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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\small A. P. M. E. P.}
\lhead{\small Correction du baccalauréat  STI Génie électronique, électrotechnique, optique}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2007}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Correction du baccalauréat STI Génie électronique~\decofourright\\ génie électrotechnique, optique\\ Métropole  juin 2007}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}

\medskip

%Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv{} d'unité graphique $1$~cm.

%On désigne par i le nombre complexe de module $1$ et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.
\begin{enumerate}
\item  %Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes l'équation 
\[z^2 + 4z + 16 = 0.\]

$z^2 + 4z + 16 = 0 \iff (z + 2)^2 - 4 + 16 = 0 \iff (z + 2)^2 + 12 = 0 \iff$

$ (z + 2)^2 = \left(2\text{i}\sqrt{3} \right)^2$.

L'équation a donc deux solutions complexes :

\[z_{1} = -2 + 2\text{i}\sqrt{3}, \quad	z_{2} = -2 - 2\text{i}\sqrt{3}.\] 
\item  %Pour tout nombre complexe $z$, on pose $P(z) = z^3 - 64$.
	\begin{enumerate}
		\item  %Calculer $P(4)$.
$P(4) = 4^3 - 64 = 0$. $P$ est donc factorisable par $(z - 4)$.
		\item  %Trouver les réels $a,~ b$ et $c$ tels que, pour tout nombre complexe $z,\\  P(z) = (z - 4)\left(az^2 + bz + c\right)$.
Si $P(z) = (z - 4)\left(az^2 + bz + c\right)$, alors $P(z) = az^3 + (b - 4)z^2 + (c - 4b)z - 4c = z^3 - 64$ quel que soit $z \in \C$.

En identifiant on obtient $a = 1,~c = -16$ et $\left\{\begin{array}{l c l}
b - 4&=&0\\
c - 4b&=&0
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
b &=&4\\
 4&=&b
\end{array}\right.$

On a donc :
\[P(z) = (z - 4)\left(z^2 +4z - 16\right).\]
		\item  %Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation $P(z) = 0$.
D'après la question \textbf{1.}, les solutions de l'équation $P(z) = 0$ sont $4,~-2 + 2\text{i}\sqrt{3}$ et

 $-2 - 2\text{i}\sqrt{3}.$		
	\end{enumerate}
\item  %On considère les points A, B et C d'affixes respectives : $z_{\text{A}} = -2 + 2\text{i}\sqrt{3},~ z_{\text{B}} = \overline{z_{\text{A}}}$ et $z_{\text{C}} = 4$.
	\begin{enumerate}
		\item  %Établir que $z_{\text{A}}  = 4\text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}}$.
$z_{\text{A}} = z_{1} = -2 + 2\text{i}\sqrt{3}$, donc $\left|z_{\text{A}}\right|^2 = 4 + 12 = 16 = 4^2$. Donc $\left|z_{\text{A}}\right| = 4$.

En factorisant 4, $z_{\text{A}} = 4 \left(- \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) = 4\text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}}$.		
%Écrire $z_{\text{B}}$ sous la forme $r\text{e}^{\text{i}\theta}$, où $r$ est un nombre réel strictement positif et $\theta$ un nombre réel compris entre $-\pi$ et $\pi$.
Comme $z_{\text{B}} = \overline{z_{\text{A}}},~z_{\text{B}} = 4\text{e}^{-\text{i}\frac{2\pi}{3}}$.
		\item  %Placer les points A, B et C dans le plan muni du repère \Ouv.
A et B sont sur le cercle centré à l'origine de rayon 4 et à la perpendiculaire à l'axe $\left(\text{O},~\vect{u} \right)$ passant par le point d'abscisse $-2$.

\begin{figure}
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-4.5,-4.5)(4.5,4.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-4.5,-4.5)(4.5,4.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](1,0){$\vect{u}$} \uput[l](0,1){$\vect{v}$} 
\pscircle(0,0){4}
\psline[linestyle=dashed](-2,-4.5)(-2,4.5)
\uput[ul](-2,3.464){A} \uput[dl](-2,-3.464){B} \uput[r](4,0){C}
\uput[dr](0,0){O}
\psline[linestyle=dashed](-4.5,2)(4.5,2)
\uput[ul](-3.464,2){D} 
\pspolygon(-2,3.464)(-2,-3.464)(4,0)
\psline(-2,3.464)(0,0)(-2,-3.464)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{figure}
		\item  %Déterminer la nature du triangle ABC.
De arg$z_{\text{A}} = \left(\vect{u},~\vect{\text{OA}}\right) = \dfrac{2\pi}{3}$ et arg$z_{\text{B}} = \left(\vect{u},~\vect{\text{OB}}\right) = -\dfrac{2\pi}{3}$, on en déduit que $\left(\vect{\text{OA}},~\vect{\text{OB}} \right) = \dfrac{2\pi}{3}$. Les arcs $\widearc{\text{CA}},~ \widearc{\text{AB}}$ et  $\widearc{\text{BC}}$ ont la même longueur, de même que les cordes [CA], [AB] et [BC]. 

