\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 !
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{textcomp}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{pst-plot,pst-text,pst-node,pst-coil}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\setlength{\textheight}{23,5cm}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\setlength{\voffset}{-1,5cm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\small A. P. M. E. P.}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STI  Génie mécanique, énergétique, civil}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 2007}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STI Polynésie  juin 2007~\decofourright\\Génie mécanique, énergétique, civil}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  5 points}

\medskip

%Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. L'unité graphique est $2$~cm.

%On note i nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.
\begin{enumerate}
\item  %Pour tout nombre complexe  $z$, on pose : 
%\[P(z) = z^3 + \left(2\sqrt{2} - 4\right)z^2 + \left(8 - 8 \sqrt{2}\right)z + 16\sqrt{2}.\]
	\begin{enumerate}
		\item  %Calculer $P(-2\sqrt{2})$.
$P\left(-2\sqrt{2}\right) = \left(-2\sqrt{2}\right)^3 + \left(2\sqrt{2} - 4\right)\left(-2\sqrt{2}\right)^2 + \left(8 - 8 \sqrt{2}\right)\left(-2\sqrt{2}\right) + 16\sqrt{2} = - 16\sqrt{2} + 8\left(2\sqrt{2} - 4 \right) - 16\sqrt{2}  + 32 + 16\sqrt{2} = - 16\sqrt{2} + 16\sqrt{2} - 32  - 16\sqrt{2}  + 32 + 16\sqrt{2} = 0$.
		\item  %Déterminer une factorisation de $P(z)$ sous la forme :
		
%$P(z)= \left(z + 2\sqrt{2}\right)\left(z^2 + \alpha z+\beta\right)$ où $\alpha$	et $\beta$ sont deux nombres réels que l'on déterminera.
$P(z) = z^3 + \left(2\sqrt{2} - 4\right)z^2 + \left(8 - 8 \sqrt{2}\right)z + 16\sqrt{2} = \left(z + 2\sqrt{2}\right)\left(z^2 + \alpha z+\beta\right) \iff z^3 + \left(2\sqrt{2} - 4\right)z^2 + \left(8 - 8 \sqrt{2}\right)z + 16\sqrt{2} = z^3 + z^2 \left(\alpha + \sqrt{2}\right) + \left(\beta + 2\alpha\sqrt{2}\right)z + 2\beta\sqrt{2} \iff \left\{\begin{array}{l c l}
\alpha + 2\sqrt{2}&=&2\sqrt{2} - 4\\
\beta + 2\alpha\sqrt{2}&=&8 - 8\sqrt{2}\\
2\beta\sqrt{2}&=&16\sqrt{2}
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
\alpha&=&-4\\
8 - 4(2\sqrt{2})&=&8 - 8\sqrt{2}\\
\beta&=&8
\end{array}\right.$

On a donc $P(z) = \left(z + 2\sqrt{2} \right)\left(z^2  - 4z + 8 \right)  $.
\item  %Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation : $P(z) = 0$.
$P(z) = 0 \iff  \left(z + 2\sqrt{2} \right)\left(z^2  - 4z + 8 \right) = 0 \iff  z + 2\sqrt{2} = 0\quad \text{ou} \quad z^2  - 4z + 8 = 0$.

La première équation a pour solution : $c$.

La seconde : $z^2  - 4z + 8 = 0 \iff (z - 2)^2 - 4 + 8 = 0 \iff (z - 2)^2 + 4 = 0 \iff (z - 2)^2 - (2\text{i})^2 = 0 \iff (z - 2 + 2\text{i})(z - 2 - 2\text{i}) = 0 \iff z = 2 - 2\text{i} \quad \text{ou}$

$z = 2 + 2\text{i}$.

\[S = \left\{ - 2\sqrt{2}~;~2 - 2\text{i}~;~2 + 2\text{i}. \right\} \]
	\end{enumerate}
\item  %On note A, B et C les points d'affixes respectives : $a = 2 + 2\text{i},~ b = 2 - 2\text{i}$ et \\$c = -2\sqrt{2}$.
	\begin{enumerate}
		\item  %Placer les points A, B et C dans le repère \Ouv.
Voir figure à la fin.
%Démontrer que A, B, C sont sur un même cercle $\Gamma$ de centre O, dont on donnera le rayon.
On a $|a|^2 = 4 \times 2 = 8~;~|b|^2 = 4 + 4 = 8~;~|c|^2 = 4 + 4 = 8$.

