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% Tapuscrit : Denis Vergès
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small STI génie mécanique, énergétique, civil}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 2010}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STI Polynésie  juin 2010~\decofourright\\Génie mécanique, énergétique, civil}}
 \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  5 points}

\medskip

%Le plan est muni d'un repère orthonormal \Ouv. 
%
%On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$. On considère les points A, B et C d'affixes respectives : 
% 
%\[a = 1 + \text{i},\quad  b = a \times  2\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}} \quad  \text{et} \,\,c = - \sqrt{3} + \text{i}\sqrt{3}.\]
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer le module et un argument de chacun des nombres complexes $a,\, b$ et $c$.
On a $|a|^2 = 1 + 1 = 2 \Rightarrow |a| = \sqrt{2}$.
		
Donc $a = \sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)$.

On reconnaît le cosinus et le sinus de $\frac{\pi}{4}$.

Un argument de $a$ est donc $\dfrac{\pi}{4}$ et $a$ peut s'écrire : $a = \sqrt{2}\text{e}^{\frac{\pi}{4}}$. 

$b = a \times 2\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}} = \sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}} \times 
2\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}} = 2\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3}\right)}= 2\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{7\pi}{12}}$.

Le module de $b$ est $2\sqrt{2}$ et un argument de $b$ est 	$\frac{7\pi}{12}$.

$|c|^2 = 3 + 3 = 6 \Rightarrow |c| = \sqrt{6}$.

On peut donc, en factorisant ce modèle écrire 

$c = \sqrt{6}\left(- \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{1}{2}\right) = \sqrt{3}\left(- \dfrac{\sqrt{2}}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$.

On reconnaît le cosinus et le sinus de $\frac{3\pi}{4}$. Un argument de $c$ est donc $\dfrac{3\pi}{4}$.	
		\item %Vérifier que $b = \left(1 - \sqrt{3}\right) + \text{i}\left(1 + \sqrt{3}\right)$.
On a $b = a \times  2\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}} = (1 + \text{i})\times 2 \times \left(\cos \frac{\pi}{3} + \text{i}\sin \frac{\pi}{3}\right) = 2(1 + \text{i})\left(\frac{1}{2} + \text{i}\frac{\sqrt{3}}{2}\right) =$

$ (1 + \text{i})(1  + \text{i}\sqrt{3}) = 1 - \sqrt{3} + \text{i}\left(1 + \sqrt{3} \right)$.
		\item %En  déduire que : $\cos \left(\dfrac{7\pi}{12}\right)  = 	\dfrac{1 - \sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$.
On a vu que $b =  2\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}
\frac{7\pi}{12}} = 2\sqrt{2}\left(\cos \frac{7\pi}{12} + \text{i}\sin \frac{7\pi}{12} \right)$ et on vient de voir que $b =  1 - \sqrt{3} + \text{i}\left(1 + \sqrt{3} \right)$, donc par identification des parties réelles : 

$\cos \left(\dfrac{7\pi}{12}\right)  = 	\dfrac{1 - \sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$.
		\item %Placer les points A, B et C dans le plan muni du repère \Ouv d'unité graphique 2~cm.
Voir à la fin.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que le triangle OAB est un triangle rectangle.
On a OA$^2 = 2$ et  OB$^2 = \left(2\sqrt{2}\right)^2 = 8$.

AB$^2 = \left|z_{\text{B}} -  z_{\text{A}}\right|^2 = \left|1 - \sqrt{3} + \text{i}\left(1 + \sqrt{3} \right) - (1 + \text{i}) \right|^2 = \left|- \sqrt{3} + \text{i}\sqrt{3} \right|^2 = 3 + 3 = 6$.

Or $2 + 6 = 8 \iff \text{OA}^2 + \text{AB}^2  = \text{OB}^2 \iff $ OAB est un triangle rectangle en A d'après la réciproque du théorème de Pythagore.
		\item %Déterminer le centre et le rayon du cercle circonscrit au triangle OAB et construire ce cercle.
OAB est un triangle rectangle : il est donc inscrit dans le cercle centré au milieu de son hypoténuse [OB] dont les coordonnées sont  donc 

$\left(\dfrac{1 - \sqrt{3}}{2}~;~\dfrac{1 + \sqrt{3}}{2} \right)$.

