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% Tapuscrit Denis Vergès 
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\begin{document}
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\lhead{\small Baccalauréat  STI Génie électronique, électrotechnique,  optique}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2007}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STI Génie électronique~\decofourright\\ Génie électrotechnique,  optique\\ Métropole  septembre 2007}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes l'équation : 

\[z^2 - 6z + 12 = 0 \iff (z - 3)^2 - 9 + 12 = 0 \iff (z - 3)^2 + 3 = 0 \iff (z - 3)^2 = (\text{i}\sqrt{3})^2 \]

Donc deux solutions :

$z_{1} = 3 + \text{i}\sqrt{3}$ et $z_{2} = 3 - \text{i}\sqrt{3}$
\item  $z_{\text{A}} = 3 + \text{i}\sqrt{3}$ et $z_{\text{B}} = 3 - \text{i}\sqrt{3}$.

	\begin{enumerate}
		\item On a $\left|z_{\text{A}}\right|^2 = 9 + 3 = 12$, donc  $\left|z_{\text{A}}\right| = 2\sqrt{3}$.
		
On peut écrire : $z_{\text{A}} = 2\sqrt{3}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \text{i}\dfrac{1}{2}} \right) = 2 \left(\cos \frac{\pi}{6} + \text{i}\sin \frac{\pi}{6}\right) = 2\text{e}^{\frac{\pi}{6}}$.

On a donc $\text{arg}\left({z_{\text{A}}}\right) = \dfrac{\pi}{6}$ et comme $z_{\text{B}} = \overline{z_{\text{A}}}$, $\text{arg}\left({z_{\text{B}}}\right) = - \dfrac{\pi}{6}$.
%Déterminer le module et un argument de chacun des nombres complexes $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$.
		\item~   %Placer les points A et B dans le repère \Oij.
		
\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-1,-4)(4,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=3]{->}(0,0)(-1,-4)(4,4)
\psline[linestyle=dashed](3,-3)(3,3)
\SpecialCoor
\psline(0;0)(4;30)\psline(0;0)(4;-30)
\psline(3,-1.732)(0,0)(3,1.732)
\psline[linecolor=blue,linewidth=1.5pt]{->}(3,1.732)(3,-1.732)
\psline[linecolor=blue,linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,-3.464)
\uput[ur](3,1.732){A} \uput[dr](3,-1.732){B} \uput[l](0,-3.464){C} 
\uput[dl](0,0){O} \uput[l](0,3.464){D} \uput[d](4,0){$x$} \uput[l](0,4){$y$}
\psarc(0,0){0.5}{0}{30} \psarc(0,0){0.5}{-30}{0}
\rput(1,0.2){30\degres} \rput(1,-0.2){30\degres}
\psline(3,-1.732)(0,-3.464)
\psline(3,1.732)(0,3.464)\psframe(3,0)(2.7,0.3)    
\end{pspicture}
\end{center}
	\end{enumerate}
\item %On considère le point C, image du point O par la translation de vecteur $\vect{\text{AB}}$.

	\begin{enumerate}
		\item  %Placer le point C dans le repère \Oij.

		\item  %Déterminer la forme algébrique de l'affixe $z_{\text{C}}$ du point C.
On sait que $\vect{\text{OC}} = \vect{\text{AB}} \iff \vect{\text{OC}}(0~;~-2\sqrt{3}).$ Donc C$(0~;~-2\sqrt{3})$ ou $z_{\text{C}} = - 2\text{i}\sqrt{3}$.
		\item  %Démontrer que OC = BC.
		
$\vect{\text{OC}} = \vect{\text{AB}} \Rightarrow \text{OC} = \text{AB}= 2\sqrt{3}$ = \text{OA} = \text{OB}$.

Le triangle BOC est donc isocèle en O et comme $\widehat{\text{COB}} = 60 \degres$, il est équilatéral et OC = BC.
		\item %En déduire la nature du quadrilatère OABC.
		
$\vect{\text{OC}} = \vect{\text{AB}} \iff$ (OABC) est un parallélogramme et comme deux côtés consécutifs ont la même longueur, c'est un losange.
	\end{enumerate}
\item %On considère le point D, image du point A par la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$.
	\begin{enumerate}
		\item  %Placer le point D dans le repère \Oij.
		\item   %Déterminer la forme algébrique de l'affixe $z_{\text{D}}$ du point D.
		