Donc OA = OB = OC $= \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$, ce qui montre que A, B et C appartiennent au cercle centré en O de rayon $2\sqrt{2}$.
		\item  %Déterminer un argument du nombre complexe $a$ puis un argument du nombre complexe $b$.
On peut écrire $a = 2\sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right) = 2\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi}{4} + \text{i}\sin \frac{\pi}{4}\right)$.

Un argument de $a$ est donc $\dfrac{\pi}{4}$.

Comme $b$ est le conjugué de $a$, un de ses arguments est $-\dfrac{\pi}{4}$.		
%En déduire une mesure en radian de l'angle $\left(\vect{\text{OB}},~\vect{\text{OA}}\right).$

$\left(\vect{\text{OB}},~\vect{\text{OA}}\right)  = \left(\vect{\text{OB}},~\vect{u}\right) + $\left(\vect{u},~\vect{\text{OA}}\right) = - \text{arg}(b) - \text{arg}(a) = \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{2}$.
		\item  %Déterminer alors une mesure en radian de l'angle $\left(\vect{\text{CB}},~\vect{\text{CA}}\right)$.
D'après la relation entre l'angle inscrit et l'angle au centre, on a

 $\left(\vect{\text{CB}},~\vect{\text{CA}}\right) = \dfrac{1}{2}$\left(\vect{\text{OB}},~\vect{\text{OA}}\right) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{\pi}{4}$.
		\item  %Démontrer qu'une mesure de l'angle $\left(\vect{\text{AC}},~\vect{\text{AB}}\right)$ est $\dfrac{3\pi}{8}.$
Comme A et B sont symétriques autour de (OC), cette droite (OC) est la médiatrice de [AB], donc C est équidistant de A et de B : le triangle ACB est isocèle en C ; on a donc $\left(\vect{\text{AC}},~\vect{\text{AB}}\right) = \left(\vect{\text{BA}},~\vect{\text{BC}}\right)$, d'où dans le triangle ACB, $\left(\vect{\text{AC}},~\vect{\text{AB}}\right) = \dfrac{\pi - \frac{\pi}{4}}{2} = \dfrac{\frac{3\pi}{4}}{2} = \dfrac{3\pi}{8}$.
		\item  %En déduire l'égalité : $\tan \left(\dfrac{3\pi}{8} \right) = 1 +\sqrt{2}$.
Soit H le point de coordonnées $(2~;~0)$. Le triangle AHC est rectangle en H et on a $\tan \left(\vect{\text{AC}},~\vect{\text{AB}}\right) = \tan \dfrac{3\pi}{8} = \dfrac{\text{HC}}{\text{AH}} = \dfrac{2 + 2\sqrt{2}}{2} = 1 +\sqrt{2}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-3,-3)(3,3)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt,gridcolor=lightgray](-3,-3)(3,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-3,-3)(3,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\vect{u}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{v}$}\uput[dl](0,0){O}
\psdots(2,2)(2,-2)(2.828,0)(2,0)%ABCH
\uput[ur](2,2){A} \uput[dr](2,-2){B} \uput[ul](-2.828,0){C}\uput[ur](2,0){H}
\pspolygon(2,2)(2,-2)(-2.828,0)
\pspolygon(2,2)(0,0)(2,-2)
\pscircle(0,0){2.828}  
\end{pspicture}
\end{center}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  4 points}

\medskip

%Pour former une pièce métallique à partir d'un profilé de $2$~centimètres d'épaisseur, on utilise un marteau pilon.

%Le marteau pilon frappe toutes les 6 secondes, et à chaque coup, l'épaisseur de métal diminue de 2\,\%.
% 
%On note $u_{n}$ ($n$ entier naturel) l'épaisseur en millimètres de la pièce après $n$ frappes de marteau pilon.

%On a donc $u_{0} = 20$.
\begin{enumerate}
\item  %Calculer $u_{1},~ u_{2}$ et $u_{3}$. On donnera les résultats arrondis au centième de millimètre.
Enlever 2\,\% revient à multiplier par $0,98$, donc :

$u_{1} = u_{0} \times 0,98 = 20 \times 0,98 =  19,6$ ;

$u_{2} = u_{1} \times 0,98 = 19,6 \times 0,98 =  19,208 \approx 19,21$ ;

$u_{3} = u_{2} \times 0,98 = 19,208 \times 0,98 =  \nombre{18,8238} \approx 18,82$.
\item  %Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est géométrique, et préciser sa raison.
On a $u_{n+1} = u_{n} \times 0,98$ : la suite est donc géométrique de raison $0,98$ de premier terme $u_{0} = 20$.
\item  %Déterminer $u_{n}$ en fonction de l'entier $n$.
On sait que $u_{n} = u_{0} \times 0,98^n = 20 \times 0,98^n$.
\item  %Quelle est l'épaisseur, arrondie au centième de millimètre, de la pièce après $10$~frappes ?
On a donc $u_{10} = 20 \times 0,98^{10} \approx 16,34$~cm.
\item  %On considère que la pièce est terminée dès que son épaisseur est inférieure à $14$~millimètres.

