\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 ! 
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{textcomp}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text}
\usepackage{diagbox}
%Tapuscrit :Denis Vergès
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\setlength{\textheight}{23,5cm}
\setlength{\textwidth}{14cm}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\setlength{\voffset}{-1,5cm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\small A. P. M. E. P.}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STI Arts appliqués}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2007}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} \textbf{\Large\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STI Arts appliqués~\decofourright\\Métropole juin 2007}

\vspace{0,25cm}

\end{center} 

\textbf{\textsc{Exercice  1} \hfill 8 points}

\medskip

%Cet exercice est un questionnaire à choix multiple. Parmi les réponses proposées, une seule est correcte. On indiquera sur la copie, pour chaque question, la lettre correspondant à la réponse exacte. Aucune justification n'est demandée. Toutes les questions sont indépendantes. Les réponses exactes aux questions 2 et 3 rapportent deux points, les autres un point.

\begin{enumerate}
\item  %On considère l'ellipse tracée dans un repère orthonormé sur la figure ci-dessous :


%\begin{center}
%\psset{unit=0.5cm}
%\begin{pspicture}(-6,-4)(6,4)
%\psaxes[linewidth=1.5pt,labelsep=1pt]{->}(0,0)(-6,-4)(6,4)
%\psellipse(0,0)(5,3)
%\end{pspicture} \end{center}
%	\begin{enumerate}
%		\item Une équation de cette ellipse est :

%\medskip

%\hspace*{-1.2cm}\begin{tabularx}{1.1\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
%A : $25x^2+9y^2 = 225$& B : $9x^2+25y^2 =225$&	C : $3x^2+5y^2 =15$& 	D : $9x^2 - 25y^2=225$\\ \hline
%\end{tabularx}
En prenant les points des axes communs à l'ellipse on constate que la bonne équation est la B.
		\item %Un de ses foyers est le point F de coordonnées :
		
\medskip

%\hspace*{-1.2cm}\begin{tabularx}{1.1\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
%A : (4 ; 0) & B : (5 ; 0)&C : (0 ; 3) &D : (2 ; 0)\\ \hline
%\end{tabularx}
On a $a = 5,~b = 3$ et $c^2 = a^2 - b^2 = 16 = 4^2$. La bonne réponse est A.
	\end{enumerate}
\item  %Soit la fonction $f$ définie sur [0 ;  9] par $f(x) = - x^3+ 9 x^2$ dont la courbe représentative dans un repère orthogonal est donnée ci-dessous. On remarquera que $f(0) = 0$ et $f(9) = 0$.

\medskip

%\begin{center}
%\psset{yunit=0.015cm}
%\begin{pspicture}(-1,-20)(10,120)
%\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=20]{->}(0,0)(-1,-20)(10,140)
%\psplot{0}{9}{x 2 exp 9 mul x 3 exp sub}
%\end{pspicture}
%\end{center}
%L'aire du domaine compris entre la courbe de $f$ et l'axe des abscisses est, en unités d'aire :

%\medskip

%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
%A : $0$&	B : $546,75$&		C : $81$& 	D : impossible à calculer\\ \hline
%\end{tabularx}
La fonction est positive sur $[0~;~9]$, donc l'aire en unité d'aire est égale à l'intégrale :
$\displaystyle\int_{0}^9 \left(- x^3+ 9 x^2 \right)\:\text{d}x = \left[- \dfrac{x^4}{4} + 3x^3 \right]_{0}^9 = -\dfrac{9^4}{4} + 3\times 9^3 - \left(\dfrac{0^4}{4} + 3\times 0^3 \right) = -\dfrac{\nombre{6561}}{4} + \nombre{2187} = \dfrac{\nombre{2187}}{4} = 546,75$. Réponse B.
\item  %Soit $f$ la fonction définie sur $]0 ~;~ + \infty[$ par $f(x) = \ln x + 4x$. Une primitive de $f$ est la fonction $F$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par :

