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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STI  Génie des matériaux, mécanique}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2006}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Métropole septembre 2006~\decofourright\\[5pt]Génie des matériaux, mécanique B, C, D, E}}
    
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 5 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation suivante :

\[  z^2 + 2 z\sqrt{3} + 4 = 0\]

On note $z_{1}$ la solution dont la partie imaginaire est positive, $z_{2}$ la solution dont la partie imaginaire est négative.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le module et un argument de $z_{1}$ puis de $z_{2}$.
		\item En déduire le module et un argument de $z_{1}^2$ puis de $z_{2}^2$.
		\item Donner les formes algébriques des nombres complexes $z_{1}^2$ et $z_{2}^2$.
	\end{enumerate}
\item Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal \Ouv{} (unité graphique : $2$~cm).
	\begin{enumerate}
		\item Placer les points A, B, C, D d'affixes respectives $z_{\text{A}} = - \sqrt{3} + \text{i},\\z_{\text{B}} = - \sqrt{3} - \text{i},~z_{\text{C}} = 2 - 2\text{i}\sqrt{3}$ et $z_{\text{D}} =  2 + 2\text{i}\sqrt{3}$.
		\item Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 5 points}

\medskip

Une entreprise produit des rondelles métalliques. Ces rondelles peuvent présenter deux défauts :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] un défaut de diamètre,
\item[$\bullet~$] un défaut d'épaisseur.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Le pourcentage des pièces présentant un défaut de diamètre est de 6\,\%. Celui des pièces présentant un défaut d'épaisseur est de 8\,\%. Le pourcentage des pièces présentant les deux défauts est de 5\,\%.
\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau suivant en indiquant dans chaque case le pourcentage correspondant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{3cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
							&Avec le défaut de diamètre&	Sans le défaut de diamètre&	Total\\ \hline
Avec le défaut d'épaisseur	&							&	&  \\ \hline
Sans le défaut d'épaisseur	&							&	&  \\ \hline
Total						&6\,\%						&	&100\,\% \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
\item Une pièce est choisie au hasard dans la production. Toutes les pièces ont la même probabilité d'être choisies. Montrer que la probabilité $p_{1}$ de présenter un défaut d'épaisseur et pas de défaut de diamètre est égale à 3\,\%.
\item  Une pièce est choisie au hasard parmi les pièces présentant un défaut de diamètre. Quelle est la probabilité $p_{2}$ qu'elle présente un défaut d'épaisseur ?
\item Soit $X$ la variable aléatoire qui à toute pièce de cette production prise au hasard associe le nombre de défauts observés sur celle-ci.

	\begin{enumerate}
		\item  Quelles sont les valeurs prises par la variable aléatoire $X$ ?
		\item  Donner sous la forme d'un tableau la loi de la variable aléatoire $X$.
		\item  Calculer E($X$), l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$ (on détaillera les calculs effectués).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 10 points}

\medskip

\textbf{Partie I :}  étude de la fonction $f$

\medskip
	
Soit $f$ la fonction définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par : 

\[f(x) = \dfrac{\text{e}^x + \text{e}^{-x}}{2}.\]

On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le repère orthonormé \Oij{} d'unité graphique $5$~cm.
\begin{enumerate}
\item Étudier la parité de la fonction $f$ sur $\R$.

En déduire une propriété géométrique de la courbe $\mathcal{C}$.
\item Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$, puis en $- \infty$.
\item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur $\R$. Déterminer $f'(x)$.
\item Étudier le signe de $\left(\text{e}^x + \text{e}^{-x}\right)$ sur $\R$.

En déduire le signe de $f(x)$.
\item Construire le tableau de variations de la fonction $f$ sur $\R$.
\item Sur une feuille de papier millimétré, et en utilisant le repère indiqué, construire la portion de la courbe $\mathcal{C}$ dont les abscisses appartiennent à l'intervalle $[-2~;~2]$.

Placer les points A et B de la courbe $\mathcal{C}$ d'abscisses respectives $-1$ et $1$.

On rappelle que l'unité graphique est 5~cm.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie II :} étude de la longueur d'un arc de la courbe

\medskip

On appelle $\ell$ la longueur de l'arc $\widearc{\text{AB}}$ de la courbe $\mathcal{C}$.

\begin{enumerate}
\item Déterminer les coordonnées du point E d'abscisse $0$ de la courbe $\mathcal{C}$.
\item  Calculer, en centimètre, les valeurs exactes des longueurs AE et EB.

En déduire qu'une valeur arrondie à $10^{-2}$ de (AE + EB) est égale à  11,38 cm.
\item   On admet que la longueur $\ell$ de l'arc $\widearc{\text{AB}}$ est donnée en centimètre par la formule suivante :

\[\ell = 5 \times \int_{-1}^{1} \sqrt{1 + [f'(x)]^{2}}\:\text{d}x.\]

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $1+ [f'(x)]^2 = \left(\dfrac{\text{e}^x + \text{e}^{-x}}{2}  \right)^{2}$.
		\item Calculer $\displaystyle\int_{-1}^{1} \sqrt{1 + [f'(x)]^{2}}\:\text{d}x$.
		\item En déduire la valeur exacte de la longueur de cet arc. Quelle est l'erreur commise en prenant (AE $+$ EB) comme valeur approchée de $\ell$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}