%Quel est le temps minimal pour que la pièce soit terminée ?
Il faut frapper la pièce un nombre naturel $n$ tel que :

$20\times 0,98^n < 14 \iff 0,98^n < \dfrac{14}{20} \iff 0,98^n < 0,7 \iff n \ln 0,98 < \ln 0,7\quad (\text{par croissance de la fonction logarithme népérien}) \iff n > \dfrac{\ln 0,7}{\ln 0,98}\quad (\text{car}~ \ln 0,7 \quad \text{et par conséquent son inverse sont négatifs})$, soit finalement $n > 17,6$.

Il faut donc au minimum 18 frappes soit un temps de frappe de $18 \times 6 = 108$~s ou encore 1~min 48~s.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill  11 points}

\medskip

%Le plan est rapporté au repère orthonormal \Oij. (L'unité graphique est $2$~cm).

%Le but du problème est l'étude de la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par 
%\[f(x) =  x - 1 + \dfrac{2}{x}- \dfrac{2 \ln (x)}{x}\]
%puis de calculer une aire.
\medskip

\textbf{I. Étude d'une fonction auxiliaire} \boldmath $g$
 \unboldmath
 
\medskip
%On note $g$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par :
%\[ g(x) = x^2  - 4 + 2 \ln (x).\]
\begin{enumerate}
\item %Calculer la fonction dérivée $g'$ de la fonction $g$.
$g$ est la somme de fonctions dérivables sur $]0~;~+ \infty[$ et sur cet intervalle :

$g'(x) = 2x + \dfrac{2}{x} = \dfrac{2x^2 + 2}{x} = 2\dfrac{x^2 + 1}{x}$.
\item %Déterminer le sens de variation de la fonction $g$. (On ne demande pas les limites en $0$ et en $+ \infty$).
Tous les termes de la dérivée sont supérieurs à zéro : donc $g'(x) > 0$, ce qui signifie que la fonction $f$ est croissante sur $]0~;~+ \infty[$.
\item %Résolution de l'équation $g(x) = 0$.
	\begin{enumerate}
		\item  %Démontrer que sur l'intervalle [1 ; 2] l'équation $g(x) = 0$ possède une solution unique $\alpha$.
On a $g(1) = 1 - 4 + 2\ln 1 = - 3 < 0$ ;
		
$g(2) = 4 - 4 + 2\ln 2 = 2\ln 2 = \ln 4 > 0$.

Donc sur l'intervalle [1~;~2], la fonction $g$ est croissante, $g(1) < 0$ et 

$g(2) > 0$ : il existe donc un réel unique $\alpha$ de [1~;~2] tel que $f(\alpha) = 0$.		 
		\item %Donner un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de ce nombre $\alpha$.
		La calculatrice donne :
$g(1,7) \approx -1,7$ et $g(1,8) \approx 0,4$, donc $1,7 < \alpha < 1,8$ ; 

$g(1,71) \approx -0,003$ et $g(1,72) \approx 0,04$, donc $1,71 < \alpha < 1,72$.
	\end{enumerate}
\item %Déduire de ce qui précède le signe de $g(x)$ suivant les valeurs de $x$, dans l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
La	 fonction étant croissante sur  $]0~;~+\infty[$ et s'annulant en $\alpha$, on en déduit que :

- sur $]0~;~\alpha[,~g(x) < 0$ ;

- sur $]\alpha~;~+ \infty[,~g(x) > 0$.
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{II. Étude de la fonction} \boldmath $f$ \unboldmath

\medskip

%Soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans le repère \Oij.
\begin{enumerate}
\item  %Déterminer la limite de $f$ en $0$. Qu'en déduit-on pour la courbe $\mathcal{C}$ ?
On a $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{2}{x} = + \infty$, $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\ln x}{x} = - \infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to 0} -\dfrac{\ln x}{x} = + \infty$, donc $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = + \infty$.
\item  Étude en $+ \infty$.
	\begin{enumerate}
		\item  %Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$.
On sait que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$, que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{2}{x} = 0$ et  $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} x = + \infty$, donc 
		
$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$.
		\item  %Démontrer que la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = x - 1$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$.
Soit $d$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par 
		
$d(x) = f(x) - (x - 1) = \dfrac{2}{x} - \dfrac{2\ln (x)}{x}$.
		
