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%%%%%%Tapuscrit Denis Vergès
% Sujet aimablement transmis par Emmanuelle Pernot 
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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Baccalauréat STI Génie mécanique, énergétique, civil}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{novembre 2011}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

 {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STI Novembre
 2011~\decofourright\\Génie mécanique - Génie énergétique - Génie civil\\Nouvelle-Calédonie}}
\end{center}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points}

\medskip
 
%Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct \Ouv.
% 
%Le nombre i désigne le nombre complexe de module 1 et dont un argument est $\dfrac{\pi}{2}$.
 
\begin{enumerate}
\item %Résoudre, dans l'ensemble des nombres complexes; l'équation d'inconnue $z$ (on donnera les solutions sous forme algébrique) :
 
%\[(z - 2 - 2\text{i})\left(\text{i}z +\sqrt{3} - 3\text{i}\right) = 0.\]
$(z - 2 - 2\text{i})\left(\text{i}z +\sqrt{3} - 3\text{i}\right) = 0 \iff \left\{\begin{array}{l c l}
z - 2 - 2\text{i}&=&0\\
\text{i}z +\sqrt{3} - 3\text{i}&=&0
\end{array}\right.\iff$

$ \left\{\begin{array}{l c l}
z  &=&2 + 2\text{i}\quad \text{ou}\\
\text{i}z &=&- \sqrt{3} + 3\text{i}
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
z  &=&2 + 2\text{i}\quad \text{ou}\\
z &=&+\text{i} \sqrt{3} + 3
\end{array}\right.$

L'équation a deux solutions : $2 + 2\text{i}$ et $3 + \text{i} \sqrt{3}$.
\item %On note A, B et C les trois points du plan complexe d'affixes respectives: 

%\[a = 3 + \sqrt{3}\text{i},\quad  b = 2 + 2\text{i}\quad  \text{et}\: c = 2\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}.\] 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer le module et un argument de chacun des nombres complexes $a$ et $b$.
On a $|a|^2 = 9 + 3 = 12 = \left(2\sqrt{3} \right)^2 \Rightarrow |a| =  2\sqrt{3}$.

D'o\`u en factorisant ce module : $a = 2\sqrt{3}\left( \right)\dfrac{\sqrt{3}}{2 + \text{i}\dfrac{1}{2}} =  2\sqrt{3}\left(\cos \frac{\pi}{6} + \text{i}\sin \frac{\pi}{6}\right) = 2\sqrt{3}\text{e}^{\frac{\pi}{6}}.$

Un argument de $a$ est donc $\frac{\pi}{6}$.
		
$|b|^2 = 4 + 4 = 4\times 2 = \left(2\sqrt{2} \right)^2 \Rightarrow |b| =  2\sqrt{2}$.

Comme pour $a$, on peut écrire :

$b = 2\sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right) = 2\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi}{4} + \text{i}\sin \frac{\pi}{4}\right) = 2\sqrt{2}\text{e}^{\frac{\pi}{4}}.$	

Un argument de $b$ est donc $\frac{\pi}{4}$.	
		\item %Exprimer le nombre complexe $c$ sous forme algébrique.
On sait que $\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}= \cos \frac{\pi}{3} + \text{i}\sin \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} + \text{i}\frac{\sqrt{3}}{2}$, donc $c = 2\left(\frac{1}{2} + \text{i}\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = 1 + \text{i}\sqrt{3}$.		 
		\item %Placer les points A, B et C dans le plan muni du repère \Ouv. On prendra 2~cm comme unité graphique.
Voir la figure. 
		\item %Démontrer que le triangle OCA est un triangle isocèle.
CA$^2	 = \left|z_{\text{A}} - z_{\text{C}}\right|^2 = \left|3 + \text{i}\sqrt{3} - 1 - \text{i}\sqrt{3} \right|^2 = \left|2\right|^2 = 4$.

D'autre part $|c|^2 = \text{OC}^2 = 2^2 = 4$.