Par définition de la rotation : $\left(\vect{u}~;~\vect{\text{OD}} \right) = \left(\vect{u}~;~\vect{\text{OA}} \right) + \left(\vect{\text{OA}}~;~\vect{\text{OD}} \right) = \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\pi}{2}$.

Comme OD = OA = $2\sqrt{3}$, le point D est le point de [O$y$) tel que $z_{text{D}} = 2\text{i}\sqrt{3}$.
		\item   %Démontrer que le quadrilatère ABCD est un trapèze ayant deux côtés opposés de même longueur.
		
Pour la même raison que le triangle OBC, le triangle OAD est équilatéral, donc OA = AD et comme OA = OB = OB, AD = BC.

Comme A et B d'une part, C et D d'autre part ont la même abscisse, les droites (AB) et (CD) sont parallèles : le quadrilatère (ABCD) est donc un trapèze et comme AD = BC, c'est un trapèze isocèle.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill}


\medskip

%\emph{Dans cet exercice, les trois questions peuvent être traitées de manière indépendante.}

%On désigne par $y$ une fonction de la variable réelle $t$, définie et 2 fois dérivable sur l'ensemble $\R$ des nombres réels, et par $y''$ sa fonction dérivée seconde.
\begin{enumerate}
\item  %Résoudre l'équation différentielle:
\[y" + 9y = 0.\]

On sait que la solution générale est de la forme :

$y(t) = A\cos 3t + B \sin 3t$, avec $A, B$ et $t$ réels.
\item  %On désigne par (E) l'équation différentielle:
\[y" + 9y = 8\sin t.\]

	\begin{enumerate}
		\item  %On désigne par $A$ un nombre réel quelconque.
		
%Vérifier que la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
\[f(t) = - \dfrac{1}{3}\sin (3t) + A\cos (3t) + \sin t.\]

\[f'(t) = - \cos (3t) - 3A\sin (3t) + \cos t.\]

\[f''(t) = 3\sin (3t) - 9A\cos (3t) - \sin (t).\]
%est une solution de l'équation différentielle (E).

Vérification :

3\sin (3t) - 9A\cos (3t) - \sin (t) + 9\left(- \dfrac{1}{3}\sin (3t) + A\cos (3t) + \sin t \right) = 3\sin (3t) - 9A\cos (3t) - \sin (t) - 3 \sin (3t) + 9A \cos (3t) + 9\sin (t) = 8\sin (t)$.

La fonction $f$ est donc une solution de l'équation (E). 
		\item  %Déterminer le nombre réel $A$ tel que $f\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = 0$.
		
$f\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = 0 \iff - \dfrac{1}{3}\sin (3\dfrac{\pi}{4}) + A\cos (3\dfrac{\pi}{4}) + \sin \dfrac{\pi}{4} = 0 \iff - \dfrac{1}{3}\dfrac{\sqrt{2}}{2}  + A \times \left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right) + \dfrac{\sqrt{2}}{2} \iff - \dfrac{1}{3} - A + 1 = 0 \iff A =  \dfrac{2}{3}.$
	\end{enumerate}

\item %On considère maintenant la fonction $g$ définie sur $\R$ par :

\[g(t) = - \dfrac{1}{3}\sin (3t) + \dfrac{2}{3}\cos (3t) + \sin t.\]
La valeur moyenne de la fonction $g$ sur l'intervalle $\left[0~;~\dfrac{\pi}{3}\right]$ est :

\[\dfrac{3}{\pi}\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} g(t)\:\text{d}t = \dfrac{3}{\pi}\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \left(- \dfrac{1}{3}\sin (3t) + \dfrac{2}{3}\cos (3t) + \sin t \right)\:\text{d}t\]

\[\dfrac{3}{\pi}\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} g(t)\:\text{d}t = \dfrac{3}{\pi}\left[\dfrac{1}{9}\cos 3t + \dfrac{2}{9}\sin 3t - \cos t \right]_{0}^{\frac{\pi}{3}} = \dfrac{5}{6\pi}.\]
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill}

%Ce problème a pour but d'étudier la position relative des courbes représentatives de deux fonctions. On note $\ln$ la fonction logarithme népérien.
		