Le triangle ABC est donc équilatéral.
	\end{enumerate}
\item  %On appelle D l'image de A par la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{6}$, et on appelle $z_{\text{D}}$, l'affixe du point D.
	\begin{enumerate}
		\item  %Déterminer le module et un argument de $z_{\text{D}}$.
		On a par définition de la rotation :
		
$z_{\text{D}} = z_{\text{A}}\text{e}^{\frac{\pi}{6}}$.

$z_{\text{D}}$ a donc le même module que $z_{\text{A}}$ soit 4 et son argument est celui de $z_{\text{A}}$ augmenté de $\frac{\pi}{6}$, soit $\dfrac{2\pi}{3} + \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{6}$.

Conclusion $z_{\text{D}} = 4\text{e}^{\frac{5\pi}{6}}.$
		\item  %En déduire la forme algébrique de $z_{\text{D}}$.
On a donc $z_{\text{D}} = 4\left(- \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \text{i}\dfrac{1}{2} \right) = - 2\sqrt{3} + 2\text{i}$.
		\item  %Placer le point D sur le graphique précédent.
On place le point D comme le point commun au cercle centré en O de rayon 4 et la perpendiculaire à $\left(\text{O},~\vect{v}\right)$ contenant le point $(0~;~2)$.
		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

 \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

%Le personnage virtuel d'un jeu électronique doit franchir un torrent en sautant de rocher en rocher.

%Le torrent se présente de la manière suivante (les disques R$_{1}$, R$_{2}$, \ldots,  R$_{17}$, R$_{18}$, représentent les rochers) :

\vspace{1cm}
%\newpage
%%\begin{pspicture}(12,8)
%%\psline(0,7)(12,7) \psline(0,-7)(12,-7)
%\psset{colsep=0.8cm,rowsep=0.8cm}

%\begin{psmatrix}[mnode=circle]
%			&			&			& {\Large A}&			&			& [mnode=none]\\
%			&R$_{1}$	&			&	&			&R$_{8}$	& [mnode=none]\\
%			&R$_{2}$	&			&	&R$_{9}$	&R$_{10}$	&R$_{11}$\\
%R$_{3}$	&R$_{4}$	&R$_{5}$	&	&			&R$_{12}$	&R$_{13}$\\
%			&R$_{6}$	&			&	&R$_{14}$	&R$_{15}$	& [mnode=none]\\
%			&R$_{7}$	&			&	&R$_{16}$	&			& [mnode=none]\\
%			&			&			&	&			&R$_{17}$	& [mnode=none]\\
%			&			&			&	&R$_{18}$	&			& [mnode=none]\\
%			&			&			&{\Large B}	&			&			&[mnode=none] \\
%\end{psmatrix}
%\psset{linestyle=dashed}
%\psset{arrows=->,arrowscale=1.5}
%\ncline{1,4}{2,2}\ncline{1,4}{2,6}\ncline{2,2}{3,2}
%\ncline{2,6}{3,5}\ncline{2,6}{3,6}\ncline{2,6}{3,7}
%\ncline{3,2}{4,1}\ncline{3,2}{4,2}\ncline{3,2}{4,3}
%\ncline{4,3}{4,2}\ncline{4,1}{5,2}\ncline{4,2}{5,2}
%\ncline{5,2}{6,2}\ncline{6,2}{9,4}\ncline{3,5}{5,5}
%\ncline{5,5}{6,5}\ncline{6,5}{7,6}\ncline{7,6}{8,5}
%\ncline{8,5}{9,4}\ncline{3,6}{4,6} \ncline{4,6}{5,5}
% \ncline{3,7}{4,7} \ncline{4,7}{5,6} \ncline{5,6}{7,6} 

%\vspace*{-20cm}
%\psset{linestyle=solid,arrows=-}
%\begin{pspicture}(12,10)
%\rput(0,4){RIVE}
%\rput(0,-10){RIVE}
%\psline(0,3.5)(12,3.5)
%\psline(0,-9.5)(12,-9.5)
%\end{pspicture}

%\vspace{10.5cm}
%Le personnage virtuel part de A pour aller en B. Il ne peut choisir que les trajets matérialisés par des pointillés et avancer uniquement dans le sens des flèches.