On sait de plus que [OB] est un diamètre de ce cercle ; comme OB $ = 2\sqrt{2}$, le rayon du cercle mesure $\sqrt{2}$. 
			\end{enumerate} 
\item %Déterminer la nature du quadrilatère OABC et prouver que le point C appartient au cercle circonscrit au triangle OAB.
Le milieu du segment [AC] a pour coordonnées : $\left(\dfrac{1 - \sqrt{3} }{2}~;~\dfrac{1 + \sqrt{3} }{2}\right)$ : c'est donc le centre du cercle donc le milieu du diamètre  [OB]. 

Conclusion : le quadrilatère OABC a ses diagonales qui ont le même milieu, c'est donc un parallélogramme ; de plus il a un angle droit : c'est donc un rectangle inscrit dans le cercle précédent. Donc C appartient à ce cercle.
\end{enumerate}

\medskip
\begin{center}
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-2,-0.5)(2,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-2,-0.5)(2,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psdots(1.414;45)(2.828;105)(2.449;135)
\pspolygon(0,0)(1.414;45)(2.828;105)(2.449;135)
\uput[dl](0,0){O}\uput[ur](1.414;45){A}\uput[ul](2.828;105){B}\uput[ul](2.449;135){C}
\pscircle(-0.366,1.366){1.414}
\end{pspicture}
\end{center}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  4 points}

\medskip

%On fixe à l'extrémité d'un ressort horizontal un objet $M$, qui peut coulisser sans frottement sur un plan. Le point A, où est accrochée l'autre extrémité du ressort, est fixe.
% 
%Après avoir été écarté de sa position d'équilibre, l'objet est lâché avec une vitesse initiale.
% 
%On repère l'objet par son abscisse $X$ qui est fonction du temps $t$ et qui mesure l'écart entre la position à un instant $t$ et sa position initiale.
% 
%On admet qu'à un instant $t$, la fonction $X$ est solution de l'équation différentielle ($E$) :
% 
%\[X'' +100 X = 0.\]
%
%\psset{unit=1cm,coilwidth=0.25cm}
%\begin{center}
%\begin{pspicture}(11,4)
%\psframe(0,0.4)(10.4,2.65)
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1,1.2)(10,1.6)
%\psframe[fillstyle=vlines](1.4,1.6)(1.6,2.2)
%\psframe(4.7,1.6)(7.2,2.4)
%\psline(4,0.8)(4,1.5)\psline[linestyle=dashed](6.1,1)(6.1,2.2)
%\psline{->}(4,1)(6.1,1)
%\rput(1.6,2.8){A} \rput(6.1,2.8){M$$}\rput(6,0.7){$X(t)$}
%\rput(4,0.6){Position initiale}
%\pszigzag(4.7,1.8)(1.6,1.8)
%\end{pspicture}
%\end{center} 


\begin{enumerate}
\item %Résoudre l'équation différentielle ($E$).
$X'' +100 X = 0 \iff X'' = - 100X$ : on sait que les solutions de cette équation différentielle sont définies par $f(t) = A\cos 10t + B\sin 10t$, avec $A$ et $B$  réels quelconques. 
\item %Déterminer l'expression de la solution particulière X de (E) qui vérifie les conditions :
 
%\[X(0) = 10^{-1} \quad \text{et} \quad  X'(0) = 1.\]
Les solutions vérifient $f'(t) = -10A\sin 10t + 10B\cos 10t$.

Donc $\left\{\begin{array}{l c l}
X(0)	&=	&10^{-1}\\
X'(0)	&=	& 1
\end{array}\right. \iff  
\left\{\begin{array}{l c l}
A&=&10^{-1}\\
10B& =&1
\end{array}\right.\iff 
\left\{\begin{array}{l c l}
A&=&10^{-1}\\
B& =&10^{-1}
\end{array}\right.$

La solution particulière est donc $X(t) = 10^{-1}\cos 10t + 10^{-1}\sin 10t$.