On a vu que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$ et que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{2}{x} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} d(x)  = 0$, ce qui montre que la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = x - 1$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$ au voisinage de plus l'infini.
		\item  %Déterminer les coordonnées du point A commun à la courbe $\mathcal{C}$ et à la droite $\mathcal{D}$.
$\mathcal{C}$ et  $\mathcal{D}$ ont un point commun commun si $d(x) = 0 \iff \dfrac{2 - 2\ln x}{x} = 0 \iff 2 - 2\ln x = 0 \iff 1 - \ln x = 0 \iff 1 = \ln x \iff x = \text{e}$. Il existe donc un seul point commun à $\mathcal{C}$ et à la droite $\mathcal{D}$, le point A$(\text{e}~;~\text{e} - 1)$.
		\item  %Étudier la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à la droite $\mathcal{D}$.
On a $d(x) > 0 \iff \dfrac{2 - 2\ln x}{x} > 0 \iff 1 - \ln x > 0 \iff 1 > \ln x \iff x < \ln \text{e}$ ; 

De même $d(x) < 0 \iff x > \ln \text{e}$.

Donc sur $]0~;~\text{e}[,~d(x) > 0$ ce qui signifie que la courbe $\mathcal{C}$ est au dessus de la droite $\mathcal{D}$ et sur $]\text{e}~;~+ \infty[,~d(x) < 0$, ce qui signifie que la courbe $\mathcal{C}$ est au dessous de la droite $\mathcal{D}$.
	\end{enumerate}
\item  Étude des variations de $f$.
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$. Vérifier que pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+\infty[~ :~ f'(x)= \dfrac{g(x)}{x^2}$, où $g$ est la fonction étudiée dans la partie I.
$f$ est la somme de fonctions dérivables sur $]0~;~+\infty[$ et sur cet intervalle :

$f'(x) = 1 - \dfrac{2}{x^2}- 2\left(\dfrac{\frac{1}{x} \times x - \ln x}{x^2} \right) = 1 - \dfrac{2}{x^2} - 2 \dfrac{1 - \ln x}{x^2} = \dfrac{x^2 - 2 - 2 + 2\ln x}{x^2} = \dfrac{x^2 - 4 + 2\ln x}{x^2} = \dfrac{g(x)}{x^2}$.
		\item 	%En utilisant les résultats de la partie I, dresser le tableau des variations de la fonction $f$.
Comme $x^2 > 0$ si $x > 0$, le signe de $f'(x)$ est celui de $g(x)$ vu à la partie I.
		
Donc sur $]0~;~\alpha[,~f'(x) < 0$ : la fonction $f$ est décroissante et 

sur $]\alpha~;~+ \infty[,~f'(x) > 0$ : la fonction $f$ est croissante. D'où le tableau :

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(8,2.5)
\psframe(8,2.5) \psline(0,2)(8,2) \psline(2,0)(2,2.5)
\uput[u](1,2){$x$} \uput[u](2.2,2){$0$} \uput[u](5,2){e} \uput[u](7.6,2){$+\infty$}\rput(1,1){$f(x)$}
\uput[d](2.3,2){$+ \infty$}\uput[d](7.6,2){$+ \infty$}
\psline{->}(2.6,1.7)(4.4,0.3) \psline{->}(5.6,0.3)(7.4,1.7)
\uput[u](5,0){$\text{e} - 1$} 
\end{pspicture} 
\end{center}
	\end{enumerate}
\item  %On note $\mathcal{T}$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $\text{e}^2$. Montrer que $\mathcal{T}$ est parallèle à l'asymptote $\mathcal{D}$.
On a : $M(x~;~y) \in \mathcal{T} \iff y - f\left(\text{e}^2 \right) = f'\left(\text{e}^2 \right)\left(x - \text{e}^2\right)$.

$f'\left(\text{e}^2 \right) = \dfrac{\text{e}^4 - 4 + 2\ln \text{e}^2}{\text{e}^4} = \dfrac{\text{e}^4}{\text{e}^4} = 1$.

