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\def\Oij{$\left(\text{O},~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\overrightarrow{u},~\overrightarrow{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat STI  Génie électronique, électrotechnique et optique}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{20 juin 2011}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STI Antilles--Guyane~\decofourright\\Génie électronique, électrotechnique et optique\\20 juin 2011}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 5 points}

\medskip

%Rappel : i désigne le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.
%
%\medskip
% 
%Le plan est muni du repère orthonormé \Ouv{} (unité : 3 cm).
%
%\smallskip
 
\begin{enumerate}
\item %Résoudre, dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes, l'équation (E) : 

%\[9z^2 - 6z + 2 = 0.\]
Équation $9z^2 - 6z + 2 = 0 ; \quad \Delta = 36 - 4 \times 9 \times 2 = - 36 = (6\text{i})^2 < 0$. l'équation a donc deux racines complexes conjuguées :

$\dfrac{6 + 6\text{i}}{2\times 9} = \dfrac{1}{3} + \text{i}\dfrac{1}{3}$ et  $\dfrac{1}{3} - \text{i}\dfrac{1}{3}$.

\[S = \left\{\dfrac{1}{3} + \text{i}\dfrac{1}{3}\quad ; \quad \dfrac{1}{3} - \text{i}\dfrac{1}{3}\right\}\]
\item  	%On considère le point A d'affixe $z_{\text{A}} = \dfrac{3}{2} + \dfrac{3}{2}\text{i}$ et le point B d'affixe $z_{\text{B}} = \dfrac{1}{z_{\text{A}}}$. 
%Déterminer la forme algébrique de $z_{\text{B}}$.
$z_{\text{B}} = \dfrac{1}{\frac{3}{2} + \frac{3}{2}\text{i}} = \dfrac{\frac{3}{2} - \frac{3}{2}\text{i}}{\left(\frac{3}{2} + \frac{3}{2}\text{i} \right)\left(\frac{3}{2} - \frac{3}{2}\text{i} \right)} = \dfrac{\frac{3}{2} - \frac{3}{2}\text{i}}{\frac{9}{4} + \frac{9}{4}} = \dfrac{\frac{3}{2} - \frac{3}{2}\text{i}}{\frac{9}{2}} = \frac{2}{9}\left(\frac{3}{2} - \frac{3}{2}\text{i} \right) = \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{3}\text{i}$. 
\item %Déterminer le module et un argument de $z_{\text{A}}$.
On a $\left|z_{\text{A}} \right|^2 = \frac{9}{4}  + \frac{9}{4}  = \frac{18}{4} \Rightarrow  \left|z_{\text{A}} \right| = \dfrac{3\sqrt{2}}{2}$.

On peut ensuite écrire $z_{\text{A}} = \dfrac{3\sqrt{2}}{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)$

On reconnaît le cosinus et le sinus de $\dfrac{\pi}{4}$.

Un argument de $z_{\text{A}}$ est $\dfrac{\pi}{4}$.
%En déduire le module et un argument de $z_{\text{B}}$.

De  $z_{\text{B}} = \dfrac{1}{z_{\text{A}}}$, on déduit que $\left|z_{\text{B}} \right| = \dfrac{1}{\left|z_{\text{A}} \right|} = \dfrac{\sqrt{2}}{3}$ et qu'un argument de $z_{\text{B}}$ est $- \dfrac{\pi}{4}$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Placer les points A et B dans le repère \Ouv{} (\emph{faire une figure sur papier millimétré}).
Voir à la fin. 
		\item %Montrer que le triangle AOB est rectangle.
On a $\left(\vect{\text{OB}}~;~\vect{\text{OA}} \right) = \frac{\pi}{4} - \left(- \frac{\pi} {4}\right) = \frac{\pi}{2}$. Donc le triangle OAB est rectangle en O.
	\end{enumerate} 
\item %Soit C le point d'affixe $z_{\text{C}} = \text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{8}}$ et C$'$ le point d'affixe $z_{\text{C}'}  = \dfrac{1}{z_{\text{C}}}$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Donner une forme exponentielle de $z_{\text{C}'}$.
$z_{\text{C}'}  = \dfrac{1}{z_{\text{C}}} = \dfrac{1}{\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{8}}} = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{8}}$.
		\item %Montrer que le point C$'$ est l'image de C par la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{4}$.
On a $\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}\times z_{\text{C}} = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}\times\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{8}} = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{8}} = z_{\text{C}'}$. Cette égalité montre que le point C$'$ est l'image de C par la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{4}$.
	\end{enumerate} 
\item  	%Soit D le point d'affixe $z_{\text{D}} = - \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{3}\text{i}$. 
 