\medskip
		
\textbf{Partie A. Détermination d'une fonction} \boldmath  $f$ \unboldmath
			
%On donne ci-dessous, dans le plan $\mathcal{P}$ muni d'un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 2~cm, la courbe représentative $\mathcal{C}_{f}$ d'une 	fonction $f$ définie sur l'ensemble des nombres réels $\R$.

%On suppose que la courbe $\mathcal{C}_{f}$ passe par les points A de coordonnées $(0~;~\ln 3)$, B de coordonnées $(-1~;~0)$ et C de coordonnées $(-2~;~0)$.

\begin{enumerate}
\item  %On admet qu'il existe trois nombres réels $a,~ b$ et $c$ tels que, pour 	$x$ réel, \\$f(x) = \ln \left(ax^2 + bx + c\right)$.\\
%Calculer $a,~ b$ et $c$.
On a :

$\left\{\begin{array}{l l}
\text{A}(0~;~\ln 3) \in \mathcal{C}_{f} \iff &\ln 3 = \ln c\\
\text{B}(-1~;~0) \in \mathcal{C}_{f} \iff & 0 = \ln (a - b + c)\\
\text{C}(-2~;~0) \in \mathcal{C}_{f} \iff &0 = \ln (4a - 2b + c)
\end{array}\right.$

On obtient donc : $c = 3, a - b + 3 = 1$ et $4a - 2b + 3 = 1$.

Donc $\left\{\begin{array}{l c l}
a - b&=&-2\\
2a - b&=&-1
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
 a - b&=&-2\\
 a&=&1
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
b&=&3\\
a&=&1
\end{array}\right.$

On a donc : $f(x) = \ln \left(x^2 +3x + 3\right).$
\medskip

\psset{unit=1.333cm}
\begin{pspicture}(-5,-2)(4,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-5,-2)(4,4)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=4,gridwidth=0.4pt,griddots=10](0,0)(-5,-2)(4,4)
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000]{-5}{4}{x dup mul x 3 mul add 3 add ln}
\psplot[linecolor=red,plotpoints=3000]{-1}{4}{10 x mul 11 add x 2 add div ln}
\uput[d](4,0){$x$}\uput[l](0,4){$y$} \uput[u](3,3){$\mathcal{C}_{f}$}
\uput[d](3,2.1){$\mathcal{C}_{g}$}
\psline(-5,2.302)(4,2.302)
\end{pspicture}

%(Ce graphique n'est pas à l'échelle.)	
		
\item  %On admet que la fonction $f$ est définie sur $\R$ par $f(x) = \ln \left(x^2  +3x + 3\right)$ et on désigne par $f'$ sa fonction dérivée.

	\begin{enumerate}
		\item  %Déterminer $f'(x)$ pour tout $x$ réel.
		$f$ est de la forme $\ln u$, avec $u$ polynôme dérivable sur $\R$ et qui a pour dérivée $\dfrac{u'}{u}.$
		
Donc $f'(x) = \dfrac{2x + 3}{x^2  +3x + 3}.$

 
		\item  %Démontrer que la fonction $f$ admet un minimum sur $\R$.
		
Le trinôme $x^2  +3x + 3$ a pour déterminant $\Delta = - 3$ ; il est donc du signe de a = +1, donc strictement positif.

(Autre méthode : $x^2  +3x + 3 = \left(x + \dfrac{3}{2} \right)^2 - \dfrac{9}{4} + 3 = \left(x + \dfrac{3}{2} \right)^2 + \dfrac{3}{4} \geqslant \dfrac{3}{4} > 0.$)

$f'(x)$ est donc du signe de la fonction affine $x \mapsto 2x + 3$, qui s'annule pour $x = - \dfrac{3}{2}$.

$f'(x) < 0$ sur $]-\infty~;~- \dfrac{3}{2}[$, soit $f$ décroissante sur cet intervalle, et $f'(x) > 0$ sur $]- \dfrac{3}{2}~;~+\infty[$, soit $f$ croissante sur cet intervalle.