%\medskip

%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
%A : \rule[-3mm]{0mm}{8mm}$\dfrac{1}{x} + 4$&	B : \dfrac{1}x+ 2x^2$&	C : $\ln x + 2x^2$& 	D : $x\ln x + 2x^2 - x$\\ \hline
%\end{tabularx}
La bonne réponse est D.
\item  %On tire une carte dans un jeu de 52 cartes. Toutes les cartes ont la même probabilité d'être tirées. La probabilité de tirer une carte qui ne soit ni un roi ni un c{\oe}ur est :

%\medskip
 
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline 
%A : \rule[-3mm]{0mm}{8mm}$\dfrac{35}{52}$& B : $\dfrac{17}{52}$& C : $\dfrac{9}{13}$ &D : $\dfrac{2}{13}$\\ \hline
% \end{tabularx} 
Il y a 13 c{\oe}urs et 3 rois en dehors du roi de c{\oe}ur, donc en tout 16 cartes à ne pas tirer ; il reste donc $52 - 16 = 36$ cas favorables : $p = \dfrac{36}{52} = \dfrac{9}{13}$. Réponse C.
\item  %On donne la fonction $f$ définie par $f(x)= \text{e}^{2x} - \text{e}^{x} + x$ ; l'intégrale $\displaystyle\int_{0}^1 f(x)\:\text{d}x$ vaut :

%\medskip
% 
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{X|}}\hline   
%A : \rule[-3mm]{0mm}{8mm}$\text{e}^2 - \text{e}+1$& B : $\dfrac{1}{2}\text{e}^2 - \text{e}+1$&	C : $3 - 2$ \\ \hline
%\end{tabularx}  
On a $\displaystyle\int_{0}^1 \left(\text{e}^{2x} - \text{e}^{x} + x\right)\:\text{d}x = \left[\dfrac{1}{2}\text{e}^{2x} - \text{e}^{x} + \dfrac{x^2}{2} \right]_{0}^1 = \dfrac{1}{2}\text{e}^{2\times 1} - \text{e}^{1} + \dfrac{1^2}{2} - \left(\dfrac{1}{2}\text{e}^{2\times 0} - \text{e}^{0} + \dfrac{0^2}{2} \right) = \dfrac{\text{e}^{2}}{2} - \text{e} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} + 1 = \dfrac{\text{e}^{2}}{2} - \text{e}  + 1$. Réponse B.
\end{enumerate}
 
\vspace*{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice  2} \hfill 12 points}

\medskip

%Un graphiste designer a conçu un flacon pour un parfum. ll s'agit d'un parallélépipède rectangle de base carrée surmonté d'un cube, comme le montre la figure ci-dessous :

%\medskip
 
%\begin{center}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(11,9)
%%\psgrid
%\psframe(0.7,1)(6.3,5.7)
%\psline(6.3,1)(9,2.8)(9,7.5)(6,7.5)
%\psline[linestyle=dashed](6,7.5)(3.7,7.5)
%\psline(3.7,7.5)(3.4,7.5)(0.7,5.7)
%\psline(6.3,5.7)(9,7.5)
%\psline[linestyle=dashed](0.7,1)(3.4,2.8)(9,2.8)
%\psline[linestyle=dashed](3.4,2.8)(3.4,7.5)
%\psline(3.7,6.3)(5.1,6.3)(5.1,7.8)(6,8.3)(6,6.9)(5.1,6.3)(5.1,7.8)(6,8.3)(4.6,8.3)(3.7,7.8)(3.7,6.3)   %bouchon
%\psline[linestyle=dashed](3.7,6.3)(4.6,6.9)(6,6.9)
%\psline[linestyle=dashed](4.6,6.9)(4.6,8.3)
%\psline(3.7,7.8)(5.1,7.8)
%\psline(6.3,1)(6.7,1) \psline(9,2.8)(9.4,2.8) \psline{<->}(6.7,1)(9.4,2.8)
%\psline{<->}(9.4,2.8)(9.4,8.3) \psline[linewidth=0.3pt](6,8.3)(9.4,8.3)
%\psline[linewidth=0.3pt](0.7,5.7)(0.3,5.7)
%\psline[linewidth=0.3pt](3.7,6.3)(1.2,6.3) \psline{<->}(0.3,5.7)(1.2,6.3)
%\psline[linewidth=0.3pt](4.6,6.9)(2.1,6.9)
%\psline[linewidth=0.3pt](3.4,7.5)(3,7.5) \psline{<->}(2.1,6.9)(3,7.5)
%\psline{<->}(1.6,6.3)(3.7,6.3) \psline{<->}(5.1,6.3)(7.2,6.3)
%\psline{<->}(0.7,0.8)(6.3,0.8)
%\uput[d](3.5,0.8){6 cm} \uput[r](8.1,1.9){6 cm}
%\uput[d](2.6,6.3){$x$}\uput[d](6.2,6.3){$x$}
%\uput[ul](0.7,5.9){$x$}\uput[ul](2.8,7.2){$x$}
%\uput[dl](0.7,5.7){A} \uput[dr](6.3,5.7){B} \uput[ur](9,7.5){C} \uput[ul](3.4,7.5){D} 
%\uput[d](3.7,6.3){E} \uput[d](5.1,6.3){F} \uput[dr](6,6.9){G} \uput[ul](4.6,6.9){H}
%\uput[r](9.4,5.4){8 cm}
%\end{pspicture}
% 
%\end{center}

