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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small  Baccalauréat STI Arts appliqués}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{20 juin 2011}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} \textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat STI Arts appliqués -- Antilles-Guyane~\decofourright\\
20 juin 2011}

\vspace{0,25cm}

\end{center} 

\textbf{\textsc{Exercice  1} \hfill 8 points}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).\\ 
Pour chaque question, trois réponses sont proposées, une seule est exacte. Le candidat portera sur la copie, sans justification, le numéro de la question suivi de la réponse choisie. Il est attribué un point si la réponse est exacte, aucun point n'est enlevé pour une réponse inexacte ou une absence de réponse.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Le nombre de solutions réelles distinctes de l'équation $2x^2 + 4x = x + 1$ est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{>{\textbf{a.}~~}X>{\textbf{b.}~~}X>{\textbf{c.}~~}X}
0& 2& 1\\
\end{tabularx}
\medskip
 
\item  Soit $f$ la fonction définie sur l'ensemble $R$ par $f(x) = x^2 + 3x- 2$. Une équation de la tangente à la représentation graphique de la fonction $f$ en son point d'abscisse $0$ est: 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{>{\textbf{a.}~~}X>{\textbf{b.}~~}X>{\textbf{c.}~~}X}
$y = 3x - 2$&$y = 2x+ 3$& $y = 3x.$\\
\end{tabularx}
\medskip 
\item  Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]- 2~;~+ \infty[$ par $f(x) = \ln (x + 2)$. 

Alors sa dérivée est la fonction $f'$ définie sur l'intervalle $]- 2~;~+ \infty[$ par :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{>{\textbf{a.}~~}X>{\textbf{b.}~~}X>{\textbf{c.}~~}X} 
$f'(x) = \dfrac{1}{x + 2}$&$f'(x) = \dfrac{1}{x}$&$f'(x) =\dfrac{1}{x}+ 2$.\\  
\end{tabularx}
\medskip
\item  Une solution dans l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ de l'équation $\ln (x) = 4$ est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{>{\textbf{a.}~~}X>{\textbf{b.}~~}X>{\textbf{c.}~~}X} 
$\ln 4$& 4&$\text{e}^4$\\ 
\end{tabularx}
\medskip

\item  Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle ]- 4~;~+ \infty[$ par $f(x) = 2 + \dfrac{3}{x + 4}$. 

Alors la limite de la fonction $f$ en $- 4$ est : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{>{\textbf{a.}~~}X>{\textbf{b.}~~}X>{\textbf{c.}~~}X}
2& $-\infty$& $+ \infty$.
\end{tabularx}
\medskip
 
\item  Dans un plan rapporté à un repère orthonormal, on considère l'ellipse C d'équation 

$4x^2 + 9y^2 = 36$. Alors un de ses sommets a pour coordonnées :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{>{\textbf{a.}~~}X>{\textbf{b.}~~}X>{\textbf{c.}~~}X} 
(0~;~3) &(3~;~0) &(2~;~0).\\
\end{tabularx}
\medskip 
\item Une urne contient 2 boules rouges et 2 boules jaunes indiscernables au toucher. On en tire deux boules au hasard, l'une après l'autre, \emph{sans les remettre dans l'urne}. La probabilité d'obtenir les deux boules rouges est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{>{\textbf{a.}~~}X>{\textbf{b.}~~}X>{\textbf{c.}~~}X} 
$\dfrac{1}{2}$& $\dfrac{1}{6}$  & $\dfrac{1}{3}$  \\
\end{tabularx}
\medskip 
\item  Parmi les 32 employés d'une entreprise, il y a 24 hommes dont 14 ont plus de 40 ans. Parmi les femmes, 3 ont plus de 40 ans. On interroge une femme. La probabilité qu'elle ait moins de 40 ans est égale à :
 
\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{>{\textbf{a.}~~}X>{\textbf{b.}~~}X>{\textbf{c.}~~}X} 
$\dfrac{5}{8}$&$\dfrac{15}{32}$&$\dfrac{5}{32 }$\\
\end{tabularx}
\medskip
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice  2} \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle [0~;~4] par 

\[f(x) = - x^2 + 4x + 3.\]
 
