\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 !  
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{ulem}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{lscape}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{eurosym}
\usepackage{color}
%%%%%%Tapuscrit Denis Vergès
% Sujet aimablement transmis par Emmanuelle Pernot 
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-coil,pstricks-add}
\setlength\paperheight{297mm}
\setlength\paperwidth{210mm}
\setlength{\textheight}{23,5cm}
\setlength{\voffset}{-1,5cm}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr} 
\usepackage{graphicx}
\usepackage{multicol}
\usepackage{mathrsfs}
%\pagestyle{fancy}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Baccalauréat STI Génie mécanique, énergétique, civil}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{novembre 2011}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat STI Novembre
 2011~\decofourright\\Génie mécanique - Génie énergétique - Génie civil\\Nouvelle-Calédonie}}
\end{center}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points}

\medskip
 
Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct \Ouv.
 
Le nombre i désigne le nombre complexe de module 1 et dont un argument est $\dfrac{\pi}{2}$.
 
\begin{enumerate}
\item Résoudre, dans l'ensemble des nombres complexes; l'équation d'inconnue $z$ (on donnera les solutions sous forme algébrique) :
 
\[(z- 2 - 2\text{i})\left(\text{i}z +\sqrt{3} - 3\text{i}\right) = 0.\]
 
\item On note A, B et C les trois points du plan complexe d'affixes respectives: 

\[a = 3 + \sqrt{3}\text{i},\quad  b=2 + 2\text{i}\quad  \text{et}\:\: c = 2\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}.\] 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le module et un argument de chacun des nombres complexes $a$ et $b$. 
		\item Exprimer le nombre complexe $c$ sous forme algébrique. 
		\item Placer les points A, B et C dans le plan muni du repère \Ouv. On prendra 2~cm comme unité graphique. 
		\item Démontrer que le triangle OCA est un triangle isocèle.
	\end{enumerate} 
\item Justifier brièvement le fait que la droite (AC) est parallèle à l'axe des abscisses.

En déduire la valeur exacte de l'aire du triangle OCA. 
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
La droite (OB) est-elle une bissectrice du triangle OCA ?
\end{enumerate}
 
\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 4 points}

\medskip

Une société commercialise des appareils de deux types A et B. Pour chaque appareil vendu le client a le choix entre deux formules de paiement: immédiat ou fractionné.
 
La société a vendu 200 appareils en 2010. La répartition des appareils vendus, selon le type et la formule de paiement, est détaillée dans le tableau suivant.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-4} 
\multicolumn{1}{c|}{~}&Type A &Type B&Total \\ \hline%
Paiement immédiat&20&30 &50\\ \hline%  
Paiement fractionné& 50 &100& 150\\ \hline% 
Total &70 &130 &200\\ \hline%
\end{tabularx}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Pour fidéliser sa clientèle, la société envisage de récompenser par un chèque cadeau l'un de ses clients ayant acheté en 2010 un appareil de type A ou B. Pour cela, elle réalise un tirage aléatoire parmi les fiches des 200 appareils vendus. Le client correspondant sera récompensé. Pour cette expérience aléatoire, on note :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item $A$ l'évènement \og  la fiche tirée correspond à la vente d'un appareil du type A \fg{} ; 
\item $B$ l'évènement \og  la fiche tirée correspond à la vente d'un appareil du type B \fg{} ; 
\item $I$ l'évènement \og  la fiche tirée correspond à la vente d'un appareil avec paiement immédiat \fg{} ; 
\item $F$ l'évènement \og la fiche tirée correspond à la vente d'un appareil avec paiement fractionné \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
	 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la probabilité des évènements $A$ et $I$. 
		\item Calculer la probabilité que la fiche tirée corresponde à la vente d'un appareil du type A et à un paiement fractionné. 
		\item Calculer la probabilité que la fiche tirée corresponde à la vente d'un appareil du type A ou à un paiement fractionné.
	\end{enumerate} 
\item La société décide de moduler le montant du chèque cadeau correspondant à la fiche tirée au sort, selon le type d'appareil et la formule de paiement. Ce montant est détaillé dans le tableau suivant.

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-3} 
\multicolumn{1}{c|}{~}& Type A					& 	Type B\\ \hline 
Paiement immédiat	& Chèque cadeau de 100~\euro&Chèque cadeau de 60~\euro\\ \hline 
Paiement fractionné	& Chèque cadeau de 60~\euro	& Chèque cadeau de 30~\euro\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
	 
	Le montant du chèque cadeau, exprimé en euro, est une variable aléatoire notée $X$ prenant les trois valeurs $30, 60, 100$.
 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité de l'évènement $(X = 60)$ ? 
		\item Donner dans un tableau la loi de la variable aléatoire $X$ 
		\item Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$
	\end{enumerate} 
\item À titre incitatif, la société est à prête à augmenter le montant du chèque cadeau uniquement dans le cas où le tirage correspond à un appareil du type A réglé avec paiement immédiat. Le montant reste inchangé dans les autres cas. La société souhaite cependant que le montant moyen du chèque cadeau ne dépasse pas 55~\euro.
 
Quel est le montant maximal du chèque cadeau que peut offrir la société, pour un tirage correspondant à un appareil du type A réglé avec paiement immédiat?
\end{enumerate}
 
\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Problème}\hfill 11 points}

\medskip

\parbox{0.55\linewidth}{Une suspension, sur laquelle est placée une charge de masse M, est composée d'un ressort vertical et, éventuellement, d'un amortisseur (schématisés ci-contre).
 