%Le cube de base EFGH est placé au centre du carré supérieur ABCD. La variable $x$ désigne la distance entre les côtés du carré de base EFGH du cube et les côtés du carré ABCD. Le flacon a une hauteur totale de 8 cm et les côtés du carré ABCL) mesurent 6 cm. On admettra que l'on a : $0 \leqslant  x \leqslant  3$.

\medskip

\textbf{Partie A.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  %Démontrer que le volume du petit cube est $U(x) = - 8x^3 + 72x^2 -216x +216$.
On a EF $ = 6 - x - x = 6 - 2x$, donc $U(x) = (6 - 2x)^3 = 6^3 - 216x + 72 x^2 - 8x^3 = $

$216 - 216x + 72x^2 - 8x^3$.
\item %En déduire que le volume total du flacon est $V(x) = - 8 x^3 + 72x^2 - 144x + 288$.
Le volume du parallélépipède étant égal à $6^3 = 216$, le volume total du flacon est égal à $V(x) = U(x) = 216 = - 8 x^3 + 72x^2 - 144x + 288$.
\end{enumerate}
 
\textbf{Partie B.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  %Soit $f$  la fonction définie sur [0 ; 3] par $f(x)= -x^3 + 9x^2 - 18x + 36$.

%Soit $\mathcal{C}_{f}$ la courbe représentant la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthogonal \Oij.

%(unités graphiques : 5~cm en abscisses et 0,5~cm en ordonnées).
	\begin{enumerate}
		\item  %$f'$ désignant la dérivée de la fonction $f$, calculer $f'(x)$.
$f$ fonction polynôme est dérivable sur $\R$ et 

$f'(x) = - 3x^2 + 18x - 18$. 
		\item  %Résoudre l'équation $f'(x) = 0$ dans l'intervalle [0~;~3]. On appelle $\alpha$ la valeur exacte de son unique solution. Déterminer $\alpha$ puis sa valeur arrondie au dixième.
$f'(x) = 0 \iff - 3x^2 + 18x - 18 = 0 \iff -x^2 + 6x - 6 = 0 \iff x^2 - 6x + 6 = 0$. On a $\Delta = 36 - 24 = 12 = \left(2\sqrt{3} \right)^2$.
D'où les solutions :

\[\dfrac{6 + 2\sqrt{3}}{2} = 3 + \sqrt{3} \quad  \text{et} \quad 3 - \sqrt{3}\]
Seule nous intéresse la solution positive : $\alpha = 3 + \sqrt{3} \approx 4,73 \approx 4,7$ arrondi au dixième.  
		\item  %Étudier le signe de $f'(x)$ sur [0~;~3]  et dresser le tableau de variations de $f$ sur [0~;~3].
Le trinôme est négatif sauf entre $3 - \sqrt{3}$ et $3 + \sqrt{3}$.

Donc sur $[0~;~3-\sqrt{3}],~f'(x) < 0$ et la fonction $f$ est décroissante  et sur $[3-\sqrt{3}~;~3],~f'(x) > 0$ et la fonction $f$ est croissante.