\item  %Montrer que pour tout nombre réel $t$ de l'intervalle $[0~;~+ \infty[$, on a : 

%\[X(t) = 10^{-1}\sqrt{2}\cos \left(10t - \dfrac{\pi}{4}\right).\]
On a $X(t) = 10^{-1}\cos 10t + 10^{-1}\sin 10t = 10^{-1}(\cos 10t + \sin 10t) =$

$ 10^{-1}\times \sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cos 10t + \dfrac{\sqrt{2}}{2}\sin 10t\right) = 10^{-1}\times \sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi}{4}\cos 10t + \sin \frac{\pi}{4}\sin 10t  \right) = 10^{-1} \sqrt{2}\cos \left(10t - \dfrac{\pi}{4} \right)$, d'après la formule :

$\cos (a - b) = \cos a \cos b + \sin a\sin b$, quels que soient $a$ et $b$.
\item %Vérifier que l'énergie mécanique $W$ du système, définie pour tout nombre réel $t$ de l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par :
 
%\[W(t) = 10^{-1}[X'(t)]^2 + 10[X(t)]^2,\]
 
%est constante.
On a  $W(t) = 10^{-1}[X'(t)]^2 + 10[X(t)]^2 = $

$10^{-1}\times \left(\sqrt{2}\sin \left(10t - \dfrac{\pi}{4} \right) \right)^2 + 10 \times 10^{-2}\times 2 \times \cos ^2 \left(10t - \dfrac{\pi}{4} \right) =$

$ 0,2\sin ^2\left(10t - \dfrac{\pi}{4} \right) + 0,2\cos ^2\left(10t - \dfrac{\pi}{4} \right) = 0,2.$
\item  %Déterminer la valeur moyenne de la fonction $X$ sur l'intervalle $\left[0~;~\dfrac{\pi}{10}\right[$.

%\emph{On rappelle que la valeur moyenne d'une fonction sur l'intervalle $[a~;~b]$ est donnée par} :
  
%\[\dfrac{1}{b-a}\int_{a}^b f(x)\:\text{d}x.\] 
La valeur moyenne de la fonction $X$ sur l'intervalle $\left[0~;~\dfrac{\pi}{10}\right[$ est égale à :

$\dfrac{1}{\frac{\pi}{10}-0}\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{10}} f(t)\:\text{d}t = \dfrac{10}{\pi}\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{10}} 10^{-1} \sqrt{2}\cos \left(10t - \dfrac{\pi}{4} \right)\:\text{d}t = $

$\dfrac{10}{\pi}\left[10^{-1} \sqrt{2}\times \dfrac{1}{10}\sin \left(10t - \dfrac{\pi}{4} \right)  \right]_{0}^{\frac{\pi}{10}} = \dfrac{10}{\pi}\times 10^{-1} \sqrt{2}\times 10^{-1}\left[\sin\left(\pi - \dfrac{\pi}{4}\right) - \sin \left(- \dfrac{\pi}{4}\right)\right] = \dfrac{1}{10\pi}\sqrt{2}\left[\sin \dfrac{3\pi}{4}- \sin \left(- \dfrac{\pi}{4}\right)\right] = \dfrac{1}{10\pi}\sqrt{2}\left[ \dfrac{\sqrt{2}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right] = \dfrac{\sqrt{2}}{10\pi} \times \sqrt{2} = \dfrac{1}{5\pi}$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill  11 points}

\medskip

%Sur la feuille \textbf{annexe}, on a représenté, dans le plan muni d'un repère orthogonal \Oij{} la courbe représentative $\mathcal{C}$ d'une fonction $f$ définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels.
% 
%La courbe $\mathcal{C}$ passe par les points A(0~;~1), B(1~;~1) et C$(2~;-1)$.
%
%\medskip
 
\textbf{Partie A : détermination de la fonction}\,\boldmath $f$ \unboldmath
 
\begin{enumerate}
\item %Donner les valeurs de $f(0),\, f(1)$ et $f(2)$.
On a $f(0) = 1,~f(1) = 1,~f(2) = - 1$. 
\item %On suppose que pour tout nombre réel $x,\, f(x)$ s'écrit :

%\[f(x) = \left(ax + bx^2\right)\text{e}^{(-x+2)} + c$, où les lettres $a,\, b$ et $c$ désignent trois nombres réels.
 
