

Le but du problème est de déterminer la valeur exacte de 
l'aire de la région grisée sur la figure en annexe. Cette région 
est limitée par l'axe des ordonnées et deux morceaux de courbes 
symétriques par rapport à l'axe des abscisses.

\emph{Les parties A et B peuvent être traitées de manière 
indépendante.}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie, pour tout nombre réel $x$, par

\[f(x) = \dfrac{4 - \text{e}^x}{1 + \text{e}^x}.\]

Soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans le plan rapporte à un repère orthonormal \Oij, d'unité graphique $2$~cm. La courbe $\mathcal{C}$ est représentée sur la figure en annexe.
	
\medskip
	
\textbf{Partie A :  étude de la fonction} \boldmath  $f$ \unboldmath

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$. Que peut-on en déduire
	graphiquement pour $\mathcal{C}$ ?
\item  Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$. (On pourra vérifier que,
	pour tout nombre réel $x$, on a $f(x) =  \dfrac{4\text{e}^{-x} - 1}{\text{e}^{-x} + 1}$. Que peut-on déduire graphiquement pour $\mathcal{C}$ ?
\item  Déterminer, pour tout nombre réel $x,~ f'(x)$ où $f'$ désigne la 	fonction dérivée de $f$. étudier le signe de $f'$. En déduire le
	tableau de variations de $f$  sur l'ensemble des nombres réels ,
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer les coordonnées du point d'intersection A de
$\mathcal{C}$ avec l'axe des ordonnées.
		\item  Résoudre dans $\R$ 	l'équation $4 - \text{e}^x = 0$. En déduire que $\mathcal{C}$ coupe l'axe des abscisses en un point B dont on déterminera les coordonnées.
	\end{enumerate}
\item  Montrer que, pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle
$[0~;~2 \ln 2]$, on a  $f(x) \geqslant 0$.
\item  Placer les points A et B, puis tracer les droites asymptotes de $\mathcal{C}$ sur la figure en annexe à joindre à la copie.
\end{enumerate}

\medskip
	
\textbf{Partie B : calcul de l'aire de la région grisée}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Montrer que la fonction numérique $F$ définie, pour tout nombre réel $x$, par $F(x)   =  4x - 5 \ln \left(\text{e}^x + 1\right)$ est une primitive de $f$sur $\R$.
\item  Déterminer la valeur exacte, en unités d'aires, de l'aire de la région du plan limitée par la courbe $\mathcal{C}$, les deux axes du repère et la droite d'équation $x =  2 \ln 2$.

En déduire la valeur exacte, en cm$^2$, de l'aire de la région grisée, puis sa valeur arrondie au mm$^2$ près.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Annexe à rendre avec la copie}

\vspace{2cm}

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-6,-3)(6,5)
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{
\psplot{0}{1.38629}{ 2.71828 x exp 4 sub 2.71828 x exp 1 add div}
\psplot{1.38629}{0}{4 2.71828 x exp sub 2.71828 x exp 1 add div}
}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-6}{6}{4 2.71828 x exp sub 2.71828 x exp 1 add div}
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\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-6,-3)(6,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document} 