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%Tapuscrit Olivier Reboux
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat STI Génie mécanique, énergétique, civil}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{20 juin 2011}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Génie mécanique, civil~\decofourright\\Antilles--Guyane 20 juin 2011}}

\vspace{0,25cm}

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée. 

\end{center}
  
\vspace{0.25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

Dans tout ce qui suit, on désigne par :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $\Z$ l'ensemble des entiers relatifs ;
\item[$\bullet~~$] $\R$ l'ensemble des nombres réels ;
\item[$\bullet~~$] $\Z$ l'ensemble des nombres complexes. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4,5 points}

\medskip
 
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple. Pour chacune des questions, trois réponses sont proposées dont une seule est exacte. Indiquer sur votre copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. On ne demande aucune justification.\\ 
Chaque réponse juste rapporte $0,75$ point; une réponse fausse enlève $0,25 point$ ; une absence de  réponse ne rapporte ni n'enlève de point.\\ 
Si le total des points est négatif, il est ramené à zéro.}

\smallskip
 
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv.

On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$. 

On considère les nombres complexes $z_{1} = 1 - \text{i}\sqrt{3}$ et $z_{2} = - \sqrt{3} + \text{i}$ d'images respectives A et B. 

\medskip

{\small\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{3cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{3-5}
\multicolumn{2}{r|}{}& Réponse a &Réponse b &Réponse c\\ \hline 
Question 1&Le module de $z_{1}$ et un argument de $z_{1}$ sont respectivement :&2 et $\dfrac{\pi}{3}$&$\sqrt{2}$ et $-\dfrac{\pi}{3}$& 2 et $-\dfrac{\pi}{3}$\\ \hline 
Question 2 &La forme algébrique de $\dfrac{z_{1}}{z_{2}}$  est :&$\dfrac{1 - \text{i}\sqrt{3} }{- \sqrt{3} + \text{i}}$&$- \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1}{2}\text{i}$&$- \dfrac{1}{\sqrt{3}} - \sqrt{3}$\\ \hline 
Question 3 &Un argument de $\dfrac{z_{2}}{z_{1}}$ est :&$- \dfrac{5\pi}{6}$&$\dfrac{5\pi}{6}$&$\dfrac{\pi}{2}$\\ \hline 
Question 4 &L'ensemble des points $M$ du plan, d'affixe $z$, tels que $\left|z - z_{1}\right| = 2$   est :&La droite (AB) &Un cercle de centre A &Une demi-droite d'origine A \\ \hline
Question 5&L'ensemble des points $M$ du plan, d'affixe $z$, tels que: arg$(z) = \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi,\, k \in \Z$ est :& Une droite & Un cercle de centre O&Une demi-droite privée de son origine.\\ \hline 
Question 6 & On considère dans $\C$ l'équation d'inconnue $z$ :  $z^2 -4z + 7 = 0$& 
L'équation n'a pas de solution &Les solutions sont $2 - \sqrt{3}$ et $2 + \sqrt{3}$&  
Les solutions sont $2 - \text{i}\sqrt{3}$ et $2 + \text{i}\sqrt{3}$\\ \hline
\end{tabularx}}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5,5 points}

\medskip 
 
On désigne par (E) l'équation différentielle : 

\[y "+ y = 0\]

 où $y$ est une fonction inconnue deux fois dérivable sur $\R$.
  
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle (E). 
\item Déterminer la solution $f$ de (E) vérifiant les conditions $f(0) = \dfrac{1}{2}$ et $f'\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) = 0$. 
\item Vérifier que pour tout nombre réel $x,\, f(x) = \cos \left(x + \dfrac{\pi}{3}\right)$. 

