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%%%%%%Tapuscrit Denis Vergès 
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\begin{document}
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\lhead{\small Baccalauréat STI Génie mécanique, énergétique, civil}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{mars 2011}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

 {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI mars
 2011 Nouvelle-Calédonie~\decofourright\\Génie mécanique - Génie énergétique - Génie civil}}
\end{center}

\vspace{0.25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points}

\medskip

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. L'unité graphique est 2~cm.

On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.
 
\begin{enumerate}
\item Dans l'ensemble des nombres complexes, on considère l'équation 

\[(\text{E}) : \quad  z^3 - 2\left( 1 + \sqrt{3}\right)z^2 + 4\left(1 + \sqrt{3}\right)z - 8 = 0.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que le nombre 2 est une solution de l'équation (E). 
		\item En déduire qu'il existe deux nombres réels $\alpha$ et $\beta$, que l'on déterminera, tels que l'équation (E) soit équivalente à l'équation : 
		
$(z- 2)\left(z^2 + \alpha z + \beta \right) = 0$. 
		\item Résoudre l'équation $z^2 + \alpha z + \beta = 0$, puis déterminer le module et un argument de chacune de ses solutions.
	\end{enumerate} 

\medskip

On désigne par A et B les points du plan complexe d'affixes respectives :

$a = 2\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}$  et $b = 2$.
 
On désigne par C le milieu du segment [AB], et on note $c$ l'affixe du point C.
 
\item On se propose dans cette question de déterminer la valeur exacte de $\sin \left(\dfrac{\pi}{12}\right)$.
	\begin{enumerate}
		\item Placer les points A, B, C dans le repère \Ouv{} et démontrer que le triangle OAB est isocèle. 
		\item Déterminer une mesure en radians de l'angle $\left(\vect{\text{OB}}~;~\vect{\text{OC}}\right)$.
		\item Déterminer l'écriture algébrique du nombre complexe $c$.  
		\item Calculer le module de $c$ et démontrer que $|c| = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$. 
		\item Démontrer que $\sin \left(\dfrac{\pi}{12}\right) = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$. 
		\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\medskip
 
On note $f$ la fonction définie sur l'intervalle $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$ par : 

\[f(x) = \cos x + 2 \sin x.\]

\parbox{0.45\linewidth}{La courbe $\mathcal{C}$ représentative de la fonction $f$ est tracée ci-contre, dans un repère orthogonal \Oij.
 
On note $\mathcal{D}$ le domaine plan délimité par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d' équations $x = 0$ et $x = \dfrac{\pi}{2}$. 
 
Le but de cet exercice est de déterminer la mesure $\mathcal{V}$, exprimée 
en unité de volume, du volume engendré par la rotation de $\mathcal{D}$ 
autour de l'axe $\left(\text{O}~;~\vect{\imath}\right)$.} \hfill
\parbox{0.43\linewidth}{\psset{unit=3.2cm,comma=true}
\begin{pspicture}(1.57,2.3)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.2,Dy=0.5](0,0)(1.57,2.3)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.04,Dy=0.1,labels=none](0,0)(1.57,2.3)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0}{1.57}{x 180 mul 3.14159 div cos x 180 mul 3.14159 div sin 2 mul add}
\uput[d](1.57,0){$\dfrac{\pi}{2}$}
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.5pt](1.57,0)(1.57,2)
\end{pspicture}
}

\bigskip

\begin{enumerate}
\item Calcul de deux intégrales 
 
On note $I$ et $J$ les deux intégrales : $I = \displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^2 x\:\text{d}x$ et $J = \displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^2 x\:\text{d}x$. 
	\begin{enumerate}
		\item En simplifiant l'écriture de $I + J$, démontrer que $I + J = \dfrac{\pi}{2}$.  
		\item Démontrer de même que $I - J = 0$. 
		\item Déduire des questions a. et b. les valeurs de $I$ et $J$. 
	\end{enumerate} 
\item On rappelle que le volume $\mathcal{V}$ cherché est donné par la formule: $\mathcal{V} = \pi \displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f^2 (x)\: \text{d}x$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $f^2(x) = \cos ^2 x + 2 \sin 2x + 4 \sin ^2 x$. 
		\item Déduire des questions précédentes, la valeur exacte de $\mathcal{V}$. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Problème}\hfill 10 points}

\medskip
 
\textbf{Partie A : Étude d'une équation différentielle}

\medskip 
On considère l'équation différentielle (E) :\quad $ y'- y = - \text{e}^x$. 
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle : $y'-y = 0$. 
\item Vérifier que toute fonction $u$ définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par $u(x) = - x\text{e}^x + C\text{e}^x$, où $C$ est une constante, est une solution de l'équation différentielle (E). 
\item Parmi ces solutions, déterminer celle qui vérifie la condition initiale : $u(0) = 2$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B : Étude d'une fonction}

\medskip
 
On note $f$ la fonction définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par : 

\[f(x) = (2 - x)\text{e}^x.\]

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé \Oij. L'unité graphique est 2~cm.
 
\begin{enumerate}
\item Étude des limites de la fonction $f$ 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les limites de la fonction $f$ en $+\infty$ et en $-\infty$. 
		\item Justifier que la courbe $\mathcal{C}$  admet une asymptote horizontale et en donner une équation.
	\end{enumerate} 
\item Étude des variations de la fonction $f$ sur $\R$ 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'expression de la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$. 
		\item Étudier le signe de $f'(x)$ sur $\R$ et dresser le tableau des variations de la fonction $f$.
	\end{enumerate} 
\item Tracé de la courbe $\mathcal{C}$ 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'équation de la tangente $T_{0}$ à la courbe $\mathcal{C}$ en son point d'abscisse $0$. 
		\item Déterminer les coordonnées des points d'intersection de la courbe $\mathcal{C}$ avec les axes du repère. 
		\item Tracer, dans le repère \Oij, la droite $T_{0}$ et la courbe $\mathcal{C}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C : Calcul d'une aire plane}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Démontrer que la fonction $F$ définie sur $\R$ par : $F(x) = (3 - x)\text{e}^x$, est une primitive de $f$ sur $\R$. 
\item Soit $\alpha$ un nombre réel strictement inférieur à 2.
 
On note $\mathcal{A}(\alpha)$ l'aire, exprimée en unités d'aire du domaine plan délimité par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = \alpha$ et $x = 2$. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $\mathcal{A}(\alpha)$ en fonction de $\alpha$. 
		\item Déterminer la limite éventuelle de $\mathcal{A}(\alpha)$ lorsque $\alpha$ tend vers $- \infty$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{document}