%Déterminer l'affixe du vecteur de la translation qui transforme D en A.
L'affixe du vecteur de la translation qui transforme D en A est $z_{\vect{\text{DA}}} = z_{\text{A}} - z_{\text{D}} = \dfrac{3}{2} + \dfrac{3}{2}\text{i} - \left(- \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{3}\text{i} \right) = \dfrac{3}{2} + \dfrac{1}{3} + \text{i}\left(\dfrac{3}{2} + \dfrac{1}{3}\right) = \dfrac{11}{6} + \text{i}\dfrac{11}{6}$.
\end{enumerate}

\medskip
\psset{unit=2cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-2,-1)(2,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-2,-1)(2,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\vect{u}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{v}$}
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange]
\psdots(1.5,1.5)(0.3333,-0.3333)(-0.3333,-0.3333)
\pspolygon(0,0)(1.5,1.5)(0.3333,-0.3333)
\uput[ur](1.5,1.5){A}\uput[dr](0.3333,-0.3333){B}\uput[dl](0,0){O}\uput[ul](-0.3333,-0.3333){D}
\end{pspicture}
\end{center}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 5 points}

\medskip 

%On dispose d'un dé en forme de tétraèdre régulier, c'est-à-dire dont les quatre faces sont des triangles équilatéraux. Chacune de ces faces est repérée par une lettre inscrite sur cette face (A, B, C ou D). Chacune des lettres figure sur une et une seule face.
% 
%Quand le dé s'immobilise après un lancer, une des faces est cachée et les trois autres sont visibles ; le résultat de ce lancer est la lettre inscrite sur la face cachée du dé.
% 
%Le dé est supposé parfaitement équilibré, c'est-à-dire qu'à chaque lancer les quatre résultats possibles sont équiprobables.
%
%\smallskip
% 
%Un joueur lance le dé deux fois de suite. On considère les évènements suivants :
%
%\setlength\parindent{10mm}
%\begin{itemize}
%\item[] A$_{1}$ : \og le résultat du premier lancer est A \fg
%\item[] A$_{2}$ : \og le résultat du second lancer est A \fg 
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate}
\item %Quelle est la probabilité de $\overline{\text{A}_{1}}$,  évènement contraire de A$_{1}$ ?
On a $p(\text{A}_{1}) = \dfrac{1}{4}$, donc $p\left(\overline{\text{A}_{1}} \right) = 1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}$. 
\item %Quelle est la probabilité de l'évènement $\overline{\text{A}_{1}} \cap \text{A}_{2}$  ? 
On a $p\left(\overline{\text{A}_{1}} \cap \text{A}_{2} \right) = \dfrac{3}{4} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{16}$.
\item %Quelle est la probabilité de l'évènement A$_{1} \cap \text{A}_{2}$ ? 
On a $p\left(\text{A}_{1} \cap \text{A}_{2} \right) = \dfrac{1}{4} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{16}$.
\item %Pour faire une partie (deux lancers successifs), le joueur doit payer 2 euros.
 
%Si le résultat A est obtenu aux deux lancers, le joueur reçoit 12~\euro. 

%Si le résultat A est obtenu à un seul des deux lancers, le joueur reçoit 3~\euro. 

%Si le résultat A n'est obtenu à aucun lancer, le joueur ne reçoit rien.
 
%Soit $G$ la variable aléatoire qui, à chaque partie jouée, associe le gain (positif ou négatif) du joueur en euros, tenant compte des 2 euros payés et de la somme éventuellement reçue. 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que $p(G = -2) = \dfrac{9}{16}$.