Donc $\text{CA}^2 =  \text{OC}^2 \Rightarrow \text{CA} = \text{OC} \Rightarrow $ OCA est isocèle en C.	
	\end{enumerate} 
\item %Justifier brièvement le fait que la droite (AC) est parallèle à l'axe des abscisses.
Les points A et C ont la m\^eme ordonnée : la droite (AC) est donc parallèle à l'axe des abscisses.
%En déduire la valeur exacte de l'aire du triangle OCA.
En prenant comme base le segment [CA] la hauteur correspondante a pour mesure $\sqrt{3}$, donc l'aire du triangle OAC est égale à :

$\dfrac{\text{CA} \times \sqrt{3}}{2} =  \dfrac{2 \times \sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.
\item %\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
%La droite (OB) est-elle une bissectrice du triangle OCA ?
Avec les arguments trouvés pour $a, b$ et $c$, on a :

$\left(\vect{\text{OA}},~\vect{\text{OB}}\right) = \dfrac{\pi}{4} - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{3\pi - 2\pi}{12} = \dfrac{\pi}{12}$ ;

$\left(\vect{\text{OB}},~\vect{\text{OC}}\right) = \dfrac{\pi}{3} - \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{4\pi - 3\pi}{12} = \dfrac{\pi}{12}$.

Conclusion : La droite (OB) est une bissectrice du triangle OCA. 
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-1,-0.5)(3.2,2.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-1,-0.5)(3.2,2.5)
\psdots(3,1.732)(2,2)(1,1.732)
\uput[u](3,1.732){A}\uput[ur](2,2){B}\uput[ul](1,1.732){C}\uput[dl](0,0){O}
\pspolygon(0,0)(3,1.732)(1,1.732)
\psline(2,2)
\end{pspicture}
\end{center} 
\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 4 points}

\medskip

%Une société commercialise des appareils de deux types A et B. Pour chaque appareil vendu le client a le choix entre deux formules de paiement: immédiat ou fractionné.
% 
%La société a vendu 200 appareils en 2010. La répartition des appareils vendus, selon le type et la formule de paiement, est détaillée dans le tableau suivant.
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-4} 
%\multicolumn{1}{c|}{~}&Type A &Type B&Total \\ \hline%
%Paiement immédiat&20&30 &50\\ \hline%  
%Paiement fractionné& 50 &100& 150\\ \hline% 
%Total &70 &130 &200\\ \hline%
%\end{tabularx}
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Pour fidéliser sa clientèle, la société envisage de récompenser par un chèque cadeau l'un de ses clients ayant acheté en 2010 un appareil de type A ou B. Pour cela, elle réalise un tirage aléatoire parmi les fiches des 200 appareils vendus. Le client correspondant sera récompensé. Pour cette expérience aléatoire, on note :

%\setlength\parindent{6mm}
%\begin{itemize}
%\item $A$ l'évènement \og  la fiche tirée correspond à la vente d'un appareil du type A \fg{} ; 
%\item $B$ l'évènement \og  la fiche tirée correspond à la vente d'un appareil du type B \fg{} ; 
%\item $I$ l'évènement \og  la fiche tirée correspond à la vente d'un appareil avec paiement immédiat \fg{} ; 
%\item $F$ l'évènement \og la fiche tirée correspond à la vente d'un appareil avec paiement fractionné \fg.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
	 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer la probabilité des évènements $A$ et $I$.
		$p(A) = \dfrac{70}{200} = \dfrac{35}{100} = 0,35$ ;
		
		$p(I) = \dfrac{50}{200} = \dfrac{25}{100} = 0,25$. 
		\item %Calculer la probabilité que la fiche tirée corresponde à la vente d'un appareil du type A et à un paiement fractionné.
$p(A \cap F) = \dfrac{50}{200} = \dfrac{25}{100} = 0,25$. 
		\item %Calculer la probabilité que la fiche tirée corresponde à la vente d'un appareil du type A ou à un paiement fractionné.
$p(A \cup F) = p(A) + p(F) - p(A \cap F)$.

Or $p(F) = \dfrac{150}{200} = \dfrac{75}{100} = 0,75$. Donc :

$p(A \cup F) = 0,35 + 0,75 - 0,25 = 0,85$. 
	\end{enumerate} 
\item %La société décide de moduler le montant du chèque cadeau correspondant à la fiche tirée au sort, selon le type d'appareil et la formule de paiement. Ce montant est détaillé dans le tableau suivant.

