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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat STI  Génie électronique, électrotechnique et optique}
\lfoot{\small{Nouvelle--Calédonie}}
\rfoot{\small{novembre 2011}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STI Nouvelle--Calédonie~\decofourright\\novembre 2011\\Génie électronique, électrotechnique et optique}}
    
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 4,5 points}

\medskip

%Dans une urne, on dispose de cinq boules indiscernables au toucher : trois boules vertes numérotées de 1 à 3, qu'on notera $V_{1},\: V_{2}$ et $V_{3}$, et deux boules rouges numérotées 0 et 5, qu'on notera $R_{0}$ et $R_{5}$.
% 
%Un jeu consiste à tirer successivement deux boules au hasard. Avant de tirer la deuxième boule, on remet dans l'urne la boule obtenue au premier tirage.
%
%\begin{itemize}
%\item Si les deux boules tirées sont de la même couleur, le joueur ne reçoit rien. 
%\item Si les deux boules tirées sont de couleurs différentes, le joueur remporte le montant en euros égal au nombre formé en prenant le chiffre de la boule verte pour les dizaines et celui de la boule rouge pour les unités.
%\end{itemize}
% 
%Par exemple, le tirage du couple $\left(R_{5}~;~V_{3}\right)$ rapporte 35 euros, alors que le tirage du couple $\left(V_{1}~;~V_{2}\right)$ ne rapporte rien.
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item ~%Recopier et compléter le tableau suivant en indiquant les différents montants : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\backslashbox{1\up{re} boule}{2\up{e} boule}& $V_{1}$ &$V_{2}$ &$V_{3}$ &$R_{0}$ &$R_{5}$\\ \hline 
$V_{1}$&0&0&0&10&15\\ \hline 
$V_{2}$&0&0&0&20&25\\ \hline 
$V_{3}$&0&0&0&30&35\\ \hline 
$R_{0}$&10&20&30&0&0 \\ \hline
$R_{5}$&15&25& 35&0&0 \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 

		\item %Déterminer la probabilité de chacun des évènements suivants :
 
%A : \og le joueur ne reçoit rien \fg{} ;
Dans 13 cas sur 25 le joueur ne reçoit rien : la probabilité est donc égale à $\dfrac{13}{25} = \dfrac{52}{100} = 0,52$.
 
%B : \og le joueur remporte un montant supérieur ou égal à 20 euros \fg.
Le joueur reçoit plus de 20 euros dans 6 cas sur 25, d'où une probabilité de $\dfrac{6}{25} = \dfrac{24}{100} = 0,24$.
	\end{enumerate} 
\item %On suppose dans cette question que le joueur mise 15 euros. On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque tirage, associe le gain du joueur, c'est-à-dire la différence entre ce qu'il reçoit et ce qu'il mise, $X$ étant négative en cas de perte. 
	\begin{enumerate}
		\item %Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
On construit le tableau des \og gains \fg{} en retranchant 15 de chaque cas du tableau précédent :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\backslashbox{1\up{re} boule}{2\up{e} boule}& $V_{1}$ &$V_{2}$ &$V_{3}$ &$R_{0}$ &$R_{5}$\\ \hline 
$V_{1}$&$-15$&$-15$&$-15$&$-5$&0\\ \hline 
$V_{2}$&$-15$&$-15$&$-15$&5&10\\ \hline 
$V_{3}$&$-15$&$-15$&$-15$&15&20\\ \hline 
$R_{0}$&$-5$&5&15&$-15$&$-15$ \\ \hline
$R_{5}$&0&10& 20&$-15$&$-15$ \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

On en déduit le tableau de la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1.75cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x_{i}$&$- 15$&$- 5$&0&5&10&15&20\\ \hline
\rule[-3mm]{0mm}{9mm}$p\left(X = x_{i}\right)$&$\dfrac{13}{25}$&$\dfrac{2}{25}$&$\dfrac{2}{25}$&$\dfrac{2}{25}$&$\dfrac{2}{25}$&$\dfrac{2}{25}$&$\dfrac{2}{25}$\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
		  
		\item %Calculer l'espérance de $X$.
		On a E$(X) = - 15 \times  \dfrac{13}{25} - 5 \times \dfrac{2}{25} + 0 \times \dfrac{2}{25} + 5 \times \dfrac{2}{25} + 10\times \dfrac{2}{25} + 15 \times \dfrac{2}{25} + 20\times \dfrac{2}{25} = \dfrac{- 195 - 10 + 0 + 10 + 20 + 30 + 40}{25} = - \dfrac{105}{25} = - \dfrac{21}{5} = - 4,20$~(\euro).
		
Sur un grand nombre de parties la perte moyenne pour un joueur est égale à 4,20~\euro.
		\item %Un jeu est dit équitable lorsque l'espérance du gain est nulle. Quelle devrait être la mise de départ pour que ce jeu soit équitable ?
En remplaçant 15 par un mise de $m$ euros on obtient une nouvelle loi de probabilité :
		
\medskip
\begin{footnotesize}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1.5cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x_{i}$&$- m$&$10 - m$&$10 - m$&$15 - m$&$20 - m$&$25 - m$&$30 - m$&$35 - m$\\ \hline
\rule[-3mm]{0mm}{9mm}$p\left(X = x_{i}\right)$&$\dfrac{13}{25}$&$\dfrac{2}{25}$&$\dfrac{2}{25}$&$\dfrac{2}{25}$&$\dfrac{2}{25}$&$\dfrac{2}{25}$&$\dfrac{2}{25}$&$\dfrac{2}{25}$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{footnotesize}
\medskip

On a alors :

E$(X) = - m \times \dfrac{13}{25}   + (10 - m)\times \dfrac{2}{25}  + (15 - m)\times \dfrac{2}{25}  + (20 - m)\times \dfrac{2}{25}  + (25 - m)\times \dfrac{2}{25} + (30 - m)\times \dfrac{2}{25}  + (35 - m)\times \dfrac{2}{25}  =$

$ \dfrac{-13m + 20 - 2m + 30 - 2m + 40 - 2m + 50 - 2m + 60 - 2m  + 70 - 2m}{25} = \dfrac{270 - 25m}{25}$

Le leu est équitable si l'espérance est nulle :

E$(X) = 0 \iff \dfrac{270 - 25m}{25} = 0 \iff 270 - 25m = 0 \iff 270 = 25m \iff 54 = 5m \iff m \dfrac{54}{5} = \dfrac{108}{10} = 10,80$~\euro.