La probabilité de n'avoir aucun tirage A est égale à $\dfrac{3}{4} \times \dfrac{3}{4} = \dfrac{9}{16}$. Donc $p(G = - 2) = \dfrac{9}{16}$.
		\item %Quelles sont les valeurs prises par $G$ ?
		On a $G \in \{- 2~;~1~;~10\}$. 
		\item %Donner la loi de probabilité de $G$.
Le joueur reçoit 12~\euro avec une probabilité\' de  $p\left(\text{A}_{1} \cap \text{A}_{2} \right) = \dfrac{1}{16}$.

Le résultat A est obtenu au deuxième lancer avec la probabilité $p\left(\overline{\text{A}_{1}} \cap \overline{\text{A}_{2}} \right) = \dfrac{1}{4} \times \dfrac{3}{4} = \dfrac{3}{16}$.

Donc la probabilité d'avoir un seul  résultat A est égale à $p\left(\overline{\text{A}_{1}} \cap \text{A}_{2} \right) + p\left(\text{A}_{1} \cap \overline{\text{A}_{2}} \right) = \dfrac{3}{16} + \dfrac{3}{16} = \dfrac{6}{16}$.

On a donc le tableau de la loi de probabilité de la variable $G$ suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
valeurs de $G$&$- 2$&1&10\\ \hline
\rule[-3mm]{0mm}{9mm}$p\left(G = g_{i} \right)$&$\dfrac{9}{16}$&$\dfrac{6}{16}$&$\dfrac{1}{16}$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 
		\item %Quelle est la probabilité pour que le gain du joueur soit positif ?
		On a $p(G > 0) =  \dfrac{6}{16} + \dfrac{1}{16} = \dfrac{7}{16}$.
		\item %Calculer l'espérance mathématique de $G$.
On a E$(G) = - 2 \times \dfrac{9}{16} + 1 \times \dfrac{6}{16} + 10 \times \dfrac{1}{16} = - \dfrac{7}{16} \approx 0,44$~\euro.

Sur un grand nombre de parties le joueur perdra à peu près 44 centimes d'euro par partie.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 10 points}

\medskip  
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
%\parbox{0.55\linewidth}{On considère la fonction $h$ dont la courbe représentative $\mathcal{C}_{h}$ est tracée ci-contre. La droite T est la tangente à la courbe $\mathcal{C}_{h}$ au point A de coordonnées (1~;~3); cette droite coupe l'axe des ordonnées au point B de coordonnées (0~;~1). On admet qu'il existe des nombres réels $a$ et $b$ tels que, pour tout nombre réel $x$ dans $]0~;~+\infty[,\, h(x) = a\ln x + b$.
%
%\medskip
% 
%\emph{Dans la question suivante, toute recherche, même incomplète, ou initiative, même infructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation : }
%
%\medskip
%
%Déterminer les nombres réels $a$ et $b$.}\hfill
%\parbox{0.4\linewidth}{\psset{unit=1.5cm}\begin{pspicture}(-1,-1)(2.5,4.5)
%\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-1,-1)(2.5,4.5)
%\psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dotted](1,0)(1,3)(0,3)
%\psplot{-1}{1.75}{2 x mul 1 add}
%\uput[dr](1,3){A}\uput[dr](0,1){B}\uput[ul](1.2,3.4){T}\uput[r](0.2,-0.8){$\mathcal{C}_{h}$}
%\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.134}{2.}{x ln 2 mul 3 add}
%\end{pspicture}
%}
$h$ est définie et dérivable sur $\R_{+}$ et $h'(x) = \dfrac{a}{x}$.

La droite T a un coefficient directeur égal à $\dfrac{3 - 1}{1 - 0} = 2$. On a donc $f'1) = 2 \iff \dfrac{a}{1} = 2 \iff a = 2$.

D'autre part $h(1) = 3 \iff a\ln 1 + b = 3 \iff b = 3$.

La fonction $h$ est donc définie par : $h(x) = 2\ln x + 3$ sur $\R_{+}$.
\bigskip  
 
\textbf{Partie B}

\medskip

%On considère la fonction $g$ définie, pour tout réel $x$ appartenant à $]0~;~+\infty[$, par :
%
%\[g(x) = 2x\ln x + x - 1.\]
 
\begin{enumerate}
\item %On note $g'$ la dérivée de la fonction $g$. 

