\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 !
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{textcomp}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{pst-plot,pst-text}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\setlength{\textheight}{23,5cm}
\setlength{\voffset}{-1,5cm}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{A. P. M. E. P.}
\rhead{\small{Corrigé du baccalauréat STI Génie mécanique, énergétique, civil}}
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small{juin 2007}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STI La Réunion 15 juin 2007~\decofourright\\Génie mécanique, énergétique, civil}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  5 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  %Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres  complexes l'équation :
%\[ z^2 - 4z\sqrt{3} + 16 = 0.\]
$\Delta = \left(4\sqrt{3} \right)^2 - 4 \times 16 = 48 - 64 = - 16 = (4\text{i})^2$ ; l'équation a donc deux solutions complexes conjuguées :

\[\dfrac{4\sqrt{3}+4\text{i}}{2} = 2\sqrt{3} + 2\text{i}\quad \text{et}\quad 2\sqrt{3} - 2\text{i}\]
\item %Le plan est rapporté au repère \Ouv{} d'unité graphique 2~cm.

%On considère les points A et B d'affixes respectives $z_{\text{A}} = 2\sqrt{3} - 2\text{i}$ et 

%$z_{\text{B}} = 2\sqrt{3} + 2\text{i}$.
	\begin{enumerate}
		\item  %Déterminer le module et un argument de $z_{\text{A}}$ et de $z_{\text{B}}$.
		$\left|z_{\text{A}}  \right|^2 = \left|2\sqrt{3} - 2\text{i}  \right|^2 = 12 + 4 = 16 = 4^2 \Rightarrow \left|z_{\text{A}}  \right| = 4$.
		
On peut écrire $z_{\text{A}} = 4 \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} ) \text{i}\dfrac{1}{2} \right) = 4\left(\cos - \frac{\pi}{6} + \text{i}\sin - \frac{\pi}{6} \right)$.

Un argument de $z_{\text{A}}$ est donc $-\dfrac{\pi}{6}$.

Comme $z_{\text{B}}$ est le conjugué de $z_{\text{A}}$, son module est égal à 4 et un de ses arguments à $\dfrac{\pi}{6}$.
		\item  %En déduire une construction des points A et B dans le repère \Ouv.
Le point A est à l'intersection du cercle centré en O de rayon 4 et de la droite d'équation $y = - 2$ et B à l'intersection du cercle centré en O de rayon 4 et de la droite d'équation $y =  2$.
		\item  %Déterminer une mesure en radians de l'angle orienté $\left(\vect{\text{OA}}~;~\vect{\text{OB}} \right)$.
$\left(\vect{\text{OA}}~;~\vect{\text{OB}} \right) = \left(\vect{\text{OA}}~;~\vect{u}\right) + \left(\vect{u}~;~\vect{\text{OB}}\right) = - \text{arg}\left(z_{\text{A}} \right) + \text{arg}\left(z_{\text{B}}\right) = \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\pi}{3}$.		
		\item  %Déterminer la nature du triangle AOB.
On sait déjà que OA = OB donc que OAB est isocèle en O, et comme $\left(\vect{\text{OA}}~;~\vect{\text{OB}} \right) = \dfrac{\pi}{3}$, les trois angles ont mesure $\dfrac{\pi}{3}$ : OAB est donc équilatéral.
		\item  %Soit I le point d'affixe $z_{\text{I}} = \dfrac{4\sqrt{3}}{3}$.
Soit H le projeté orthogonal de A (ou de B) sur l'axe des abscisses ; il a pour coordonnées $(2\sqrt{3}~;~0)$ ; donc OH $= 2\sqrt{3}$.

