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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat STI Génie mécanique, énergétique, civil}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{21 juin 2011}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Génie mécanique, civil~\decofourright\\Métropole 21 juin 2011}}

\vspace{0,25cm} 

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

Au libre-service d'un restaurant d'entreprise, un repas est composé obligatoirement d'une entrée, d'un plat et d'un dessert. Pour chaque repas, un employé choisit au hasard :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item une entrée parmi trois : Crudités (C), Salade (S) ou Quiche (Q),
\item un plat parmi deux : Poisson (P) ou Viande (V)
\item un dessert parmi trois : Glace (G), Fruits (F) ou Laitage (L).
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Sur l'annexe fournie (à rendre avec la copie), compléter l'arbre des repas.
\item En déduire le nombre de repas que peut composer un employé.
\item On appelle :
\begin{description}
\item[ ] A l'évènement : \og le repas composé contient le plat de poisson \fg,
\item[ ] B l'évènement : \og le repas composé contient des fruits au dessert \fg.
\end{description}

On note $p$(A) la probabilité de l'évènement A.

Calculer $p$(A), $p$(B), $p(\text{A} \cap \text{B})$ et en déduire $p(\text{A} \cup \text{B})$.
\item  Le tableau suivant donne en kcal le bilan calorique des mets proposés :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|>{\centering \arraybackslash}X|c|>{\centering \arraybackslash}X|}\hline
Entrées	& Crudités (C) : 300	& Salade composée (S) : 300	& Quiche (Q) : 400\\ \hline
Plats	&\multicolumn{2}{c|}{ Viande (V) : 900}				& Poisson (P) : 600\\ \hline
Desserts& Glace (G) : 300		& Laitage (L) : 100			& Fruits (F) : 100\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

Compléter, sur l'annexe, le bilan calorique de chaque repas.
\item  On appelle $R$ la variable aléatoire qui à chaque repas associe son bilan calorique.
	\begin{enumerate}
		\item Donner l'ensemble des valeurs que peut prendre la variable aléatoire $R$.
		\item Établir la loi de probabilité de la variable aléatoire $R$.
		\item Montrer que le bilan calorique moyen d'un repas est \np{1250} kcal.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Les questions sont indépendantes les unes des autres. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.\\
Une seule réponse par question est acceptée et aucune justification n'est demandée.\\
Une bonne réponse rapporte un point.\\
Une mauvaise réponse ou l'absence de réponse n'apporte ni n'enlève de point.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie correspondante.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie pour tout nombre réel $x$ par $f(x) = 3\text{e}^{2x}$. On note $\mathcal{C}_{f}$ sa courbe représentative dans un repère donné.

Une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point de la courbe d'abscisse $0$ est :

A.~~ $y = 3x+3$

B.~~ $y = 6x+6$

C.~~ $y = 3x+6$

D.~~ $y = 6x+3$
\item  Pour tout nombre réel $a$, on définit le nombre $I = \displaystyle\int_{0}^a  \text{e}^{2x}\:\text{d}x$. La valeur de $I$ est :

A.~~ $I = 0,5\text{e}^{2a} - 0,5$

B.~~ $I = 0,5\text{e}^{2a - 0,5}$

C.~~ $I = 0,5 - \text{e}^{2a}$

D.~~ $I = 0,5 - 0,5\text{e}^{2a}$

\item  Soit l'équation différentielle $y' + \dfrac{1}{2}y = 0$
 où $y$ désigne une fonction dérivable de la variable réelle $x$.

Trouver parmi ces fonctions dérivables sur l'ensemble des nombres réels $\R$, une solution de
l'équation proposée.

A.~~ $f(x) = 40\text{e}^{0,5x}$

B.~~ $g(x) = - 10\cos (0,5x) + 12\sin (0,5x)$

C.~~ $h(x) = 120\text{e}^{- 0,5x}$

D.~~ $i(x) = - 0,5x$

\item  Une écriture sous forme exponentielle du nombre complexe $z = - \dfrac{3}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ est :

A.~~ $z = 3\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{3}}$

B.~~ $z = 3\text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}}$

C.~~ $z = \sqrt{3}\text{e}^{\text{i}\frac{5\pi}{6}}$

D.~~ $z = \sqrt{3}\text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}}$

\item  Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé. On considère le point $\Omega$ d'affixe $3 - \text{i}$ et le cercle $\mathcal{C}$ de centre $\Omega$ et de rayon $2\sqrt{2}$. Trouver parmi les points proposés un point du cercle $\mathcal{C}$.

A.~~ M d'affixe $1 - 3\text{i}$

B.~~ N d'affixe $2 + \text{i}\sqrt{3}$

C.~~ P d'affixe $2 - 2\text{i}\sqrt{3}$

D.~~ Q d'affixe $0$
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\medskip

\textbf{Objectif :} \emph{Le but de ce problème est de comparer, sur un exemple, deux méthodes de calcul de volumes.}

\smallskip

On considère la fonction $f$ définie pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [1~;~10] par 

\[f(x) = - x\ln x + 2x.\]

\begin{enumerate}
\item Montrer que la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$ est définie pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [1~;~10] par : $f'(x) = - \ln x + 1.$
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Étudier le signe de $f'(x)$ en fonction des valeurs du nombre réel $x$ de l'intervalle [1~;~10].
		\item En déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [1~;~10].
 	\end{enumerate}
\item On appelle $\mathcal{C}$ la représentation graphique de la fonction $f$ dans un repère orthonormé du plan (unités : 1~cm en abscisses, 1~cm en ordonnées).
	