$f\left(\text{e}^2 \right)  = \text{e}^2 - 1 + \dfrac{2}{\text{e}^2} - \dfrac{2\ln \text{e}^2}{\text{e}^2} = \text{e}^2 - 1 + \dfrac{2}{\text{e}^2} - \dfrac{4}{\text{e}^2} = \text{e}^2 - 1 - \dfrac{2}{\text{e}^2}$.

Donc $M(x~;~y) \in \mathcal{T} \iff y - \text{e}^2 + 1 + \dfrac{2}{\text{e}^2} = 1 \left(x - {\text{e}^2}\right) \iff y = x  - 1  - \dfrac{2}{\text{e}^2}$.

Cette tangente a le même coefficient directeur que la droite $\mathcal{D}$.
\item  %Dans le repère \Oij. tracer la droite $\mathcal{D}$, la tangente $\mathcal{T}$ et la courbe $\mathcal{C}$ à l'aide de l'étude précédente. (On prendra $f(\alpha) \approx  1,25$.)
Voir en bas.
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{III. Calcul d'une aire}
 
\medskip

%On définit sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ la fonction $H$ par :
% \[H(x) = \dfrac{x^2}{2} - x + 2\ln x - (\ln x)^2.\]

\begin{enumerate}
\item  %Démontrer que $H$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
$H$ est dérivable sur $]0~;~+\infty[$ et sur cet intervalle :

$H'(\Sx) = x - 1 + \dfrac{2}{x} -  2 \ln x \times \dfrac{1}{x} = x - 1 + \dfrac{2}{x} - \dfrac{2\ln x}{x} = f(x)$.

$H$ est donc une primitive de $f$ sur $]0~;~+\infty[$
\item  %Soit $\mathcal{E}$ la région du plan limitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 1$ et $x = $e.
	\begin{enumerate}
		\item  %Hachurer la région $\mathcal{E}$ sur votre figure.
Voir la figure 
		\item  %On note $S$ l'aire, exprimée en unité d'aire, de la région $\mathcal{E}$. Déterminer la valeur exacte de $S$.
Le minimum de $f$ est $\text{e} - 1 \approx 1,728 > 0$ ; la fonction $f$ est donc positive non nulle.

L'aire en unité d'aire de la partie  $\mathcal{E}$ est donc égale à l'intégrale :

$\displaystyle\int_{1}^{\text{e}} f(x)\:\text{d}x = \left[H(x) \right]_{1}^{\text{e}} = H(\text{e}) -  H(1) = \dfrac{\text{e}^2}{2} - \text{e} + 2\ln \text{e} - (\ln \text{e})^2 - \left(\dfrac{1^2}{2} - 1 + 2\ln 1 - (\ln 1)^2 \right) = \dfrac{\text{e}^2}{2} - \text{e} + 2 - 1 - \dfrac{1}{2} + 1 = \dfrac{\text{e}^2}{2} - \text{e} + \dfrac{1}{2}$~(u. a.)
		\item  %Donner la valeur décimale approchée de cette aire, arrondie au mm$^2$.
L'unité d'aire est égale à $2 \times 2 = 4$~cm$^2$, donc $S = 4\left(\dfrac{\text{e}^2}{2} - \text{e} + \dfrac{1}{2}\right) = 2  + 2\text{e}^2 - 4\text{e} \approx 5,904 \approx 5,90$~cm$^2$ au mm$^2$ près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\psset{unit=1.5cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-0.25,-0.5)(8,8)
\pscustom[fillstyle=vlines]{
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{1}{2.71828}{x 1 sub 2 x div add  x ln 2 mul x div sub}
\psline(2.710828,0)(1,0)(1,2)}
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.25,-0.5)(8,8)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt,gridcolor=lightgray](0,0)(8,8)
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.25pt](7.389,0)(7.389,6.118)(0,6.118)
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$} 
\uput[dl](0,0){O} \uput[d](8,0){$x$}\uput[l](0,8){$y$}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{0.43}{8}{x 1 sub 2 x div add  x ln 2 mul x div sub}
\psplot[linecolor=red]{1.271}{8}{x 1.271 sub }
\uput[dr](2,0.75){$\mathcal{T}$} \uput[ul](1.5,0.8){$\mathcal{D}$}
\psplot[linecolor=green]{0.729}{8}{x 0.729 sub }\uput[r](0.5,5){$\mathcal{C}$}
\uput[d](7.389,0){$\text{e}^2$}
\end{pspicture}
\end{center}

\end{document}