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% Corrig\'e et tapuscrit : Olivier Reboux
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat STI Génie mécanique, énergétique, civil}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{21 juin 2011}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Génie mécanique, civil   ~\decofourright\\Antilles-Guyane 21 juin 2011}}

\vspace{0,25cm} 

\end{center}


\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Réponse c.
\item Réponse b.
\item Réponse b.
\item Réponse b.
\item Réponse c.
\item Réponse c.
\end{enumerate}
  
\vspace{0,5cm}
  
\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

  \begin{enumerate}
  \item Les solutions de (\ref{eq_STIGM_11H}) sont de la forme :
    \[
    y = A\cos(x) + B\sin(x),
    \]
    car $\omega^2 = 1$.
  \item $f(0) = \frac{1}{2}$, soit $A = \frac{1}{2}$.
    $f'(x) = -A \sin(x) + B\cos(x)$, on en déduit que $ f'\left (
      \frac{2\pi}{3}\right) = -A\sin\left ( \frac{2\pi}{3}\right) + B
    \cos\left ( \frac{2\pi}{3}\right) =0$.

    Ce qui donne $ -\frac{1}{2} \times  \frac{\sqrt{3}}{2} +
    B\times\frac{1}{2} = 0$. Donc $ B = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
  \item $\cos\left ( x + \frac{\pi}{3}\right) = \cos(x) \cdot
    \cos\left ( \frac{\pi}{3}\right) - \sin(x)\cdot \sin\left (
      \frac{\pi}{3}\right) =
    \frac{1}{2}\cos(x)-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin(x) = f(x)$.
  \item
    \begin{enumerate}
    \item $\cos\left ( x + \frac{\pi}{3}\right)$ est nul si et
      seulement si $x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} +2k\pi$ ou $x +
      \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi$.

      Les solutions sont donc $\frac{\pi}{6} + 2k\pi$ et
      $-\frac{5\pi}{6} + 2k\pi$.
    \item Les solutions comprises entre $-\pi$ et $\pi$ sont :
      $\frac{\pi}{6}$ et $-\frac{5\pi}{6}$.
    \item On obtient la figure \ref{fig_STIGM_11H_C}.
      \begin{figure}[!h]
        \centering
        \begin{pspicture}(-3,-3)(3,3)
          \psset%
          {%
            xunit=3,%
            yunit=3,%
            runit=3,%
          }% 
          \psaxes%
          [%
          Dx=1,%
          Dy=1,%
          ysubticks=6,%
          xsubticks=6,%
          labelsep=-0.5cm,%
          xlabelPos=axis,%
          ylabelPos=axis,%
          subticksize=1,%
          xticksize=-1 1,%
          yticksize=-1 1,%
          tickcolor=lightgray,%
          ]%
          {->}(0,0)(-1,-1)(1.1,1.1)%[$x$,-90][$y$,180]
          \pstGeonode[PosAngle=90](1;30){A}
           \pstGeonode[PosAngle=90](1;-150){B}
        \end{pspicture}
        \caption{}\label{fig_STIGM_11H_C}
      \end{figure} 
    \end{enumerate}
  \end{enumerate}
  
\vspace{0,5cm}
  
\textbf{\textsc{Probl\`eme} \hfill 5 points}

\medskip 

  \Partie{}

  \begin{enumerate}
  \item $f(0)= 3$ et $f'(0) = -2$.
  \item
    \begin{enumerate}
    \item $f(0) = 1 +b = 3$.
    \item On en déduit que $b = 2$.
    \end{enumerate}
  \item
    \begin{enumerate}
    \item $f'(x) =\text{e}^x+a-2b\text{e}^{-x}$.
    \item $f'(0) = 1+a - 2 = -2$.
    \item On en déduit que $a = -1$.
    \end{enumerate}
  \end{enumerate}

