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\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\overrightarrow{u},~\overrightarrow{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STI  Génie mécanique, génie des matériaux}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2009}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Métropole septembre 2009~\decofourright\\[5pt]Génie des matériaux, mécanique}}
    
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Soit (E) l'équation différentielle : $y' + y = 0$ , où $y$ est une fonction numérique définie et dérivable sur $\R.$
	\begin{enumerate}
		\item  Résoudre l'équation (E).
		\item  Montrer que  la solution $f$ de (E) telle que $f(0) = 1$  est la fonction $f$ définie par $f(x) = \text{e}^{-x}$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la valeur moyenne de $f$ sur  [2~;~3].
		\item Déterminer, en fonction de $n$, la valeur moyenne de $f$ sur l'intervalle $[n~;~n+ 1]$.
    \end{enumerate}
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse sera prise en compte dans l'évaluation.}

Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie par : $u_{n} = \left(1 - \text{e}^{-1}\right)\text{e}^{-n}$, pour tout $n$ entier positif ou nul.
    
Quelle est la nature de cette suite ?
\end{enumerate}    
    
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill }

\medskip

Le plan complexe  est rapporté à un repère \Ouv{} orthonormal direct.

On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation 
\[z^3 - 12z^2 + 48z = 0.\]

\item Soient A et B  les points du plan d'affixes respectives $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$ telles que 

$z_{\text{A}} = 6 + 2\text{i}\sqrt{3},~z_{\text{B}} = 6 - 2\text{i}\sqrt{3}$.
\begin{enumerate}
\item En prenant comme unité graphique 1~cm, placer les points A et B dans le repère \Ouv.
 
(On utilisera une feuille de papier millimétré fournie avec le sujet)
\item  Calculer le module et un argument de $z_{\text{A}}$.
\item  Démontrer que le triangle OAB est équilatéral.
\item  Soit $\Omega$ le point d'affixe 4. Démontrer que le points O, A et B se trouvent sur un cercle $\mathcal{C}$ de centre $\Omega$ dont on précisera le rayon en cm.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}       
       
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill}

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip 

Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $\text{I}  = ]0~;~+ \infty[$ par

\[g(x) = x^2 - 2\ln (x) + 4\]

et dont la représentation graphique est donnée ci-après.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Soit $g'$ la dérivée de $g$ sur l'intervalle I. Montrer que $g'(x) = 2\dfrac{x^2 - 1}{x}$.
\item Dresser le tableau de variations de $g$ sur I
\item En déduire le signe de $g(x)$ sur I.
\end{enumerate}

\medskip

\psset{xunit=4cm,yunit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(0,4)(3,8)

\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=5,gridwidth=0.25pt](0,4)(3,8)
\psaxes[linewidth=1pt,Oy=4](0,4)(3,8)
\uput[u](3,4){$x$} \uput[r](0,8){$y$}
\psplot[plotpoints=5000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0.1347}{2.4}{x dup mul 4 add x ln 2 mul sub}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle I, par 

\[f(x) = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{2} + \dfrac{\ln (x) - 1}{x}.\]
 
On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Étudier la limite de $f$ en $0$ et en déduire l'existence d'une asymptote à la courbe $\mathcal{C}$.
		\item  Étudier la limite de $f$ en $+\infty$ en remarquant que $f(x) = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{x} + \dfrac{\ln (x)}{x}$.
	\end{enumerate}
\item On note $f'$ la dérivée de $f$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle I,~$f'(x) = \dfrac{g(x)}{2x^2}.$ 
		\item En utilisant la partie A donner le signe de $f'(x)$.
       En déduire que la fonction $f$ est croissante sur I.
		\item Calculer $f(1)$ et en déduire le signe de $f(x)$ sur I.
	\end{enumerate}
\item  Construire sur une feuille de papier millimétré, la courbe $\mathcal{C}$ dans le repère \Oij{} en prenant comme unité graphique 2~cm.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

On considère la fonction $F$, définie et dérivable sur l'intervalle I, d'expression :
 
\[F(x) = \dfrac{1}{4}x^2 + \dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{2}\left[\ln (x) - 1 \right]^2.\]

\medskip
  
\begin{enumerate}
\item  Vérifier que la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ définie à la partie B.
\item  Dans le repère \Oij, tracer la droite $\mathcal{D}$ d'équation $x = \text{e}$.

Hachurer la partie du plan située au dessus de l'axe des abscisses et délimitée par $\mathcal{C}$ et $\mathcal{D}$.
\item  Que représente  le nombre $A = 4\left[F(\text{e}) - F(1)\right]$.

Calculer la valeur exacte de $A$, puis sa valeur arrondie au centième .
\end{enumerate}
\end{document}