%En utilisant la question 1., déterminer la valeur des nombres $a,\, b$ et $c$.
On a $\left\{\begin{array}{l c l}
f(0)& =& 1\\
f(1)& =& 1\\
f(2)& =& - 1
\end{array}\right. \iff 
\left\{\begin{array}{l c l}
c& =& 1\\
(a + b)\text{e} + c& =& 1\\
(2a + 4b) + c& =& - 1
\end{array}\right. \iff
\left\{\begin{array}{l c l}
c& =& 1\\
(a + b)\text{e} & =&0\\
(2a + 4b) & =& - 2
\end{array}\right.$

$\iff  \left\{\begin{array}{l c l}
c& =& 1\\
a + b & =&0\\
(a + 2b) & =& - 1
\end{array}\right. \iff
\left\{\begin{array}{l c l}
c& =& 1\\
b& =&-a\\
a  - 2a & =& - 1
\end{array}\right.\iff
\left\{\begin{array}{l c l}
c& =& 1\\
b& =&-1\\
a& =&1
\end{array}\right.$

Conclusion : $f(x) = \left(x - x^2 \right)\text{e}^{(- x + 2)} + 1$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B : étude de la fonction}\, \boldmath $f$ \unboldmath

\medskip
 
%\emph{Dans toute la suite du problème, on admettra que} : 
%
%\[f(x) = \left(x  - x^2\right)\text{e}^{(-x + 2)} + 1.\] 

\begin{enumerate}
\item %Déterminer la limite de la fonction $f$ en $- \infty$.
$f(x) = x \text{e}^{(-x + 2)} - x^2\text{e}^{(-x + 2)} + 1$.

On sait que $\displaystyle\lim_{x \to - \infty}x\text{e}^{(-x + 2)} = - \infty$, et $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} - x^2\text{e}^{(-x + 2)} = - \infty$ donc par somme de limites, $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = - \infty$.
	\begin{enumerate}
		\item %Établir que pour tout nombre réel $x,\, f(x) = \text{e}^{2}\left(x\text{e}^{-x}  - x^2\text{e}^{-x}\right) + 1$.
On a $\text{e}^{(-x + 2)} = \text{e}^{(-x)}\times \text{e}^{(2)}$, donc 
		
$f(x) =  \text{e}^{(2)}\left(x  - x^2 \right)\text{e}^{(-x)} + 1 = \text{e}^{2}\left(x\text{e}^{-x}  - x^2\text{e}^{-x}\right) + 1$.
		\item %En déduire la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$.
On sait que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}x^n\text{e}^{(-x + 2)} = 0$, quel que soit le naturel $n$, donc 

$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 1$. 
		\item %Interpréter graphiquement le résultat obtenu.
Géométriquement le résultat précédent signifie que la droite d'équation $y = 1$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$ au voisinage de plus l'infini.
	\end{enumerate} 
\item %Montrer que la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$ est définie pour tout nombre réel $x$ par :
 
%\[f'(x) = \left(x^2 - 3x + 1\right)\text{e}^{(-x+2)}.\]
$f$ produit de fonctions dérivables sur $\R$ est dérivable et sur cet intervalle :

$f'(x) = (1 - 2x)\text{e}^{(-x + 2)} + (- 1) \times \left(x  - x^2\right)\text{e}^{(-x + 2)} = \left(1 - 2x - x + x^2\right)\text{e}^{(-x + 2)}  =$

$ \left(x^2 - 3x + 1\right)\text{e}^{(-x + 2)}$.
\item %Étudier le signe de $f'(x)$ sur $\R$, puis établir le sens de variation de la fonction $f$ sur $\R$.
On sait que quel que soit le réel $x,~\text{e}^{(-x + 2)} > 0$, donc le signe de $f'(x)$ est celui du trinôme  $x^2 - 3x + 1$.

Comme $\Delta = 9 - 4 = 5 > 0$, ce trinôme a deux racines : $\dfrac{3 + \sqrt{5}}{2}$ et $\dfrac{3 - \sqrt{5}}{2}$.

Ce trinôme est positif sauf entre les racines, donc :

$f'(x) > 0$ sur $\left]- \infty~;~\dfrac{3 - \sqrt{5}}{2}\right[~\cup \left]\dfrac{3 + \sqrt{5}}{2}~;~+ \infty  \right[$ ; la fonction est croissante

$f'(x) < 0$ sur $\left]\dfrac{3 - \sqrt{5}}{2}~;~\dfrac{3 + \sqrt{5}}{2}  \right[$ ; la fonction est décroissante
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer les coordonnées des points d'intersection de la courbe $\mathcal{C}$ et de la droite $\Delta$ d'équation $y = 1$.
Il faut résoudre l'équation :

$f(x) = 1 \iff  \left(x - x^2 \right)\text{e}^{(- x + 2)} + 1 = 1 \iff \left(x - x^2 \right)\text{e}^{(- x + 2)} = 0 \iff x - x^2 = 0$ (car $\text{e}^{(- x + 2)} \neq 0$){} $\iff x(1 - x) = 0 \iff x = 0\quad \text{ou}\quad x = 1$.