On sait  que le centre du cercle circonscrit au triangle équilatéral OAB est aussi l'orthocentre et le centre de gravité de ce triangle ; ce centre de gravité est situé sur la médiane [OH] aux 2/3 sur cette médiane à partir de O. Donc à une distance de $\dfrac{2}{3}\times 2\sqrt{3} = \dfrac{4\sqrt{3}}{3}$. 
Ce centre de gravité est donc le point I.	
		 %Démontrer que I est le centre du cercle circonscrit au triangle AOB.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\psset{unit=2cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-0.5,-2.5)(4,2.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.5,-2.5)(4,2.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\vect{u}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{v}$} 
\uput[dl](0,0){O}
\psdots(3.464,-2)(3.464,2)(2.3094,0)(3.464,0)%ABIH
\uput[dr](3.464,-2){A} \uput[ur](3.464,2){B} \uput[u](2.3094,0){I} \uput[ur](3.464,0){H} 
\psarc(0,0){4}{-35}{35}
\pspolygon(3.464,-2)(3.464,2)(0,0)
\psline(-0.5,2)(4,2)\psline(-0.5,-2)(4,-2)
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  4 points}

\medskip

%Soit l'équation différentielle (E) :
%\[\dfrac{1}{4}y'' + 9y = 0,\]
% où $y$ est une fonction deux fois dérivable de la variable réelle $x$.
\begin{enumerate}
\item  %Résoudre l'équation différentielle (E).
$\dfrac{1}{4}y'' + 9y = 0 \iff y'' + 36y = 0$.

On sait que les solutions de cette équation sont de la forme $f(x) = A\cos 6x + B \sin 6x,~A \in \R, B \in \R$.
\item   %Trouver la fonction $f$, solution particulière de (E), vérifiant les conditions suivantes :
%\[f\left( \dfrac{\pi}{6}\right) = - \dfrac{1}{2}\quad \text{et} \quad f'\left( \dfrac{\pi}{6}\right) = 3 \sqrt{3}.\]
La dérivée des fonctions solutions est : $f'(x) -6A\sin 6x + 6B \cos 6x$ ;

$\left\{\begin{array}{l c l}
f\left( \dfrac{\pi}{6}\right) &=& - \dfrac{1}{2}\\
f'\left( \dfrac{\pi}{6}\right) &=& 3 \sqrt{3}
\end{array}\right. \iff 
\left\{\begin{array}{l c l}
A\cos \pi + B\sin \pi &=& - \dfrac{1}{2}\\
-6A\sin \pi + 6B\cos \pi &=& 3 \sqrt{3}
\end{array}\right. \iff
\left\{\begin{array}{l c l}
-A  &=& - \dfrac{1}{2}\\
 - 6B &=& 3 \sqrt{3}
\end{array}\right. \iff
\left\{\begin{array}{l c l}
A  &=&  \dfrac{1}{2}\\
B &=& -\dfrac{\sqrt{3}}{2}
\end{array}\right.$

La solution particulière est donc définie par :

$f(x) = \dfrac{1}{2}\cos 6x  -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \sin 6x$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  %Vérifier que, pour tout nombre réel $x,~ f(x) = \cos \left(6x + \dfrac{\pi}{3}\right)$.
La solution précédente peut s'écrire :

$f(x) = \cos -\frac{\pi}{3}\cos 6x + \sin -\frac{\pi}{3} \sin 6x =
\cos \frac{\pi}{3}\cos 6x - \sin \frac{\pi}{3}\sin 6x =  \cos \left(6x + \frac{\pi}{3}\right)$. 
		\item  %En déduire les solutions, dans l'ensemble $\R$ des nombres réels, de l'équation $f(x) = 0$.
$f(x) = 0 \iff \cos \left(6x + \frac{\pi}{3}\right) = 0 \Rightarrow 6x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + k\pi,~k \in \Z \iff 6x = \frac{\pi}{6} + k\pi \iff x = \frac{\pi}{36} + k\frac{\pi}{6}$.
 	\end{enumerate}
\item %Calculer la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left[- \dfrac{5\pi}{36}~;~ \dfrac{\pi}{36}  \right]$.
La valeur moyenne $\mu$ de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left[- \dfrac{5\pi}{36}~;~ \dfrac{\pi}{36}  \right]$ est égale à :

