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\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Baccalauréat STI Génie mécanique, génie des matériaux}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2003}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~STI Génie mécanique, génie des matériaux septembre 2003~\decofourright\\[5pt]Métropole}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 5 points}

\bigskip

\textbf{Partie A}
 
\medskip

Le plan complexe $\mathcal{P}$ est rapporté au repère orthonormal
\Ouv{} (unité graphique : $2$~cm). On considère les points E,
F et G d'affixes respectives :

\[z_{\text{E}} = 1 + \text{i}\sqrt{3}\quad ;\quad z_{\text{F}} = 2 
z_{\text{E}}\quad;\quad  z_{\text{G}} = 3 + \text{i}\sqrt{3}.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Écrire $z_{\text{E}},~ z_{\text{F}}$ et $z_{\text{G}}$ sous forme trigonométrique.
\item Placer les points E, F et G dans $\mathcal{P}$.
\item Montrer que le triangle EFG est équilatéral. Le tracer.
\item Montrer que le point I $\left(2~ ;~ \dfrac{4\sqrt{3}}{3}\right)$ est le centre du cercle $\mathcal{C}$ circonscrit au triangle EFG. Tracer $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\parbox[l]{0.55\textwidth}{On considère que le disque déterminé par $\mathcal{C}$ forme une cible
décomposée en deux zones :

$\bullet~$ une zone triangulaire noire nommée N.

$\bullet~$ une zone blanche nommée B.

On suppose que la probabilité, pour un tireur, d'atteindre N est
$0,5$ et celle de rater la cible est $0,2$.} \hfill 
\parbox[l]{0.4\textwidth}{\begin{center}\psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(3,3)
\pscircle(1.5,1.5){1.5}
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=gray](0.25,0.7)(2.75,0.7)(1.5,3)
\uput[d](1.5,0){Cible}
\end{pspicture}\end{center}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité d'atteindre la cible ?
		\item Quelle est la probabilité d'atteindre B ?
	\end{enumerate}
\item On considère un tireur qui tire sur la cible.

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item S'il atteint B, il gagne $5$~euros.
\item S'il atteint N, il gagne $2$~euros.
\item S'il rate la cible, il doit payer $8$~euros.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Soit $X$ la variable aléatoire qui à chaque tir associe le gain correspondant (positif ou négatif).
	\begin{enumerate} 
		\item Définir la loi de probabilité de $X$.
		\item Calculer l'espérance mathématique de $X$. Le jeu est-il équitable ?
		\item Calculer la valeur arrondie à $10^{-2}$ près de l'écart type de $X$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 5 points}

\medskip

Par la suite, on désigne par I l'intervalle  $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$.

Soit $f$ la fonction définie, pour tout nombre réel $x$ de I, par

\[f(x) = \cos x + \sin x.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la fonction dérivée $f'$ de $f$ puis la fonction dérivée seconde  $f''$ de $f$.
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que, pour tout nombre réel $x$ de I, $f''(x) < 0$.
		\item En déduire le tableau de variations de $f'$ sur I.
		\item Calculer $f'\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$. En déduire le signe de $f'(x)$ pour $x$  appartenant à I.
		\item En déduire le tableau de variations de $f$ sur I.
	\end{enumerate}
\item Tracer la courbe $\mathcal{C}$ représentant $f$ dans le plan muni d'un repère orthogonal \Ouv. (Unités $4$~cm sur l'axe des abscisses et $1$~cm sur celui des ordonnées).
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que, pour tout nombre réel $x$ de I,
		
\[[f(x)]^2 = 1 + \sin 2x.\]

		\item En déduire une primitive sur I de la fonction qui, à tout
nombre réel $x$ de I, associe $[f(x)]^2$.
	\end{enumerate}
\item Soit V le volume du solide engendré par la rotation de $\mathcal{C}$
autour de l'axe des abscisses.

Calculer V en unités de volume.

(On rappelle que V $= \pi \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} [f(x)]^2\: 
\text{d}x$).
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 10 points}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Étudier, en fonction du nombre réel $x$, le signe de $x^2 - 1$.
\item Étudier, en fonction du nombre réel $x$, le signe de $\text{e}^x - 6$.
\item Déduire des questions précédentes, en fonction du nombre
 réel $x$, le signe de $(x^2 - 1)\left(\text{e}^x - 6\right)$. 
\end{enumerate} 

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère les fonctions $g$ et $f$ définies, pour tout nombre réel
$x$, par :

\[g(x) = -2x^3+6x \quad \text{et} \quad f(x) = (x - 1)^2\text{e}^x + g(x).\]

\medskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer la limite de $g$ en $- \infty$.
		\item Calculer la limite de $f$ en $- \infty$. (On rappelle que $\left. \displaystyle \lim_{x \to - \infty}  x^2 \text{e}^x = 0\right)$.
\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que, pour tout nombre réel $x$ non nul,

\[f(x) = x\text{e}^x\left(x - 2  + \dfrac{1}{x} - 
2\dfrac{x^2}{\text{e}^x} + \dfrac{6}{\text{e}^x}\right).\]

		\item En déduire la limite de $f$ en $+ \infty$.
	\end{enumerate} 
\item Montrer que, pour tout nombre réel $x$,

\[f'(x) = (x^2 - 1)\left(\text{e}^x - 6\right).\]

\item Déduire de la troisième question de la \textbf{partie A} le tableau de
variations de $f$.
\item Soient $\mathcal{C}$ et $\Gamma$ les courbes représentant respectivement $f$ et $g$ dans le plan muni d'un repère orthogonal \Oij, (Unités :
$2$~cm sur l'axe des abscisses et $1$~cm sur celui des ordonnées).
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer la limite de $f - g$ en $- \infty$,
		\item En déduire que $\mathcal{C}$ et $\Gamma$ sont asymptotes.
		\item Étudier les positions relatives de $\mathcal{C}$ et $\Gamma$ et préciser les  coordonnées du point E commun à $\mathcal{C}$ et $\Gamma$.
	\end{enumerate} 
\item La courbe $\Gamma$ est tracée sur la feuille annexe que l'on rendra
avec la copie. Compléter ce dessin en traçant $\mathcal{C}$ ainsi que les
tangentes à $\mathcal{C}$ aux trois points d'abscisses $- 1,~1$ et $\ln 6$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip
	
\begin{enumerate} 
\item Déterminer les réels $a,~ b$ et $c$ tels que la fonction $H$ définie, pour tout nombre réel $x$, par 

\[H(x) = \left(ax^2 + bx + c\right)\text{e}^x\]

soit une primitive de la fonction qui, à tout nombre réel $x$,
 associe $\left(x^2 - 2x + 1\right)\text{e}^x$.
\item Soit D, la partie du plan limitée par $\mathcal{C}$,\:$\Gamma$ et les droites d'équation $x = - 1$ et $x = 1$.

Colorier D puis calculer les valeurs exactes de l'aire de D en
unités d'aire et en cm$^2$.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
Figure annexée au sujet, à compléter et à rendre avec la copie

\medskip
\psset{xunit=1.5cm,yunit=1.1cm}
\begin{pspicture}(-3,-6)(4,14)    

\psgrid[gridlabelcolor=white](0,0)(-3,-6)(4,14)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-3,-6)(4,14)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[u](4,0){$x$} \uput[r](0,14){$y$}\uput[dl](0,0){O}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-2.426}{2.1035}{6 x mul x 3 exp 2 mul sub}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}