Représenter graphiquement $\mathcal{C}$ dans ce repère.
\item On considère l'équation (E) : $f(x) = 0$ sur l'intervalle [1~;~10].
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le nombre de solutions de l'équation (E).
		\item Pour chacune des solutions trouvées, donner une valeur approchée à $10^{- 2}$ près, en explicitant votre méthode.
 	\end{enumerate}
\item On considère la fonction $F$, définie pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle [1~;~10], par
	
	\[F(x) = x^2\left(\dfrac{5}{4} - \dfrac{1}{2}\ln x\right).\]

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle [1~;~10].
		\item Sur la représentation graphique réalisée précédemment, hachurer la portion $S$ du plan
comprise entre $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 1$ et $x = 7$.
		\item À l'aide de la représentation graphique, évaluer (en unités d'aire) l'aire de la portion $S$.
		
Justifier la méthode utilisée.
		\item Calculer la valeur exacte de cette aire en unités d'aire.
 	\end{enumerate}
\item On veut déterminer le volume $V_{s}$ du solide engendré par la rotation de la partie hachurée autour de l'axe des abscisses.
	\begin{enumerate}
		\item Méthode par calcul formel :
		
À l'aide d'un logiciel de calcul formel on obtient :

		\[V_{s} = \pi\left(\dfrac{343(\ln 7)^2}{3} - \dfrac{\np{4802}\ln 7}{9} +
\dfrac{\np{1900}}{3}\right)\, \text{unités de volume.}\]
		
En déduire une valeur approchée de $V_{s}$ à $10^{-2}$ près.
		\item Méthode des trois niveaux :
		
\emph{La méthode, dite des trois niveaux, permet d'estimer le volume d'un solide.}
		
\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(7,8.5)
\psline[arrowsize=2pt 3]{<->}(0.4,0.1)(6.2,0.1)
\psline[arrowsize=2pt 3]{<->}(3.3,0.8)(6.2,0.8)
\psline[linestyle=dashed](0.4,5.15)(0.4,0.1)
\psline[linestyle=dashed](6.2,5.15)(6.2,0.1)
\psline[linestyle=dashed](3.3,0.8)(3.3,5.15)
\rput(0.4,5.15){\scalebox{0.205}[0.99]{\psarc(0,0){1.95}{90}{270}}}%
\rput(0.4,5.15){\scalebox{0.205}[0.99]{\psarc[linestyle=dashed](0,0){1.95}{-90}{90}}}%
\rput(3.3,5.15){\scalebox{0.205}[0.99]{\psarc(0,0){2.9}{90}{270}}}%
\rput(3.3,5.15){\scalebox{0.205}[0.99]{\psarc[linestyle=dashed](0,0){2.9}{-90}{90}}}%
\rput(6.2,5.15){\scalebox{0.205}[0.99]{\psarc(0,0){1.92}{90}{270}}}%
\rput(6.2,5.15){\scalebox{0.205}[0.99]{\psarc(0,0){1.92}{-90}{90}}}%
\pscurve[linewidth=1.2pt](0.4,7.1)(1,7.5)(2,7.9)(3,8.05)(4,7.95)(5,7.68)(6,7.25)(6.2,7.1)
\pscurve[linewidth=1.2pt](0.4,3.2)(1,2.8)(2,2.4)(3,2.25)(4,2.35)(5,2.62)(6,3.05)(6.2,3.2)
\uput[ur](0.4,5.15){A$_{0}$}\uput[ur](3.3,5.15){A$_{1}$}\uput[ur](6.2,5.15){A$_{2}$}
\uput[u](3.3,0.1){$h$} \uput[u](4.75,0.8){$\frac{h}{2}$}
\psdots(0.4,5.15)(3.3,5.15)(6.2,5.15)
%\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=lightgray]{0.4}{6.2}{2 x mul x ln x mul sub}
\end{pspicture}
\end{center}

Par cette méthode, le volume estimé d'un solide de révolution de hauteur $h$ est égale à

$V_{e} = \dfrac{1}{6}h\left(\text{A}_{0} + 4\text{A}_{1} +\text{A}_{2}\right)\, \text{où}\, A$_{0}$ est l'aire de la section gauche, A$_{1}$ l'aire de la section
intermédiaire et A$_{2}$ l'aire de la section droite.

Compléter, par des valeurs approchées au centième, le tableau des surfaces figurant en
annexe.

En déduire une valeur approchée à $10^{- 2}$ près de $V_{e}$.
		\item On considère que la méthode des trois niveaux est acceptable si le rapport
$\dfrac{V_{e}}{V_{s}}$ est compris entre 0,95 et 1,05. Peut-on affirmer que cette méthode des trois niveaux est acceptable pour cet exemple ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%% Annexe
\newpage
\begin{center}
\textbf{ANNEXE (à rendre avec la copie)}
\bigskip

\textbf{Exercice 1 : arbre des repas}

\vspace{2cm}

\pstree[treemode=R,levelsep=3.5cm,treesep=2.5cm,nodesep=4pt]{\TR{}}
{\pstree[treesep=1.4cm]{\TR{C}}
	{\pstree[treesep=0.4cm]{\TR{V}}
		{\TR{G}~{\np{1500} kcal}
		\TR{L}~{\np{1300} kcal}
		\TR{F}
		}
	\TR{P}	
	}
\TR{S}
\TR{Q}
}
\vspace{3cm}

\textbf{Problème : tableau des surfaces}

\vspace{1cm}

\renewcommand\arraystretch{1.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|>{\centering \arraybackslash}X|c|>{\centering \arraybackslash}X|}\hline
Surface & Section gauche&Section intermédiaire			&Section droite\\ \hline
Rayons	&				&$f(4) = - 4\ln (4) + 8 \approx 2,45&\\ \hline
Aires	&12,57			&								&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{document}