$\mu = \dfrac{1}{\frac{\pi}{36} + \frac{5\pi}{36}}\displaystyle\int_{-\frac{5\pi}{36}}^{\frac{\pi}{36}} f(x) \:\text{d}x = \left[\dfrac{6}{\pi}\sin\left(6x + \frac{\pi}{3}\right)   \right]_{-\frac{5\pi}{36}}^{\frac{\pi}{36}} = \dfrac{6}{\pi}\sin \left(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3}\right) - \dfrac{6}{\pi}\sin\left(-\frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{3}\right) = \dfrac{6}{\pi}\sin \frac{\pi}{2} - \dfrac{6}{\pi}
\sin \left(- \frac{\pi}{2} \right) = \dfrac{6}{\pi} + \dfrac{6}{\pi} =  \dfrac{12}{\pi}$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill  11 points} 

%Le plan est rapporté à un repère orthogonal \Oij{} (unités graphiques : 2~cm sur l'axe des abscisses, 1~cm sur l'axe des ordonnées).

\medskip

\textbf{Partie A :  étude d'une fonction auxiliaire}

%Soit $g$ la fonction définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par : \[g(x) = 2\text{e}^{-2x} - 8\text{e}^{-x} - 4x + 6.\]
\begin{enumerate}
\item  %Soit $g'$ la fonction dérivée de $g$. Montrer que, pour tout nombre réel $x,$
$g$ est la somme de fonctions dérivables sur $\R$ et sur cet intervalle :

$g'(x) = -4\text{e}^{-2x} + 8\text{e}^{-x} - 4 = -4\left(\text{e}^{-2x} + 2\text{e}^{-x} + 1 \right) = -4\left(\text{e}^{-x} + 1 \right)^2$.
%$g'(x) = -4\left(\text{e}^{-x} - 1\right)^2$.
\item  %Dresser le tableau de variations de la fonction $g$. On ne donnera pas les limites en $-1$ et $+1$.
Comme $\left(\text{e}^{-x} - 1\right)^2 > 0$ quel que soit le réel $x$, la dérivée est négative et la fonction est décroissante sur $\R$.
D'o\`u le tableau de variations :

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(6,2.5)
\psframe(6,2.5) \psline(0,2)(6,2) \psline(2,0)(2,2.5)
\uput[u](1,2){$x$} \uput[u](2.4,2){$-\infty$} \uput[u](5.6,2){$+ \infty$}
\rput(1,1){$f(x)$}
\psline{->}(2.4,1.7)(5.5,0.3) 
\end{pspicture}
\end{center}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %Calculer $g(0)$.
$g(0) = 2 - 8 - 0 + 6 = 0$.
		\item  %En déduire le signe de $g(x)$ sur $\R$.
La fonction étant décroissante sur $\R$ et  s'annulant en $0$, on en déduit que  :

- sur $]-\infty~;~0[,~g(x) > 0$ ;

- sur $]0~;~-\infty[,~g(x) < 0$.
 	\end{enumerate}
 \end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{Partie B : étude de la fonction}

\medskip
 
%On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : 
%\[f(x) = 2\text{e}^{-2x} - 8\text{e}^{-x} + 6.\]
%On désigne par $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le repère \Oij.
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %Résoudre dans $\R$ l'équation $f(x) = 0$.
Posons $\text{e}^{-x} = X$ ; alors $\text{e}^{-2x} = \left(\text{e}^{-x} \right)^2 = X^2$ ; l'équation à résoudre s'écrit : 2X^2 - 8X + 6 = 0 \iff X^2 - 4X + 3 = 0 \iff (X - 2)^2 - 4 + 3 = 0 \iff (X - 2)^2 - 1 = 0 \iff (X - 2)^2 - 1^2 = 0 \iff (X - 2 + 1)(X - 2 - 1) = 0 \iff \left\{\begin{array}{l c l}
X - 1&=&0\\
X - 3&=&0
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
X &=&1\\
X &=&3
\end{array}\right.$