On a représenté en annexe (à joindre à la copie) la courbe $\mathcal{C}_{f }$ représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal d'unité graphique 2~centimètres.
 
\begin{enumerate}
\item Dresser, par lecture graphique, le tableau des variations de $f$. 
\item Calculer la valeur exacte de l'intégrale $I = \displaystyle\int_{0}^4 f(x)\:\text{d}x$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip

Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle [0~;~4] par 

\[g(x) = \text{e}^{0,5x} - 2x+ 2.\]
 
\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau suivant (\emph{on arrondira éventuellement les résultats au centième}) :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$x$		&0 	&1 	&2 	&3 	&4 \\ \hline
$g(x)$	&	&	&	&	&1,39\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\item On note $g'$ la fonction dérivée de la fonction $g$. 
	\begin{enumerate}
		\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} 

Le signe de $g'(x)$ est donné dans le tableau suivant : \hspace{2cm}  \begin{pspicture}(0,-1)(5.5,1)\rput(0,-1){\psset{unit=0.75cm}\begin{pspicture}(5.5,2)\psframe(5.5,2)\psline(0,1)(5.5,1)\psline(1.5,0)(1.5,2)\uput[u](0.75,1){$x$} \uput[u](1.65,1){$0$}\uput[u](3.5,1){$2\ln 4$}\uput[u](5.3,1){$4$}\rput(0.75,0.5){$g'(x)$}\rput(4.5,0.5){$+$}\rput(2.55,0.5){$-$}\rput(3.5,0.5){$0$}\end{pspicture}}\end{pspicture}
\smallskip

Justifier les renseignements indiqués dans ce tableau. 
		\item Construire le tableau des variations de la fonction $g$.
		 
On précisera la valeur exacte et la valeur arrondie au centième de l'extremum. 
		\item Tracer la représentation graphique $\mathcal{C}_{g}$ de la fonction $g$ dans le même repère que $\mathcal{C}_{f }$ (unité graphique : 2~cm). 
		\item On considère la fonction $G$ définie sur l'intervalle [0~;~4] par 
		
		\[G(x) = 2\text{e}^{0,5x} - x^2 + 2x.\]
		 
Vérifier que $G$ est une primitive de la fonction $g$ sur l'intervalle [0~;~4]. 
		\item On pose $J = \displaystyle\int_{0}^4 g(x)\:\text{d}x$. Vérifier que $J = 2\text{e}^{2} - 10$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Tracer en pointillés la droite $D$ d'équation $x = 4$ dans le même repère que $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$. 
		\item On admet que l'aire, exprimée en unités d'aire, de la partie du plan délimitée par les courbes $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 4$ est égale à $I - J$.
		 
Calculer cette aire en cm$^2$, arrondie à l'unité.
	\end{enumerate}  
\itemSoit $C$ et $C'$ les courbes symétriques de $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ par rapport à la droite $D$.
 
La partie du plan délimitée par les courbes $\mathcal{C}_{f},\,\mathcal{C}_{g},\, C$ et $C'$ représente la maquette d'un logo  publicitaire.
 
Compléter cette maquette de logo en traçant $C$ et $C'$ et calculer son aire en centimètres carrés,  arrondie à l'unité.
\end{enumerate} 

\newpage
\begin{center}
\textbf{Feuille annexe à l'exercice 2 - À joindre à la copie}

\vspace{2cm}

\psset{unit=1.3cm}
\begin{pspicture}(-0.25,-0.25)(8.25,7.25)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-0.25,-0.25)(8.25,7.25)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(4,5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=4,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(8,7)
\uput[u](8.25,0){$x$}\uput[l](0,7.25){$y$}\uput[dl](0,0){O}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{4}{4 x mul 3 add x dup mul sub}
\uput[d](2,7){$\mathcal{C}_{f}$}
\end{pspicture}
\end{center} 
\end{document}