%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-3} 
%\multicolumn{1}{c|}{~}& Type A					& 	Type B\\ \hline 
%Paiement immédiat	& Chèque cadeau de 100~\euro&Chèque cadeau de 60~\euro\\ \hline 
%Paiement fractionné	& Chèque cadeau de 60~\euro	& Chèque cadeau de 30~\euro\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\medskip
%	 
%	Le montant du chèque cadeau, exprimé en euro, est une variable aléatoire notée $X$ prenant les trois valeurs $30, 60, 100$.
 
	\begin{enumerate}
		\item %Quelle est la probabilité de l'évènement $(X = 60)$ ?
		Il y a $30 + 50 = 80$ ventes qui conduisent à un chèque cadeau de 60~\euro, donc 
		
$p(X = 60 ) = \dfrac{80}{200} = \dfrac{40}{100} = 0,4$.
		\item %Donner dans un tableau la loi de la variable aléatoire $X$
\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$X$&30&60&100\\ \hline
$p(X = x_{i})$&0,5&0,4&0,1\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip 
		\item %Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$.
E$(X) = 30 \times 0,5 + 60 \times 0,4 + 100 \times 0,1 = 15 + 24 + 10 = 59$~(\euro).
	\end{enumerate} 
\item %À titre incitatif, la société est à prête à augmenter le montant du chèque cadeau uniquement dans le cas où le tirage correspond à un appareil du type A réglé avec paiement immédiat. Le montant reste inchangé dans les autres cas. La société souhaite cependant que le montant moyen du chèque cadeau ne dépasse pas 55~\euro.
 
%Quel est le montant maximal du chèque cadeau que peut offrir la société, pour un tirage correspondant à un appareil du type A réglé avec paiement immédiat ?
Soit $m$ le montant maximal. Il faut que l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$ soit inférieure ou égale à 55, soit :

$30 \times 0,5 + 60 \times 0,4 + m \times 0,1 \leqslant 55 \iff 38 + 0,1m \leqslant 55 \iff 0,1m \leqslant 17 \iff m \leqslant 170$.

La société peut offrir jusque'à 170~\euro{} par appareil A vendu avec un règlement immédiat.
\end{enumerate}
 
\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Problème}\hfill 11 points}

%\medskip
%
%\parbox{0.55\linewidth}{Une suspension, sur laquelle est placée une charge de masse M, est composée d'un ressort vertical et, éventuellement, d'un amortisseur (schématisés ci-contre).
% 
%Pour tout nombre réel $t$ appartenant à l'intervalle $[0 ;~+ \infty[$. on désigne par $y(t)$ l'amplitude du ressort à l'instant $t$. 
%
%On démontre en mécanique que l'amplitude $y$ du ressort, qui est une fonction supposée deux fois dérivable~ est solution de l'équation différentielle:
% 
%\[(\text{E})\quad  y^{\prime\prime} + cy^{\prime} + 4y = d,\]
% 
%où $c$ et $d$ sont des constantes liées au système.} \hfill 
% \parbox{0.4\linewidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(5,4.5)
%\psframe(0,0)(5,0.5)
%\pszigzag[coilarm=.5cm,coilwidth=.5cm](1,0.5)(1,3.5)
%\psline(1,3.5)(3.5,3.5)(3.5,0.5)
%\psline(2.25,3.5)(2.25,4)
%\psframe(1.5,4)(3,4.5)
%\rput(2.25,4.25){M} 
%\uput[l](1,2){Ressort}\uput[r](3.25,0.75){Amortisseur} 
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](3,1)(4,2.5)
%\psline(3,2.5)(3,3.) \psline(4,2.5)(4,3.)
%\end{pspicture} }
% 
% 
%
%\begin{center} \textbf{Partie A - Système sans amortissement} \end{center}
% 
%On suppose, \textbf{dans cette partie uniquement}, que $c = 0$ et $d = 0$. 


\medskip

\begin{enumerate}
\item %Résoudre l'équation différentielle (E), qui s'écrit alors $y^{\prime\prime} + 4y = 0$.
L'équation est de la forme  $y^{\prime\prime} + \omega^2y = 0$, avec $\omega = 2$. Toutes les solutions de (E) sont définies sur $\R$ par :

$f(x) =  A\cos 2x + B\sin 2x$, avec $A$ et $B$ deux constantes réelles.
\item %Déterminer la solution particulière de l'équation différentielle (E) vérifiant les égalités : 

%\[y(0) = 1 \quad \text{et} \quad  y^{\prime}(0) =- 1.\] 
Avec $y =  A\cos 2x + B\sin 2x,$