$d$ a donc un minimum en $- \dfrac{3}{2}$.
		\item  %Déterminer la valeur exacte de ce minimum.
Le minimum de $f$ est égal à $f\left(- \dfrac{3}{2} \right) = \ln \left(\dfrac{9}{4} - \dfrac{9}{2} + 3 = \ln \left(\dfrac{3}{4}\right) = \ln 3 - 2\ln 2.$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}	

\medskip
		
\textbf{Partie B. Étude d'une fonction} \boldmath  $g$ \unboldmath

%On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[-1 ~;~ +\infty[$ par :
%\[g(x) = \ln \left(\dfrac{10x + 11}{x+2}\right).\]
%On note $\mathcal{C}_{g}$ la courbe représentative de la fonction $g$ dans le repère \Oij,   du plan $\mathcal{P}$ et $g'$ sa fonction dérivée sur l'intervalle $[-1 ~;~ +\infty[$
%\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %Calculer $g(- 1)$.
		
$g(- 1) = \ln \left(\dfrac{-10 + 11}{-1+2}\right) = \ln 1 = 0.$
		\item %Déterminer la limite de la fonction $g$ en $+\infty$.
		
%En déduire que la courbe $\mathcal{C}_{g}$ admet une asymptote $D$ dont on donnera une équation.

Pour $x \neq 0$, $\dfrac{10x + 11}{x+2} = \dfrac{10 + \frac{11}{x}}{1 + \frac{2}{x}}$ qui a pour limite 10 au voisinage de l'infini.

Donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}g(x) = \ln 10$.

Ceci signifie que $\mathcal{C}_{g}$ a pour asymptote la droite horizontale $D$, d'équation $y = \ln 10$ au voisinage de plus l'infini.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  %En remarquant que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $[-1 ~;~ +\infty[$ :
%\[g(x) = \ln (10x + 11) - \ln(x + 2),\]
%justifier que :

%\[g'(x) = \dfrac{9}{(10x + 11)(x + 2)}.\]

Sur $[-1 ~;~ +\infty[,~10x + 11 > 0$ et $x + 2 > 0$, donc

 $\ln \left(\dfrac{10x + 11}{x+2}\right) = \ln (10x + 11) - \ln (x + 2)$.

D'où g'(x) = \dfrac{10}{10x + 11} - \dfrac{1}{x + 2} = \dfrac{10(x + 2) - 1(10x + 11}{(10x + 11)(x + 2)} = \dfrac{20 - 11}{(10x + 11)(x + 2)} = \dfrac{9}{(10x + 11)(x + 2)}$ sur $[-1 ~;~ +\infty[$	
		\item  %Établir le tableau de variations de la fonction $g$.
		
Comme tous les termes de la dérivée sont strictement positifs, celle-ci est strictement positive : la fonction $g$ est strictement croissante sur $[-1 ~;~ +\infty[$ de $g(-1)  = 0$ à $\ln 10$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip
		
\textbf{Partie C. Étude des positions relatives de $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$}
\begin{enumerate}
\item  %On pose, pour tout $x$ réel, $P(x) = x^3 + 5x^2 - x - 5$.
		
	\begin{enumerate}
		\item  %Vérifier que, pour tout $x$ réel, $P(x) =\left (x^2 - 1\right)(x + 5)$.
$\left (x^2 - 1\right)(x + 5) = x^3 + 5x^2 -  x - 5 = P(x)$	
		\item  %Résoudre dans $\R$ l'équation $P(x) = 0$.
D'après la question précédente : $P(x) = 0 \iff \left (x^2 - 1\right)(x + 5) = 0 \iff \left\{\begin{array}{l cl}
x&=&-1\\
x&=&1\\
x&=&-5
\end{array}\right.$
		\item  %Étudier le signe de $P(x)$ pour tout $x$ réel.
Comme $P(x) = (x - 1)(x + 1)(x + 5)$, son signe dépend de celui de ces trois facteurs, d'où le tableau de signes :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(10,5)
\psframe(10,5)
\psline(0,1)(10,1)
\psline(0,2)(10,2)
\psline(0,3)(10,3)
\psline(0,4)(10,4)
\psline(2,0)(2,5)
\uput[u](1,4){$x$} \uput[u](2.25,4){$-\infty$} \uput[u](4,4){$-5$} \uput[u](6,4){$-1$} \uput[u](8,4){1} \uput[u](9.75,4){$+\infty$}
\uput[u](1,3){$x - 1$} \uput[u](3,3){$-$} \uput[u](5,3){$-$} \uput[u](7,3){$-$}\uput[u](8,3){0} \uput[u](9,3){+} 
\uput[u](1,2){$x+1$} \uput[u](3,2){$-$} \uput[u](5,2){$-$} \uput[u](6,2){0} 
\uput[u](7,2){+} \uput[u](9,2){+} \uput[u](1,1){$x+5$} \uput[u](3,1){$-$} 
\uput[u](5,1){+} \uput[u](7,1){+} \uput[u](9,1){+} \uput[u](4,1){0} 
\uput[u](1,0){$P(x)$} \uput[u](3,0){$-$} \uput[u](5,0){+} \uput[u](7,0){$-$}
\uput[u](9,0){+} \uput[u](4,0){0} \uput[u](6,0){0} \uput[u](8,0){0} 
\end{pspicture}
\end{center}