\Partie{}

\begin{enumerate}
\item
  \begin{enumerate} 
  \item On développe $(\text{e}^x-2)(\text{e}^x+1)$, ce qui
    donne : $\text{e}^{2x}+\text{e}^{x}-2\text{e}^{x}-2 = \text{e}^{2x} - \text{e}^{x}-2$.
  \item En partant de l'expression factorisée, $\text{e}^x+1$ est
    strictement positif, donc résoudre $\text{e}^{2x}-\text{e}^{x}-2 \geqslant 0$
   revient à résoudre $\text{e}^x-2 \geqslant 0$, soit $ x \geqslant \ln(2)$.
  \end{enumerate}
\item $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \text{e}^{x} = 0$ et $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \text{e}^{-x} =
  +\infty$. On en déduit que $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty$.
\item
  \begin{enumerate}
  \item On développe $x \left ( \frac{\text{e}^x}{x}-1+
      \frac{2}{x\text{e}^{x}}\right) = \text{e}^x -x + \frac{2}{\text{e}^x} = f(x)$.
  \item $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{\text{e}^x}{x} = +\infty$ et $\displaystyle\lim_{x
      \to +\infty} \frac{2}{x\text{e}^x} = 0$. On en déduit que $\displaystyle\lim_{x \to
      +\infty} f(x) = + \infty$. 
  \end{enumerate}
\item $f(\ln(2)) = 2 - \ln(2) + 2 \text{e}^{\ln\left ( \frac{1}{2}\right)} = 2
      - \ln(2) + 1 = 3 -\ln(2) = 2,3$.
    \item
      \begin{enumerate}
      \item $f'(x) = \text{e}^x - 1 - 2\text{e}^{-x} = \frac{\text{e}^{2x}-\text{e}^x
          -2}{\text{e}^x}$.
      \item D'après les préliminaires, on a $f'(x) \geqslant 0$, pour $x
        \geqslant \ln(2)$.
      \item On en déduit le tableau \ref{tab_STIGM_11I_C}.
%        \begin{table}[!h]
%          \centering
%          \begin{variations}
%            x & -\infty & & \ln(2) & & +\infty \\
%            \filet
%            f'(x) & & - & 0 & + & \\
%            \filet
%            \m{f} & \h{+\infty} & \d & 3 -\ln(2) & \c & \h{+ \infty} \\
%          \end{variations}
%          \caption{ }
%          \label{tab_STIGM_11I_C}
%        \end{table}

\medskip
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,3)
\psframe(7,3)\psline(0,2)(7,2)\psline(0,2.5)(7,2.5)
\psline(1,0)(1,3)
\uput[u](0.5,2.5){$x$}\uput[u](1.4,2.5){$- \infty$}\uput[u](4,2.5){$\ln 2$}\uput[u](6.6,2.5){$+\infty$}
\rput(0.5,2.25){$f'(x)$}\rput(0.5,1){$f(x)$}
\rput(2,2.25){$-$} \rput(4,2.25){$0$} \rput(5.5,2.25){$+$}
\psline{->}(1.5,1.5)(3.5,0.5) \psline{->}(4.5,0.5)(6.5,1.5)
\uput[u](4,0){$3 - \ln 2$}\uput[d](1.4,2){$+ \infty$}\uput[d](6.6,2){$+ \infty$}
\end{pspicture}
      \end{enumerate}
\end{enumerate}
\Partie{}

\begin{enumerate}
\item $\int_{0}^{1} f(x) \dd x = F(1) - F(0)$ avec $F$ une primitive de $f$.
Soit $F(x) = \text{e}^x - \frac{x^2}{2} - \text{e}^{-x}$. et donc :
$F(1) = \text{e} - \frac{1}{2} - \frac{1}{\text{e}}$ et $F(0) = 1 - 1 = 0$.

\[
\int_{0}^{1} f(x) \dd x = \text{e} - \frac{1}{2} - \frac{1}{\text{e}}.
\]
\item
  \begin{enumerate}
  \item Voir la figure \ref{fig_STIGM_11I_C}.
    \begin{figure}[!p]
      \centering
      \begin{pspicture}(-4,-1)(6,16) \psset%
        {%
          xunit=2,%
          yunit=2,%
          PointSymbol=none,%
          PointName=none,%
          algebraic,%
        }%
        \psclip%
        {\psframe[linestyle=none](-2,-0.5)(3,8)}%
        {%
          \pscustom
          %Aire sous une courbe
          [%
          fillstyle=solid,%
          fillcolor=SandyBrown,%
          ]%
          {%
          \psplot[plotpoints=250]{0}{1}{EXP(x)-x+2*EXP(-x)}%
          \psline(1,4)(0,4)
          }%
          \psplot[plotpoints=250]{-2}{3}{EXP(x)-x+2*EXP(-x)}%
          \psplot[plotpoints=2]{-2}{3}{-2*x+3}%
          \pstGeonode[PosAngle=90](1.5,-0.25){A}
          \rput[r](A){$\mathcal{T}$}
          \pstGeonode[PosAngle=90](-1,7.5){B}
          \rput[b](B){$\mathcal{C}$} }%
        \endpsclip%
        \psaxes%
        [%
        Dx=1,%
        Dy=1,%
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        ylabelPos=axis,%
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        ]%
        {->}(0,0)(-2,-0.6)(3.3,8.3)[$x$,-90][$y$,180]
   
      \end{pspicture}
      \caption{}\label{fig_STIGM_11I_C}
    \end{figure}
  \item $\mathcal{S} = 4 - \text{e} + \frac{1}{2} + \frac{1}{\text{e}} = 4,5 -\text{e} +
    \frac{1}{\text{e}}$.
  \end{enumerate}
  
\end{enumerate}

\end{document}