%Montrer que, pour tout $x$ appartenant à $]0~;~+\infty[$, on a $g'(x) = 2\ln x + 3$.
$g$ somme de produits de fonctions dérivables sur  $]0~;~+\infty[$ est dérivable et sur cet intervalle :

$g'(x) = 2\ln x + 2x \times \dfrac{1}{x} + 1 = 2\ln x + 3 = h(x)$.
\item %Résoudre dans $]0~;~+\infty[$ l'inéquation $2\ln x + 3> 0$.
Sur  $]0~;~+\infty[, \quad 2\ln x + 3> 0 \iff 2\ln x > - 3 \iff \ln x > - \dfrac{3}{2}$  et par croissance de la fonction exponentielle~$x > \text{e}^{- \frac{3}{2}}$.

Donc $S = \left]\text{e}^{- \frac{3}{2}}~;~+ \infty  \right[$.
\item Déterminer les limites de la fonction $g$ en $0$ et en $+\infty$.
On sait que $\displaystyle\lim_{x \to 0} x\ln x = 0$, donc  $\displaystyle\lim_{x \to 0} g(x) = - 1$.

D'autre part $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \ln x = \displaystyle\lim_{x \to +\infty}  x = + \infty$ donc par somme de limites $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} g(x) = + \infty$.
\item %Dresser le tableau de variations de $g$ sur $]0~;~+\infty[$. On y fera figurer les limites de $g$ ainsi que sa valeur en $1$. 
On a vu que sur $\left]\text{e}^{- \frac{3}{2}}~;~+ \infty  \right[,~g'(x) > 0$, donc $g$ est croissante sur cet intervalle.

On montre de même que sur $\left]0~;~\text{e}^{- \frac{3}{2}}\right[,~g'(x) < 0$, donc $g$ est décroissante sur cet intervalle.

D'o\`u le tableau de variations suivant :

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(7,3)
\psframe(7,3) \psline(0,2)(7,2)\psline(0,2.5)(7,2.5)\psline(1,0)(1,3)
\uput[u](0.5,2.5){$x$} \uput[u](1.1,2.5){$0$} \uput[u](4,2.5){$\text{e}^{- \frac{3}{2}}$} \uput[u](6.6,2.5){$+ \infty$} 
\rput(0.5,2.25){$g'(x)$} \rput(2.5,2.25){$-$}\rput(5.5,2.25){$+$}\rput(4,2.25){$0$}
\psline{->}(1.5,1.5)(3.5,0.5) \psline{->}(4.5,0.5)(6.5,1.5)
\uput[d](1.2,2){$-1$}\uput[u](4,0){$-2\text{e}^{- \frac{3}{2}} - 1$} \uput[d](6.5,2){$+ \infty$} 
\rput(5.5,0.95){$0$}\uput[u](5.5,2.5){$1$}
\end{pspicture}
\end{center}
\item %Prouver que $g(x) < 0$ pour tout $x$ appartenant à ]0~;~1[ et $g(x) > 0$ pour tout $x$ appartenant à $]1~;~+\infty[$.
Le tableau de variations montre que sur $]0~;~1[$, on a $g(x) < 0$ et sur $]1~;~+ \infty[,$

$g(x) > 0$.
\end{enumerate}

\bigskip  
 
\textbf{Partie C}

\medskip 

%On considère la fonction $f$ définie pour tout $x$ appartenant à $]0~;~+\infty[$ par : 
%
%\[f(x) = x^2 \ln x - x + 1.\]
 
%On admet que la limite de la fonction $f$ en $0$ est égale à $1$. 
\begin{enumerate}
\item %En remarquant que $f(x) = x(x \ln x - 1) + 1$ pour tout $x$ appartenant à $]0~;~+\infty[$,  calculer la limite de $f$ en $+ \infty$.
On a $f(x) = x(x \ln x - 1) + 1$. Donc comme  $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \ln x  = \displaystyle\lim_{x \to +\infty} x = + \infty$, on obtient par produit de limites $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = + \infty$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que la fonction dérivée de $f$ est la fonction $g$, définie dans la partie B.
		On a $f'(x) = 2x\ln x + x^2 \times \dfrac{1}{x} - 1 =  2x\ln x + x - 1 = g(x)$.
		\item %En déduire le tableau de variations de $f$.
Le signe de $f'(x)$ est donc celui de $g$ vu à la question 5 de la partie B. Donc :