	\end{enumerate}
\item %On rappelle que la fonction $f$ est définie sur $\R$ par :
%$f(x) = \ln \left(x^2 + 3x + 3\right)$
%et que la fonction $g$ est définie sur l'intervalle 	$[-1 ~;~ +\infty[$ par :
%$g(x) = \ln \left(\dfrac{10x + 11}{x+2}\right)$.

	\begin{enumerate}
		\item  %En utilisant les résultats de la question C. 1. b., résoudre dans l'intervalle $[-1 ~;~ +\infty[$ l'équation $f(x) = g(x)$.
Dans $[-1 ~;~ +\infty[$, $f(x) = g(x) \iff \ln \left(x^2 + 3x + 3\right) = \ln \left(\dfrac{10x + 11}{x+2}\right) \iff x^2 + 3x + 3 = \dfrac{10x + 11}{x+2}$ (par croissance de la fonction $\ln$).

Ce qui équivaut à $(x + 2)\left(x^2 + 3x + 3\right) = 10x + 11 \iff$

 $x^3 + 3x^2 + 3x + 2x^2 + 6x + 6 = 10x + 11 \iff x^3 + 5x^2 - x - 5 = 0 \iff P(x) = 0$, équation qui a été résolue ci-dessus.

\[\text{Sur}~[-1 ~;~ +\infty[, f(x) = g(x) \iff x = -1,~\text{ou}~x = 1, \text{ou}~x = -5.\]


		\item  %En déduire les coordonnées des points d'intersection des courbes $\mathcal{C}_{f}$
%et $\mathcal{C}_{g}$ sur l'intervalle $[-1 ~;~ +\infty[$.
Graphiquement la question précédente signifie que sur l'intervalle $[-1 ~;~ +\infty[$, les courbes $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ sont sécantes pour $x = -1,~x = 1$.
	\end{enumerate}

\item
	\begin{enumerate}
		\item  %En utilisant les résultats de la question C. 1. c, résoudre dans l'intervalle $[-1 ~;~ +\infty[$ l'inéquation $f(x) \geqslant  g(x)$.
De la même fa\c{c}on que dans la question précédente, sur  $[-1 ~;~ +\infty[$,

 $f(x) \geqslant g(x) \iff P(x) \geqslant 0$.

D'après le tableau ci-dessus, on a donc $f(x) \geqslant g(x)$ sur $[1~;~+ \infty]$. 
		\item  %En déduire selon les cas la position de la courbe $\mathcal{C}_{f}$ par rapport à la
%courbe $\mathcal{C}_{g}$ sur l'intervalle $[-1 ~;~ +\infty[$ ;
De la même fa\c{c}on sur $]-1~;~1[,~ P(x) < 0  \iff f(x) < g(x)$, ce qui signifie que $\mathcal{C}_{f}$ est au-dessous de $\mathcal{C}_{g}$ sur $]-1~;~1[$.

Par contre sur $]1~;~+ \infty[$, $f(x) > g(x)$, ce qui signifie que $\mathcal{C}_{f}$ est au-dessus de $\mathcal{C}_{g}$.

Enfin en $-1$ et en 1, les deux courbes sont sécantes. 
	\end{enumerate}

\item %Sur le graphique de la partie A, tracer la droite $D$ et la courbe $\mathcal{C}_{g}$.
Cf. figure.
\end{enumerate}
\end{document}