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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Baccalauréat STI Génie des matériaux}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2004}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Génie des matériaux Métropole~\decofourright\\[5pt]juin 2004}}

\vspace{0,5cm}

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

Du papier millimétré est mis à la disposition des candidats.

Le candidat doit traiter  les deux exercices et le problème. 

\end{center}
  
\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation  : 

\[z^2- 6z + 12 = 0.\]

		\item Écrire les solutions de cette équation sous forme exponentielle.
	\end{enumerate}
\item Dans le plan muni d'un repère orthonormal \Ouv, placer les points A, B 
et I d'affixes respectives

\[z_{\text{A}} = 3 + \text{i}\sqrt{3} \qquad 	z_{\text{B}} = 3 - 
\text{i}\sqrt{3} \quad \text{et} \quad  z_{\text{I}} =2.\]

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les points A, B et O sont sur un cercle de centre I dont on  précisera le rayon.
		\item Donner, en le justifiant, la nature du triangle OAB. 
		\item Placer le point C d'affixe $z_{\text{C}} = -2\text{i}\sqrt{3}$. Montrer que les points A, C et I sont alignés.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Résoudre l'équation différentielle (E) : $4y'' + 9y = 0.$
\item On désigne par $f$ la solution particulière de l'équation différentielle (E)  dont la représentation graphique est donnée ci-dessous.

\begin{center} \psset{xunit=0.6pt} \begin{pspicture}(-240,-2.67)(240,2.67)

\multido{\r=-2.67+1.33}{5}{\psline[linestyle=dotted](-240,\r)(240,\r)}
\multido{\n=-240+60}{9}{\psline[linestyle=dotted](\n,-2.67)(\n,2.67)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=1000,Dy=10]{->}(0,0)(-240,-2.67)(240,2.67)
\uput[u](30,2){A} \uput[ul](0,2){2} \uput[d](30,0){$\frac{\pi}{6}$}
\uput[dl](0,0){O} \uput[d](230,0){$x$}
\uput[dr](-240,-2.67){-2,67} \uput[dr](-240,-1.33){-1,33} 
\uput[dr](-240,2.67){2,67} \uput[dr](-240,1.33){1,33}
\psline{<->}(5,2)(55,2)
\psline[linestyle=dotted](30,0)(30,2)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-240}{240}{1.4142 3 x mul 2 div cos mul 1.4142 3 x mul 2 div sin mul  add} 
\end{pspicture} \end{center}

\vspace{0,8cm}

Il est précisé que la courbe admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses au point A de coordonnées $\left(\frac{\pi}{6}~ ;~ 2\right)$. Déterminer une  expression de $f(x)$.

\item Montrer que pour tout nombre réel $x~ :~ f(x) = 2 \cos 
\left(\dfrac{3x}{2} - \dfrac{\pi}{4}\right)$.
\item Calculer $\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{7\pi}{6}} f(x)\: 
\text{d}x$. Interpréter graphiquement le résultat.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\medskip

Soit $f$ la fonction numérique définie pour tout nombre réel $x$ par 

\[f(x) =  2 + (2 - x)\text{e}^{2x}.\]

On désigne par $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal \Oij{} (unités graphiques $4$~cm sur l'axe des abscisses et $1$~cm sur l'axe des ordonnées)

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$.
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$ (on pourra poser $X = 2x$).
		\item En déduire que la courbe $\mathcal{C}$ admet une asymptote $\Delta$ dont on donnera une équation.
		\item Étudier les positions relatives de $\mathcal{C}$ et $\Delta$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que, pour tout nombre réel $x,~ f'(x) = (3 -  2x)\text{e}^{2x}$, où $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$.
		\item Dresser le tableau de variations de $f$ sur l'intervalle $]-\infty~;~ +\infty[$.

\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner une équation de la tangente $\mathcal{T}$ à $\mathcal{C}$ au point  d'abscisse $0$.
		\item Tracer $\Delta$, $\mathcal{T}$ puis $\mathcal{C}$.
	\end{enumerate}
\item Soit $G$ la fonction numérique définie pour tout nombre réel $x$ par 

\[G(x) = - \dfrac{1}{2} x\text{e}^{2x} + \dfrac{5}{4}\text{e}^{2x}.\]

Montrer que $G$ est une primitive de la fonction $g$ définie pour
 tout nombre réel $x$ par $g(x) = (2 - x)\text{e}^{2x}$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Hachurer la partie $\mathcal{A}$ du plan limitée par $\mathcal{C}$, la droite d'équation $y = 2$ et l'axe des ordonnées.
		\item Calculer l'aire de $\mathcal{A}$. En donner la valeur exacte en unités d'aire.
	
Donner une valeur arrondie de cette aire, en cm$^2$, à $10^{-2}$ près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}