\emph{On rappelle que pour tous nombres réels $a$ et $b$, on a :} 

\[\cos (a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b.\]
 
\item  On considère l' équation $cos \left(x + \dfrac{\pi}{3}\right) =  0$ d' inconnue réelle $x$. 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre cette équation dans $\R$. 
		\item Préciser les solutions appartenant à l'intervalle $]-\pi~;~\pi]$. 
		\item Placer sur le cercle trigonométrique les points dont les affixes ont pour argument une  solution de cette équation. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\medskip 

\textbf{Partie A}

\medskip
 
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par 

\[f(x) = \text{e}^x + ax + b \text{e}^{-x}\]

où $a$ et $b$ sont des nombres réels que l'on se propose de déterminer dans cette partie.
 
Dans le plan muni d'un repère \Oij, on a représenté ci-dessous la courbe $\mathcal{C}$, représentative de la fonction $f$, et $\mathcal{T}$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$.

\smallskip

On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.
 
\begin{enumerate}
\item Par lecture graphique, donner $f(0)$ et $f'(0)$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $f(0)$ en fonction de $b$. 
		\item En déduire la valeur de $b$. 
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Donner, pour tout réel $x$, l'expression de $f'(x)$. 
		\item Exprimer $f'(0)$ en fonction de $a$ et $b$. 
		\item En utilisant les questions précédentes, déterminer $a$, puis en déduire l'expression de $f(x)$. 
		\end{enumerate}
\end{enumerate} 

\medskip

\psset{unit=1.5cm}

\begin{center}
\begin{pspicture*}(-2,-0.5)(3.5,8.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(-2,-0.5)(3.5,8.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange]
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{-1.26}{2.38}{2.71828 x exp x sub 2 2.71828 x exp div add}\uput[r](2,5){$\mathcal{C}$}
\psplot[linewidth=1.5pt]{-2}{1.75}{3 2 x mul sub}\uput[l](-1,5){$\mathcal{T}$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Questions préliminaires: 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que pour tout réel $x$, on a : $\text{e}^{2x} - \text{e}^x - 2 = \left(\text{e}^x - 2\right)\left(\text{e}^x + 1\right)$. 
		\item Résoudre dans $\R$ l'inéquation d'inconnue $x$ :
		 
\[\text{e}^{2x} - \text{e}^x - 2 = 0.\]
 
On admet que la fonction $f$ est définie sur $\R$ par $f(x) = \text{e}^x - x + 2\text{e}^{-x}$.

\smallskip

	\end{enumerate} 
\item Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que pour tout réel $x$ non nul, on a : $f(x) = x\left(\dfrac{\text{e}^x}{x} - 1 + \dfrac{2}{x\text{e}^x}\right)$.  
		\item En déduire la limite de $f$ en $+ \infty$. 
\item  Calculer la valeur exacte de $f(\ln 2)$ puis en donner une valeur approchée à $10^{-1}$ près. 
		\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout réel $x,\,f'(x) = \dfrac{\text{e}^{2x} - \text{e}^x - 2}{\text{e}^x}$. 
		\item Déterminer le signe de $f'$ à l'aide des questions préliminaires. 
		\item Dresser le tableau de variation de la fonction $f$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip 
\begin{enumerate}
\item Calculer la valeur exacte de $\displaystyle\int_{0}^1 f(x)\:\text{d}x$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Tracer sur la figure en annexe la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = 4$. 
		\item Hachurer sur la figure en annexe \textbf{qui sera à rendre avec la copie}, le domaine $\mathcal{S}$ du plan délimité par la courbe $\mathcal{C}$, la droite $\mathcal{D}$ et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 1$. 
		\item Calculer, en unités d'aire, la valeur exacte de l'aire du domaine $\mathcal{S}$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE}

\vspace{0,5cm}

\textbf{à rendre avec la copie}

\vspace{1cm}

\psset{unit=3cm}
\begin{pspicture*}(-0.75,-0.25)(2.25,4.75)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.5,Dy=0.5,comma=true](0,0)(-0.75,-0.25)(2.25,4.75)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange]
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{-0.58}{1.85}{2.71828 x exp x sub 2 2.71828 x exp div add}\uput[r](1.4,3.1){$\mathcal{C}$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{document}