$y^{\prime} = - 2A\sin 2x + 2B\cos 2x$,

$y^{\prime\prime} = - 4A\cos 2x  - 4B \sin 2x$. Donc 

$\left\{\begin{array}{l c l}
y(0) &=& 1\\
y^{\prime}(0) &=& - 1
\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l c l}
A &=& 1\\
2B &=& - 1
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
A &=& 1\\
B &=& - \dfrac{1}{2}.
\end{array}\right.$

La solution particulière est donc :

$y = \cos 2x - \dfrac{1}{2}\sin 2x$.
\end{enumerate}

\begin{center} \textbf{Partie B - Système amorti} \end{center}

%On suppose maintenant, après avoir modifié les paramètres du système, que l'on a : $c = 4$ et $d = 8$. On admet qu'une solution particulière de l'équation différentielle (E) est définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par : 
% 
%\[f(t) = (At + B)\text{e}^{-2t} + 2, \]
%
%où $A$ et $B$ sont deux constantes réelles que l'on va déterminer.

\begin{enumerate}
\item %Détermination des constantes $A$ et $B$ 

%On donne dans le plan muni d'un  repère orthogonal \Oij{} la représentation graphique $\Gamma$ de la fonction $f$.
%
%\begin{center}
%\psset{xunit=2cm,yunit=1cm}
%\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(4,5)
%\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.5,-0.5)(4,5)
%\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
%\multido{\n=0.0+0.5}{9}{\psline[linecolor=orange,linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,5)}
%\multido{\n=0.0+1}{6}{\psline[linecolor=orange,linewidth=0.2pt](0,\n)(4,\n)}
%\psplot[plotpoints=8000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0}{4}{2 4 x mul sub 2.71828 2 x mul exp div 2 add}
%\uput[dl](0,0){O}\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0.5,0.5){$\vect{\jmath}$}
%\psline{<->}(0.5,1.72933)(1.5,1.72933)\uput[u](0.5,2.6){$\Gamma$}
%\end{pspicture}
%\end{center} 
%
%On précise que :
% 
%$\bullet~~$ la courbe $\Gamma$ passe par le point de coordonnées (0~;~4) ;
% 
%$\bullet~~$ la courbe $\Gamma$ admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses en son point d'abscisse $1$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer à partir de ces renseignements la valeur de $f(0)$.
On a $f(0) = 4$ (lisible aussi sur le graphe).		 
%En déduire la valeur de la constante $B$.
$f(0) = 4 \iff  (A \times 0 + B)\text{e}^{-2\times 0} + 2 = 4 \iff B + 2 = 4 \iff B = 2$.
		\item %Exprimer $f^{\prime}(t)$ en fonction de $A$ et de $B$.
$f^{\prime}(t) = A\text{e}^{-2t} - 2(At + B)\text{e}^{-2t} = (A - 2B - 2At)\text{e}^{-2t}$.		 
		\item À partir des renseignements précédents, déterminer la valeur de $f^{\prime}(1)$.
La deuxième information signifie que $f^{\prime}(1) = 0$ (tangente horizontale), soit d'après le résultat précédent :

$f^{\prime}(1) = (A - 2B - 2A \times 1)\text{e}^{-2\times 1} = 0 \iff (- A - 2B)\text{e}^{-2} = 0 \iff - A - 2B = 0 \iff A = - 2B = - 4$ d'après la question a.)		 
%En déduire la valeur de la constante $A$.

Finalement $f(t) = (-4t + 2)\text{e}^{-2t} + 2$.
	\end{enumerate} 
\item %Étude de la fonction $f$
 
%On admet désormais que pour tout nombre réel $t$ appartenant à l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ :
 
%\[f(t) = (-4t + 2)\text{e}^{-2t} + 2.\] 
	\begin{enumerate}
		\item %En remarquant que, pour tout nombre réel $t$ de l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ $f(t) = -4t\text{e}^{-2t} + 2\text{e}^{-2t} + 2$, déterminer $\displaystyle\lim_{t \to + \infty}f(t)$.
Posons $T = 2t$ ; donc $-4t\text{e}^{-2t} = 2 \times \left(- 2t\text{e}^{-2t}\right) = 2(- T)\text{e}^{-T}$

Si $t \to + \infty, \quad T \to + \infty$ ; on sait que $\displaystyle\lim_{T \to + \infty} - T\text{e}^{-T} = 0$, donc 

$\displaystyle\lim_{t \to + \infty}-4t\text{e}^{-2t} = 0$.