Il reste à résoudre :

$\left\{\begin{array}{l c l}
X = \text{e}^{-x} &=&1\\
X = \text{e}^{-x}&=&3
\end{array}\right. \iff 
\left\{\begin{array}{l c l}
-x&=&0\\
- x &=&\ln 3
\end{array}\right. \iff
\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&0\\
x &=&- \ln 3
\end{array}\right.$
On a donc $S = \left\{- \ln 3~ ;~0  \right\}$.
		\item  %Donner l'interprétation graphique des solutions trouvées à la question précédente.
Voir plus bas.
 	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  %Étudier la limite de $f$ en $+\infty$. En déduire l'existence d'une asymptote $\mathcal{D}$ à la courbe $\mathcal{C}$.
On a $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{-x} = \displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{-2x} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 6$.		
%On donnera une équation de $\mathcal{D}$.

Ceci montre que la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = 6$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$ au voisinage de plus l'infini.
		\item %Vérifier que, pour tout nombre réel $x,~  f(x) = \text{e}^{-2x}\left(2 - 8\text{e}^{x} + 6\text{e}^{2x}\right)$.
Dans l'écriture de $f(x)$, factorisons $\text{e}^{- 2x}$ ;

$f(x) = \text{e}^{-2x}\left(2 - 8\text{e}^x + 6\text{e}^{2x}\right)$ ;

Comme 	$\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^{x} = \displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^{2x} = 0$, on peut en déduire que $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \left(2 - 8\text{e}^x + 6\text{e}^{2x}\right) = 2$ et comme 	$\displaystyle\lim_{x \to - \infty}\text{e}^{-2x} = + \infty$, on en déduit par produit de limites que $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = + \infty$.
%En déduire la limite de $f$ en $-\infty$.
 	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  %Déterminer la dérivée $f'$ de $f$. Montrer que, pour tout nombre réel $x,~ f'(x)$ est du même signe que $\left(-\text{e}^{-x} + 2\right)$.
$f$ somme de fonctions dérivable sur $\R$ est dérivable sur cet intervalle et 

$f'(x) = -4\text{e}^{-2x} + 8\text{e}^{-x} = 4\text{e}^{-x}\left(-\text{e}^{-x} + 2 \right)$.

Comme $4\text{e}^{-x} > 0$ quel que soit le réel $x,~f'(x)$ est du signe de $-\text{e}^{-x} + 2$. 
		\item %Dresser le tableau de variation de $f$. On précisera la valeur exacte de $f(- \ln 2)$.
On a $-\text{e}^{-x} + 2 > 0 \iff 2 > \text{e}^{-x} \iff \ln 2 > - x \iff x > - \ln 2$.

Donc sur $]- \ln 2~;~+ \infty[,~f'(x) > 0$, donc $f$ est croissante, 

sur $]- \infty~;~- \ln 2[,~f'(x) < 0$, donc $f$ est décroissante.

D'o\`u le tableau de variations de $f$ :