Il y a donc deux points communs, les point de cordonnées (0~;~1) et (1~;~1).
		\item %Étudier les positions relatives de la courbe $\mathcal{C}$ et de la droite $\Delta$.
Soit $d$ la fonction définie sur $\R$ par :
$d(x) = f(x) - 1 = \left(x - x^2 \right)\text{e}^{(- x + 2)}$.

Comme $\text{e}^{(- x + 2)} > 0$, le signe de $d(x)$ est celui de $x - x^2 = x(1 - x)$, trinôme qui est négatif sauf entre ses racines 0 et 1.

Donc si $0 < x < 1, \quad d(x) > 0$, ce qui signifie que la courbe est au dessus de $\Delta$. La courbe est au dessous de $\Delta$ ailleurs.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que sur l'intervalle $[-1~;~0]$, la courbe $\mathcal{C}$ coupe l'axe des abscisses en un unique point. On notera $\alpha$ l'abscisse de ce point.
On a $f(-1) = -2\text{e}^3 + 1 \approx -39$ et $f(0) = 1$. La fonction $f$ étant dérivable, il existe un réel unique $\alpha$ tel que $f(\alpha) = 0$ avec $0 < \alpha 1$.
		\item %À l'aide de la calculatrice, déterminer un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$.
La calculatrice donne $-0,2 < \alpha < - 0,1$, puis $- 0,11 < \alpha < -0,10$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C : calcul d'une aire}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %On considère la fonction $G$ définie sur $\R^ par :

%\[ G(x) = \left(x^2 + x + 1\right)\text{e}^{(-x+2)}.\]

%On note $G'$ la fonction dérivée de la fonction $G$ sur $\R$.

%Établir que pour tout nombre réel $x,\, G'(x) = \left(x - x^2\right)\text{e}^{(-x+2)}$. 
$G$ produit de fonctions dérivables sur $\R$ est dérivable et sur $\R$, 

$G'(x) = (2x + 1)\text{e}^{(-x+2)} - \left(x^2 + x + 1\right)\text{e}^{(-x+2)} = \left(2x + 1 - x^2 - x - 1\right)\text{e}^{(-x+2)} =$

$\left(-x^2 + x\right)\text{e}^{(-x+2)} = f(x) - 1$.

On a donc $f(x) = G(x) + 1$.
\item %\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

%\medskip
 
%Calculer l'aire du domaine $\mathcal{D}$ du plan délimité par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives $x = 0$ et $x = 1$.
 
%Le résultat dont on donnera la valeur exacte, puis une valeur arrondie au dixième, sera exprimé en unité d'aire.
On a vu que sur l'intervalle [0~ ;~1], la fonction $f$ est positive, donc l'aire  du domaine $\mathcal{D}$ est égale à l'intégrale :

$\displaystyle\int_{0}^1 f(x) \:\text{d}x  = \displaystyle\int_{0}^1 [G'(x) + 1] \:\text{d}x  = \left[G(x) + x\right]_{0}^1 =$

$ \left(1^2 + 1 + 1\right)\text{e}^{(-1+2)} + 1  - \left[\left(0^2 + 0 + 1\right)\text{e}^{(-0 + 2)} + 0  \right] = 1 + 3\text{e} - \text{e}^{2}$~unité d'aire soit à peu près $1,8$ à 0,1 près. (ce que l'on vérifie approximativement sur la figure)
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{\large Annexe (problème)}

\vspace{2,5cm}

\psset{unit=3cm}
\begin{pspicture*}(-1,-2.5)(2.5,2.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-1,-2.5)(2.5,2.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=5,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](-1,-2.5)(2.5,2.5)
\uput[dl](0,0){O}\uput[ur](0.6,2){$\mathcal{C}$}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-0.275}{2.5}{2.71828 2 x sub exp x x dup mul sub mul 1 add}
\pscustom[fillstyle=hlines]{
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{2.71828 2 x sub exp x x dup mul sub mul 1 add}
\psline(1,1)(1,0)(0,0)(0,1)
}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{document}