D'autre part $\displaystyle\lim_{t \to + \infty}2 \text{e}^{-2t} = 0$, d'o\`u par somme de limites :

$\displaystyle\lim_{t \to + \infty}f(t) = 2$.
	 
%En déduire l'existence d'une asymptote à $\Gamma$ dont on précisera une équation.
Ce résultat signifie géométriquement que la droite d'équation $y = 2$ est asymptote horizontale  à $\Gamma$ au voisinage de plus l'infini. 
		\item %Vérifier que la fonction dérivée $f^{\prime}$ de la fonction $f$ s'exprime, pour tout nombre réel $t$ appartenant à l'intervalle $[0~;~+ \infty[$, par : $f^{\prime}(t) = 8(t -1)\text{e}^{-2t}$.
On dérive : $f(t) = (-4t + 2)\text{e}^{-2t} + 2$ :

$f^{\prime}(t) = - 4\text{e}^{-2t} - 2(- 4t + 2)\text{e}^{-2t} = (- 4 + 8t - 4)\text{e}^{-2t} = (8t - 8)\text{e}^{-2t} =$

$  8(t -1)\text{e}^{-2t}$.
		\item %En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. Dresser le tableau de variations sur ce même intervalle.
On sait que $\text{e}^{-2t} > 0$ quel que soit le réel $t$. Le signe de $f^{\prime}(t)$ est donc celui de $(t - 1)$. Donc :

$\bullet~~$ sur [0~;~1]  $f^{\prime}(t) < 0$ : la fonction est décroissante ;

$\bullet~~$ sur $[1~;~+ \infty[, \quad   f^{\prime}(t) > 0$ : la fonction est croissante.

$\bullet~~$ $f(1)$ est le minimum de $f$.
		\item %Déterminer une équation de la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe $\Gamma$ au point d'abscisse $0$.
On a $f(0) = 4$ et $f^{\prime}(0) = - 8$.

$M(x~;~y) \in  \mathcal{T} \iff y - f(0) = f^{\prime}(0) (x - 0) \iff y - 4 = - 8x \iff y = - 8x + 4$.
	\end{enumerate}
\item %Un calcul d'intégrale
 
%Afin de mesurer les sollicitations de cet amortisseur, l'une des données à recueillir est l'amplitude moyenne du ressort sur l'intervalle [0~;~10] donnée par la relation :
 
%\[\mu = \dfrac{1}{10}\int_{0}^{10} f(t)\:\text{d}t.\] 
 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que la fonction $G$ définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par $G(t) = 2t\text{e}^{-2t}$, est une primitive de la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par : 
		
%		\[g(t) = (-4t + 2)\text{e}^{-2t}.\]
$G$ produit de fonctions dérivables sur $[0~;~+ \infty[$ est dérivable sur cet intervalle et :

$G^{\prime}(x) = 2\text{e}^{-2t} - 2 \times 2t\text{e}^{-2t} = \text{e}^{-2t}(2 - 4t) = g(t)$.

$G$ est donc l'une des primitives sur $[0~;~+ \infty[$ de la fonction $g$.		
		\item %En déduire la valeur exacte de l'amplitude moyenne $\mu$ du ressort puis la valeur approchée arrondie à l'entier le plus proche.
$\mu = \dfrac{1}{10}\int_{0}^{10} f(t)\:\text{d}t = \dfrac{1}{10}\int_{0}^{10}\left[(-4t + 2)\text{e}^{-2t} + 2  \right]\:\text{d}t  = \dfrac{1}{10}\int_{0}^{10} g(t)\:\text{d}t + \dfrac{1}{10}\int_{0}^{10} 2\:\text{d}t = \dfrac{1}{10}[G(t)]_{0}^{10} + \dfrac{1}{10}[2t]_{0}^{10} = \dfrac{1}{10} \times 2\times 10\text{e}^{-2\times 10} - \dfrac{1}{10} \times 2\times 0\text{e}^{-2\times 0} + \dfrac{1}{10} \times 2\times 10 - \dfrac{1}{10} \times 2\times 0 = 2\text{e}^{-20} + 2 = 2\left(1 + \text{e}^{-20}\right) \approx 2$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{document}