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(8,2.5)
\psframe(8,2.5) \psline(0,2)(8,2) \psline(2,0)(2,2.5)
\uput[u](1,2){$x$} \uput[u](2.1,2){$0$} \uput[u](7.85,2){$3$}\uput[u](5,2){$3- \sqrt{3}$}
\rput(1,1){$f(x)$}\uput[d](2.2,2){36}\uput[d](7.8,2){$36$}
\uput[u](5,0){$36 - 6\sqrt{3}$}
\psline{->}(2.5,1.7)(4.3,0.3) \psline{->}(5.7,0.3)(7.4,1.7)
\end{pspicture}
\end{center}
\medskip
		\item  %Pour quelle valeur de $x$ cette fonction admet-elle un minimum ?
La dérivée s'annule en changeant de signe en $x = 3 - \sqrt{3}$ : l'extremum (minimum) est donc égal à $f(\alpha) = f\left(3 - \sqrt{3} \right) = -\left(3 - \sqrt{3} \right)^3 + 9\left(3 - \sqrt{3} \right)^2 - 18\left(3 - \sqrt{3} \right) + 36 = - 27 + 27\sqrt{3} - 27 + 3\sqrt{3} + 81 + 27 - 54\sqrt{3} - 54 + 18\sqrt{3} + 36 = 36 - 6\sqrt{3}$.
	\end{enumerate}
\item 	%Déterminer une équation de la tangente T à $\mathcal{C}_{f}$ en son point d'abscisse 1.
On a $M(x~;~y) \in \text{T} \iff y - f(1) = f'(1)(x - 1)$.

$f(1) = -1^3 + 9\times 1^2 - 18\times 1 + 36 = 26,~ f'(1) = - 3\times 1^2 + 18\times 1 - 18 = -3$.

Donc $M(x~;~y) \in \text{T} \iff y - 26 = -3(x - 1) \iff y = -3x + 29$.
\item 	
	\begin{enumerate}
		\item  %Recopier puis compléter le tableau de valeurs suivant en arrondissant les valeurs calculées au centième.
		
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&0	&0,5& 1	&1,5&2	&2,5&3\\ \hline
$f(x)$	&36 	&29,125	&26	&25,875	&28	&31,625	&36\\ \hline
\end{tabularx}
		\item  %Construire la tangente T et la courbe $\mathcal{C}_{f}$ sur la feuille de papier millimétré.
		Voir la figure à la fin.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie C.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Vérifier que le volume du flacon vérifie $V(x) = 8f(x)$.
$8f(x) = 8 \left(-x^3 + 9x^2 - 18x + 36 \right) = - 8x^3 + 72x^2 - 144x + 288 = V(x)$.
\item %À l'aide de la partie B de ce problème, déterminer la valeur en cm$^3$, arrondie à l'unité, du volume minimal V$_{\text{m}}$.
D'après la partie B, la fonction $f$ a pour minimum $f\left(3 - \sqrt{3} \right) = 36 - 6\sqrt{3}$, donc le minimum de la fonction $V$ est égal à :

\[\text{V}_{\text{m}} = 8f\left(3 - \sqrt{3} \right) = 8\left(36 - 6\sqrt{3} \right) = 288 - 48\sqrt{3} \approx 204,8 \approx 204~\left(\text{cm}^3\right).\]
\end{enumerate}

\medskip

\psset{xunit=4cm,yunit=0.5cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-0.1,20)(3.1,37)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Oy=20]{->}(0,20)(-0.1,20)(3.1,37)
\psplot[plotpoints=8000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0}{3}{9 x dup mul mul x 3 exp sub 18 x mul sub 36 add}
\psplot[linecolor=red,linewidth=1.25pt]{0}{3}{29 3 x mul sub}
\uput[d](1.268,20){$3 - \sqrt{3}$}\uput[l](0,25.6077){$36 - 6\sqrt{3}$}
\psline[linestyle=dashed](1.268,20)(1.268,25.6077)(0,25.6077)
\uput[dr](3,36){$\mathcal{C}_{f}$} \uput[u](3,20){T}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}