$f'(x) < 0$ sur $]0~;~1[$, donc $f$ est décroissante sur cet intervalle  et $f'(x) > 0$ sur $]1~;~+ \infty[$, donc $f$ est croissante sur cet intervalle.
	\end{enumerate} 
\item %Recopier et compléter le tableau de valeurs ci-dessous. Pour chaque valeur, on inscrira dans le tableau l'arrondi au centième.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$x$		&0,2	&0,5	&1		&1,5&2		&2,5	&3\\ \hline
$f(x)$	&0,7	&0,3	&$0$	&0,4&1,8	&4,2	&7,9\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item %Dans le plan muni du repère orthonormé \Oij{} (unité : 2~cm), tracer la courbe $\mathcal{C}$  représentative de la fonction $f$. On utilisera une feuille de papier millimétré.
Voir à la fin.
\end{enumerate}

\bigskip  
 
\textbf{Partie D}

\medskip 

%Soit $\Delta$ la partie du plan comprise entre l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}$ (construite dans la partie C) et les droites d'équations respectives $x = 1$ et $x = 2$. 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Hachurer la partie $\Delta$ sur le graphique construit dans la partie C. 
Voir la figure
		\item %Par lecture graphique, encadrer par deux entiers consécutifs l'aire $\mathcal{A}$ de la partie $\Delta$ en centimètres carrés.
Chaque petit carré a une aire de $\dfrac{4}{25}$~cm$^2$. La surface hachurée contient à peu près 14 petits carrés soit  $14 \times \dfrac{4}{25} = \dfrac{56}{25}  = 2,24$cm$^2$. On a donc $2 < \mathcal{A} < 3$.
	\end{enumerate} 
\item 	%On admet que la fonction $F$ définie pour tout réel $x$ appartenant à $]0~;~+\infty[$ par: 

%\[F(x) = \dfrac{x^3}{3}\ln x - \dfrac{x^3}{9} - \dfrac{x^2}{2} + x\] 
%
%est une primitive de la fonction $f$ définie dans la partie C.
% 
%Déterminer la valeur exacte puis l'arrondi au millième de l'aire $\mathcal{A}$ de $\Delta$ en centimètres carrés. 
La fonction $f$ est positive, donc l'aire $\mathcal{A}$ de $\Delta$ en unité d'aire est égale à l'intégrale :

$\displaystyle\int_{1}^2f(x)\:\text{d}x = [F(x)]_{1}^2 = F(2) - F(1) = \dfrac{2^3}{3}\ln 2 - \dfrac{2^3}{9} - \dfrac{2^2}{2} + 2 - \left[\dfrac{1^3}{3}\ln 1 - \dfrac{1^3}{9} - \dfrac{1^2}{2} + 1  \right] = \dfrac{8}{3}\ln 2 - \dfrac{8}{9} - 2 + 2 - \left[ - \dfrac{1}{9} - \dfrac{1}{2} + 1  \right] = \dfrac{8}{3}\ln 2 - \dfrac{8}{9} + \dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{2} - 1 = \dfrac{8}{3}\ln 2 - \dfrac{7}{9} -\dfrac{1}{2} \approx \np{0,5706}$~unité d'aire.

Or une unité d'aire vaut $2 \times 2 = 4$~cm$^2$.

Donc $\mathcal{A} = 4\left(\dfrac{8}{3}\ln 2 - \dfrac{7}{9} -\dfrac{1}{2} \right) = \dfrac{32}{3}\ln 2 - \dfrac{28}{9} -2 \approx 2,282$~cm$^2$.
\end{enumerate}

\medskip

\psset{unit=2cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-0.1,-1)(5,8)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.1,-1)(5,8)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,-1)(5,8)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.001}{3.012}{x dup mul x ln  mul x sub 1 add}
\pscustom[fillstyle=hlines]{
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{2}{x dup mul x ln  mul x sub 1 add}
\psline(2,0)(1,0)}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}