Pour tout nombre réel $t$ appartenant à l'intervalle $[0 ;~+ \infty[$. on désigne par $y(t)$ l'amplitude du ressort à l'instant $t$. 

On démontre en mécanique que l'amplitude $y$ du ressort, qui est une fonction supposée deux fois dérivable~ est solution de l'équation différentielle:
 
\[(\text{E})\quad  y^{\prime\prime} + cy^{\prime} + 4y = d,\]
 
où $c$ et $d$ sont des constantes liées au système.} \hfill 
 \parbox{0.4\linewidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(5,4.5)
\psframe(0,0)(5,0.5)
\pszigzag[coilarm=.5cm,coilwidth=.5cm](1,0.5)(1,3.5)
\psline(1,3.5)(3.5,3.5)(3.5,0.5)
\psline(2.25,3.5)(2.25,4)
\psframe(1.5,4)(3,4.5)
\rput(2.25,4.25){M} 
\uput[l](1,2){Ressort}\uput[r](3.25,0.75){Amortisseur} 
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](3,1)(4,2.5)
\psline(3,2.5)(3,3.) \psline(4,2.5)(4,3.)
\end{pspicture} }
 
 

\begin{center} \textbf{Partie A - Système sans amortissement} \end{center}
 
On suppose, \textbf{dans cette partie uniquement}, que $c = 0$ et $d = 0$. 


\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle (E), qui s'écrit alors $y^{\prime\prime} + 4y = 0$. 
\item Déterminer la solution particulière de l'équation différentielle (E) vérifiant les égalités : 

\[y(0) = 1 \quad \text{et} \quad  y^{\prime}(0) =- 1.\] 

\end{enumerate}

\begin{center} \textbf{Partie B - Système amorti} \end{center}

On suppose maintenant, après avoir modifié les paramètres du système, que l'on a : $c = 4$ et $d = 8$. On admet qu'une solution particulière de l'équation différentielle (E) est définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par : 
 
\[f(t) = (At + B)\text{e}^{-2t} + 2, \]

où $A$ et $B$ sont deux constantes réelles que l'on va déterminer.

 \begin{enumerate}
\item Détermination des constantes $A$ et $B$ 

On donne dans le plan muni d'un  repère orthogonal \Oij{} la représentation graphique $\Gamma$ de la fonction $f$.

\begin{center}
\psset{xunit=2cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(4,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.5,-0.5)(4,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\multido{\n=0.0+0.5}{9}{\psline[linecolor=orange,linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,5)}
\multido{\n=0.0+1}{6}{\psline[linecolor=orange,linewidth=0.2pt](0,\n)(4,\n)}
\psplot[plotpoints=8000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0}{4}{2 4 x mul sub 2.71828 2 x mul exp div 2 add}
\uput[dl](0,0){O}\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0.5,0.5){$\vect{\jmath}$}
\psline{<->}(0.5,1.72933)(1.5,1.72933)\uput[u](0.5,2.6){$\Gamma$}
\end{pspicture}
\end{center} 

On précise que :
 
$\bullet~~$ la courbe $\Gamma$ passe par le point de coordonnées (0~;~4) ;
 
$\bullet~~$ la courbe $\Gamma$ admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses en son point d'abscisse $1$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer à partir de ces renseignements la valeur de $f(0)$.
		 
En déduire la valeur de la constante $B$. 
		\item Exprimer $f^{\prime}(t)$ en fonction de $A$ et de $B$. 
		\item À partir des renseignements précédents, déterminer la valeur de $f^{\prime}(1)$.
		 
En déduire la valeur de la constante $A$.
	\end{enumerate} 
\item Étude de la fonction $f$
 
On admet désormais que pour tout nombre réel $t$ appartenant à l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ :
 
\[f(t) = (-4t + 2)\text{e}^{-2t} + 2.\] 
	\begin{enumerate}
		\item En remarquant que, pour tout nombre réel $t$ de l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ $f(t) = -4t\text{e}^{-2t} + 2\text{e}^{-2t} + 2$, déterminer $\displaystyle\lim_{t \to + \infty}f(t)$.
		 
En déduire l'existence d'une asymptote à $\Gamma$ dont on précisera une équation. 
		\item Vérifier que la fonction dérivée $f^{\prime}$ de la fonction $f$ s'exprime, pour tout nombre réel $t$ appartenant à l'intervalle $[0~;~+ \infty[$, par : $f^{\prime}(t) = 8(t -1)\text{e}^{-2t}$. 
		\item En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. Dresser le tableau de variations sur ce même intervalle. 
		\item Déterminer une équation de la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe $\Gamma$ au point d'abscisse $0$. 
	\end{enumerate}
\item Un calcul d'intégrale
 
Afin de mesurer les sollicitations de cet amortisseur, l'une des données à recueillir est l'amplitude moyenne du ressort sur l'intervalle [0~;~10] donnée par la relation :
 
\[\mu = \dfrac{1}{10}\int_{0}^{10} f(t)\:\text{d}t.\] 
 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la fonction $G$ définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par $G(t) = 2t\text{e}^{-2t}$, est une primitive de la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par : 
		
		\[g(t) = (-4t + 2)\text{e}^{-2t}.\]
		
		\item En déduire la valeur exacte de l'amplitude moyenne $\mu$ du ressort puis la valeur approchée arrondie à l'entier le plus proche.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{document}