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(8,2.5)
\psframe(8,2.5)\psline(0,2)(8,2) \psline(2,0)(2,2.5)
\uput[u](1,2){$x$} \uput[u](2.4,2){$-\infty$} \uput[u](6.5,2){$0$} \uput[u](7.6,2){$+\infty$} \rput(1,1){$f(x)$} \uput[u](5,2){$-\ln 2$}
\psline{->}(2.6,1.7)(4.4,0.3) \psline{->}(5.6,0.3)(7.4,1.7)\rput(6.5,1){$0$}\uput[u](5,0){$-2$}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip
$f(-\ln 2) = 2\text{e}^{2\ln 2} - 8\text{e}^{\ln 2} + 6 = 2\text{e}^{\ln 4} - 8\text{e}^{\ln 2} + 6 = 2 \times 4 - 8 \times 2 + 6 = 8 - 16 + 6 = -2$.
		\item %Donner une équation de la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$.
		On a $M(x ~;~y) \in \mathcal{T} \iff y - f(0) = f'(0)(x - 0) \iff y - 0 = 4x( - 0) \iff y = 4x$.
		\item %En utilisant les résultats de la partie A, étudier les positions relatives de la droite $\mathcal{T}$ et de la courbe $\mathcal{C}$.
Pour comparer les positions relatives de la droite $\mathcal{T}$ et de la courbe $\mathcal{C}$ on considère la différence $f(x) - (4x) = 2\text{e}^{-2x} - 8\text{e}^{-x} + 6 - 4x = g(x)$ dont on a vu le signe à la partie A.

Si $x < 0, g(x) > 0$, donc la courbe $\mathcal{C}$ est au dessus de la droite $\mathcal{T}$ ;

Si $x < 0, g(x) < 0$, donc la courbe $\mathcal{C}$ est au dessous de la droite $\mathcal{T}$.
		\item %Tracer les droites $\mathcal{T}$ et $\mathcal{D}$, puis la courbe $\mathcal{C}$.
Voir la figure.
 	\end{enumerate}
 \end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{Partie C : primitive et calcul d'aire}
 
\begin{enumerate}
\item  %Déterminer une primitive $F$ de la fonction $f$.
Une primitive de $f$ est la fonction $F$ définie par :

$F(x) = -\text{e}^{-2x} + 8\text{e}^{-x} + 6x$.
\item  %Hachurer la partie $\mathcal{E}$ du plan comprise entre l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}$, et les droites d'équations $x = - \ln 3$ et $x = 0$.
Voir la figure.
\item  %Calculer, en cm$^2$, la valeur exacte de l'aire de la partie $\mathcal{E}$ ; en donner une valeur approchée au mm$^2$ près par défaut.
Sur l'intervalle $[-\ln 3~;~0],~f(x) < 0$, donc l'aire en unité d'aire de la partie $\mathcal{E}$ est égale à :

$- \displaystyle\int_{- \ln 3}^0 f(x) \:\text{d}x = -\left[F(x) \right]_{- \ln 3}^0 = F(- \ln 3) - F(0) =$

$ -\text{e}^{2\ln 3} + 8\text{e}^{\ln 3} - 6\ln 3 - \left(-\text{e}^{0} + 8\text{e}^{0} + 6\times 0 \right) = - 9 + 24 - 6\ln 3 + 1 - 8 = 8 - 6\ln 3.$

Or l'unité d'aire est égale à $2 \times 2 = 4$~cm$^2$.

Finalement : $\mathcal{A(\mathcal{E})} = 4(8 - 6\ln 3) = 32  - 24\ln 3 \approx 5,633 \approx 5,63$~cm$^2$ au mm$^2$ près.
\end{enumerate}

\medskip

\psset{unit=2cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-2,-2.5)(4,6)
\pscustom[fillstyle=vlines]{
\psplot[plotpoints=8000,linecolor=blue,linewidth=1.5pt]{-1.09861}{0}{2 2.71828 x 2 mul exp div 8 2.71828 x exp div sub 6 add}
\psline(0,0)(-1.09861,0)}
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-2,-2.5)(4,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt,gridcolor=lightgray](0,0)(-2,-2)(4,6)
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$} \uput[dr](0,0){O}
\psplot[plotpoints=8000,linecolor=blue,linewidth=1.5pt]{-1.387}{4}{2 2.71828 x 2 mul exp div 8 2.71828 x exp div sub 6 add}
\uput[u](-1.09861,0){$- \ln 3$}\uput[u](-0.69,0){$- \ln 2$}
\psline[linestyle=dashed](-0.69,0)(-0.69,-2)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}