%On appelle \og parcours \fg{} une suite ordonnée de lettres représentant un trajet possible.

%\textbf{Par exemple :} AR$_{1}$R$_{2}$R$_{3}$R$_{6}$R$_{7}$B est un parcours qui nécessite $6$ bonds.

%\emph{Toute probabilité demandée sera donnée sous forme de fraction.}
\begin{enumerate}
\item  %Déterminer les six parcours possibles.
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item AR$_{1}$R$_{2}$R$_{3}$R$_{6}$R$_{7}$B
\item AR$_{1}$R$_{2}$R$_{4}$R$_{6}$R$_{7}$B
\item AR$_{1}$R$_{2}$R$_{5}$R$_{4}$R$_{6}$R$_{7}$B
\item AR$_{1}$R$_{8}$R$_{9}$R$_{14}$R$_{16}$R$_{17}$R$_{18}$B
\item AR$_{1}$R$_{8}$R$_{10}$R$_{12}$R$_{14}$R$_{16}$R$_{17}$R$_{18}$B
\item AR$_{1}$R$_{8}$R$_{11}$R$_{13}$R$_{15}$R$_{17}$R$_{18}$B
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
\item  %Le joueur choisit au hasard un parcours. On admet que les différents parcours sont équiprobables.
	\begin{enumerate}
		\item %Quelle est la probabilité $p_{1}$ de l'évènement \og le personnage virtuel passe par le rocher R$_{7}$ \fg{}?
		Chaque parcours a une probabilité de $\dfrac{1}{6}$. Il y a 3 parcours passant par R$_{7}$ ; la probabilité cherchée est donc égale à $3 \times \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{2}.$
		\item 	%Quelle est la probabilité $p_{2}$ de l'évènement \og le personnage virtuel passe par le rocher R$_{14}$ \fg{}?
		Il y a 2 parcours passant par R$_{14}$ ; la probabilité cherchées est donc égale à $2 \times \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{3}.$
	\end{enumerate}
\item  %Chaque bond du personnage virtuel nécessite 2 secondes.

%On note X la variable aléatoire qui, à chaque parcours, associe sa durée en secondes.
	\begin{enumerate}
		\item  %Déterminer les valeurs prises par la variable aléatoire X.
Il y a deux parcours à 6 bonds qui correspondent à X $ = 12$ ;

trois parcours à 7 bonds qui correspondent à X $ = 14$ ;

un parcours à 8 bonds qui correspondent à X $ = 16$
		\item  %Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire X.
D'o\`u le tableau :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
X&12&14&18 \\ \hline
$p(\text{X} = x_{i}$)&$\dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$&$\dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$&$\dfrac{1}{6}$\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

		\item  %Calculer l'espérance mathématique E(X) de la variable aléatoire X.
		E(X) $ = 12 \times \dfrac{1}{3} + 14 \times \dfrac{1}{2} + 16 \times \dfrac{1}{6}  = \dfrac{24 + 42 + 16}{6}= \dfrac{82}{6} = \dfrac{41}{3} \approx 13,66$.
	\end{enumerate}
\item  %Quelle devrait être la durée d'un bond du personnage virtuel pour que la durée moyenne d'un parcours soit égale à 10 secondes ?
En reprenant les calculs avec un temps $t$ en secondes, on obtient :

\[\text{E(X)} = 6t \times \dfrac{1}{3} + 7t \times \dfrac{1}{2} + 8t \times \dfrac{1}{6}  = \dfrac{12t + 21t + 8t}{6} = \dfrac{41t}{6}.\]

Donc E(X) $ = 10 \iff \dfrac{41t}{6} = 10 \iff 41t = 60 \iff t = \dfrac{60}{41}$ d'o\`u  $t \approx 1,46$ s.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Problème \hfill 10 points}

\medskip

%Le plan	$\mathcal{P}$ est muni d'un repère orthonormal \Oij{} 	d'unité graphique 2~cm.

%On s'intéresse dans ce problème à une fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.

%On note	$\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan $\mathcal{P}$.

%On note $\ln$ la fonction logarithme népérien.

%\bigskip

\textbf{Partie A : étude d'une fonction auxiliaire}

\medskip
% Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par : 
 \[g(x) = x^{2} - 1 +  \ln x. \]
% On désigne par $g'$ la fonction dérivée de la fonction $g$.
\begin{enumerate}
\item  %Calculer $g'(x)$ pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
$g$ est la somme de fonctions dérivables sur $]0~;~+ \infty[$, et sur cet intervalle :

$g'(x) = 2x + \dfrac{1}{x}$

%En déduire le sens de variation de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
$g'(x)$ somme de deux termes positifs est positive : la fonction $g$ est donc croissante sur $]0~;~+ \infty[$.
\item %Calculer $g(1)$ et en déduire l'étude du signe de $g (x)$ pour $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
$g(1) = 1 - 1 + \ln 1 = 0$.

La fonction étant croissante, on en déduit :
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item $g(x) < 0$ sur $]0~;~1[$ ;
\item $g$ s'annule en 1 ;
\item $g(x) > 0$ sur $]1~;~+ \infty[$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B : détermination de l'expression de la fonction}\boldmath $f$ \unboldmath

%On admet qu'il existe deux constantes réelles $a$ et $b$ telles que, pour tout nombre réel $x$ appartenant à
%l'intervalle $]0~;~+ \infty[,~ f(x) = ax + b - \dfrac{\ln x}{x}$.
\begin{enumerate}
\item  %On désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.
$f$ est une somme de fonctions dérivables sur $]0~;~+ \infty[$ et 

$f'(x) = a - \dfrac{\frac{1}{x} \times x - \ln x}{x^2} = a - \dfrac{1 - \ln x}{x^2}$.
%Calculer $f'(x)$ pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
\item  %Sachant que la courbe $\mathcal{C}$ passe par le point de coordonnées (1~;~0) et qu'elle admet en ce point une tangente horizontale, déterminer les nombres $a$ et $b$.
La première condition se traduit par $0 = a + b - \dfrac{\ln 1}{1} = a + b$ et la seconde par $f'(1) = 0 \iff a - \dfrac{1 - \ln 1}{1^2} = 0  \iff a - 1 = 0 \iff a = 1$ et par conséquent $b = -1$.

On a donc :
\[f(x) = x - 1 - \dfrac{\ln x}{x}~\text{sur}~]0~;~+ \infty[.\]
\end{enumerate}

\medskip

 \textbf{Partie C : étude de la fonction}~\boldmath $f$ \unboldmath\\
%On admet désormais que, pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+\infty[$,

%\[ f(x) = x - 1 - \dfrac{\ln x}{x}.\]
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %Déterminer la limite de la fonction $f$ en $0$ et donner une interprétation graphique de cette limite.
Comme $\displaystyle\lim_{x \to 0} \ln x = - \infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x} = + \infty$, on obtient par produit des limites : $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\ln x}{x} = - \infty.$

Comme $\displaystyle\lim_{x \to 0} x - 1 = -1$; on a finalement $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = - \infty$.

Interprétation graphique : l'axe des ordonnées est asymptote verticale à $\mathcal{C}$ au voisinage de zéro.
		\item  %Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
		
		On sait que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$ et comme $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}  x - 1 = + \infty$, on a finalement : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$.
	\end{enumerate}
\item 	
	\begin{enumerate}
		\item  %Vérifier que, pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+ \infty[,$
		
%$f'(x) = \dfrac{g(x)}{x^2}$.
$\dfrac{g(x)}{x^2} = \dfrac{x^{2} - 1 +  \ln x}{x^2} = 1 - \dfrac{1}{x^2}+ \dfrac{\ln x}{x^2}$.

D'autre part on a vu que $f'(x) =  1 - \dfrac{1 - \ln x}{x^2} = 1 - \dfrac{1}{x^2}+ \dfrac{\ln x}{x^2}$.

On a bien $f'(x) = \dfrac{g(x)}{x^2}$.
		\item  %Établir le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
Comme $x^2 > $, le signe de $f'(x)$ est celui de $g(x)$, vu à la question A. 2. soit :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item $f'(x) < 0$ sur $]0~;~1[$ ;
\item $f'$ s'annule en 1 ;
\item $f'(x) > 0$ sur $]1~;~+ \infty[$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
D'o\`u le tableau de variations :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(10,4)
%\psgrid
\psframe(10,4)
\psline(0,2)(10,2) \psline(0,3)(10,3)
\psline(2,0)(2,4)
\uput[u](1,3){$x$} \uput[u](2.15,3){0} \uput[u](6,3){1} \uput[u](9.6,3){$+\infty$} 
\uput[u](1,2){$f'(x)$} \uput[u](4,2){$-$} \uput[u](6,2){0} \uput[u](8,2){+} 
\uput[u](1,0.8){$f$} \uput[d](2.3,2){$+ \infty$} \uput[u](6,0){0} \uput[d](9.6,2){$+ \infty$}
\psline[arrowscale=1.6]{->}(2.7,1.7)(5.6,0.4) \psline[arrowscale=1.6]{->}(6.4,0.4)(9.2,1.7)
\end{pspicture} 
\end{center}
		\item  %En déduire le signe de $f(x)$ pour $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
On en déduit que $f(x) > 0$ sauf $f(1) = 0$.
	\end{enumerate}
\item %On considère la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = x - 1$.
	\begin{enumerate}
		\item %Justifier que la droite $\mathcal{D}$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$.
		Considérons la fonction $d$ définie par :
		
$d(x) = f(x) - (x - 1) = x - 1 - \dfrac{\ln x}{x} - x + 1 = - \dfrac{\ln x}{x}$.
		
		On a déjà vu que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$. Ceci prouve que la droite $\mathcal{D}$ est asymptote à $\mathcal{C}$ au voisinage de plus l'infini.
		\item %Étudier les positions relatives de la courbe $\mathcal{C}$ et de la droite $\mathcal{D}$.
		Il faut étudier le signe la fonction $d$ définie par $d(x) = - \dfrac{\ln x}{x}$ qui est du signe de $-\ln x$, qui s'annule en 1, et positive sur $]0~;~1[$ et négative sur $]1~;~+ \infty[$.
		
Graphiquement ceci prouve que :
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item sur $]0~;~1[$, $\mathcal{C}$ est au dessus de $\mathcal{D}$ ;
\item sur $]1~;~+ \infty[$, $\mathcal{C}$ est au dessous de $\mathcal{D} ;
$ ;
\item $\mathcal{D}$ et   $\mathcal{C}$ sont sécantes en $(1~;~0)$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}  
		\item %Tracer la droite $\mathcal{D}$ et la courbe $\mathcal{C}$ dans le plan $\mathcal{P}$ muni du repère \Oij.
\begin{figure}
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(11,10)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-1,-1)(11,10)
\uput[d](11,0){$x$}\uput[l](0,10){$y$}\uput[dr](0,0){O}\uput[d](1,0){1}
\psplot{0.5}{10}{x 1 sub}\uput[u](10,9){$\mathcal{D}$}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=5000]{0.166}{10}{x 1 sub x ln x div sub}
\uput[d](10,8.7){\color{blue}$\mathcal{C}$}
\end{pspicture}
\end{center}		
\end{figure}		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

 \textbf{Partie D : calcul d'aire}
 
%On note $\mathcal{A}$ la mesure, exprimée en cm$^2$, de l'aire de la partie du plan $\mathcal{P}$ comprise entre la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les  droites d'équations $x = 1$ et $x = \text{e}$.
\begin{enumerate}
\item %On  considère la fonction $H$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par $H(x) = (\ln x)^2$.

%On désigne par $H'$ la fonction dérivée de la fonction $H$.
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $H'(x)$ pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
		La fonction $x \longmapsto \ln x$ étant dérivable sur $]0~;~+ \infty[$, la fonction $H$ l'est aussi et 
		
		$H'(x) = 2 \ln x \times \dfrac{1}{x} = 2\dfrac{\ln x}{x}$.
		\item %En déduire  une primitive $F$ de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
On déduit de la question précédente qu'une primitive de $\dfrac{\ln x}{x}$ est la fonction $\dfrac{1}{2}(\ln x)^2$.

Donc une primitive de :

$f(x) = x - 1 - \dfrac{\ln x}{x}$ est
 
$F(x) = \dfrac{x^2}{2} - x - \dfrac{1}{2}(\ln x)^2$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $\mathcal{A}$.
On sait que l'aire de la surface limitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les  droites d'équations $x = 1$ et $x = \text{e}$ est égale à l'intégrale : $\mathcal{A} = \displaystyle\int_{1}^{\text{e}} f(x)\:\text{d}x$.

D'après la question précédente :

$\mathcal{A} = \left[\dfrac{x^2}{2} - x - \dfrac{1}{2}(\ln x)^2  \right]_{1}^{\text{e}} = \dfrac{\text{e}^2}{2} - \text{e} - \dfrac{1}{2}(\ln \text{e})^2 - \left(\dfrac{1^2}{2} - 1 - \dfrac{1}{2}(\ln 1)^2 \right) =$

$ \dfrac{\text{e}^2}{2} - \text{e} - \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} + 1 = \dfrac{\text{e}^2}{2} - \text{e}.$
		\item %Donner la valeur de $\mathcal{A}$ arrondie au mm$^2$.
$\mathcal{A} = \dfrac{\text{e}^2}{2} - \text{e} \approx 0,976 \approx 0,98$ cm$^2$ au mm$^2$ près.	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}