Le jeu est équitable si la mise est égale à 10,80~\euro.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 5,5 points}

\medskip 

%Soit i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.
 
\begin{enumerate}
\item %Pour tout nombre complexe z, on pose : 

%\[P(z) = z^3 + 5z^2 + 10z + 12.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $P(- 3)$, puis déterminer les réels $b$ et $c$ tels que 
$P(- 3) = (- 3)^3 + 5 \times (- 3)^2 + 10 \times (- 3) + 12 = - 27 + 45  - 30 + 12 = 57 - 57 = 0$.

$- 3$ est donc une racine de $P$. Il existe donc des complexes $b$ et $c$ tels que :

$P(z) = (z + 3)\left(z^2 + bz + c\right) = z^3 + bz^2 + cz + 3z^2 + 3bz + 3c = z^3 + (b + 3)z^2 + (3b + c)z + 3c$.

En identifiant avec l'énoncé, on obtient le système :

$\left\{\begin{array}{l c l}
b + 3&=&5\\
3b + c&=&10\\
3c&=&12
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
b + 3&=&5\\
3b + c&=&10\\
c&=&4
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
b + 3&=&5\\
3b &=&6\\
c&=&4
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
b + 3&=&5\\
b &=&2\\
c&=&4
\end{array}\right.$		
%$P(z) = (z + 3)\left(z^2 + bz + c\right)$.

Finalement : $P(z) =  (z + 3)\left(z^2 + 2z + 4\right)$.
		\item %Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation : $P(z) = 0$.
$P(z) = 0 \iff (z + 3)\left(z^2 + 2z + 4\right) = 0 \iff \left\{\begin{array}{l c l}
z + 3&=&0\\
z^2 + 2z + 4&=&0
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
z &=&- 3\\
z^2 + 2z + 4&=&0
\end{array}\right.$

Résolution de l'équation du second degré : $\Delta = 4 - 4 \times 4 = - 12 = \left(2\text{i}\sqrt{3}\right)^2 < 0$ : il y a donc deux racines complexes :

$z_{2} = \dfrac{- 2 + 2\text{i}\sqrt{3}}{2} = - 1 + \text{i}\sqrt{3}$ et $z_{3} = - 1 - \text{i}\sqrt{3}$.

Finalement les solutions sont :

\[z_{1} = - 3 ;\quad z_{2} = - 1 + \text{i}\sqrt{3} ;\quad z_{3} = - 1 - \text{i}\sqrt{3}.\]
	\end{enumerate} 
\item %Dans le plan muni d'un repère orthonormal \Ouv, on considère les points A, B et C d'affixes respectives : 

%\[z_{\text{A}} = -3 \quad ; \quad z_{\text{B}} = - 1 + \text{i}\sqrt{3} \quad ;\quad z_{\text{C}} = - 1 - \text{i}\sqrt{3}.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item %Sur la figure donnée en annexe, on a tracé deux triangles. L'un est le triangle ABC, l'autre sera noté $T$. Placer les points A, B et C sur cette figure.
Voir la figure 
		\item %On considère la translation $t$ de vecteur $4\vect{u}$. Construire les points A$'$, B$'$ et C$'$, images respectives des points A, B et C par la translation $t$.
Voir la figure  
		\item %On admet que le triangle $T$ est l'image du triangle A$'$B$'$C$'$ par une rotation $r$ de centre O. Quel est l'angle de cette rotation ? (aucune justification n' est demandée).
L'angle vaut 90 degrés. 
		\item %On appelle S le sommet du triangle $T$ ayant une abscisse strictement négative. 

%Placer le point S sur la figure donnée en annexe. Quelle conjecture peut-on faire concernant les points O, B et S ?
Il semble que les points O, B et S sont alignés.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer l'affixe $z_{\text{B}'}$ du point B$'$ puis écrire $z_{\text{B}'}$ sous forme exponentielle.
On a  $z_{\text{B}'} = z_{\text{B}} + 4 = - 1 + \text{i}\sqrt{3} + 4 = 3 + \text{i}\sqrt{3}$.

D'où $\left|z_{\text{B}'} \right|^2 = 3^2 + \left(\sqrt{3} \right)^2 = 9 + 3 = 12$ et $\left|z_{\text{B}'} \right| = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.

En factorisant ce module on a :

$z_{\text{B}'} = 2\sqrt{3}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \text{i}\dfrac{1}{2}\right)$.

Or $\cos \frac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sin \frac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}$, donc 

$z_{\text{B}'} = 2\sqrt{3}\left(\cos \frac{\pi}{6} + \text{i}\sin  \frac{\pi}{6}\right) = 2\sqrt{3}\text{e}^{\frac{\pi}{6}}$.
		\item %On admet que le point S est l'image du point B$'$ par la rotation $r$. En déduire l'écriture exponentielle de l'affixe $z_{\text{S}}$ du point S.
On admet que  S est l'image du point B$'$ par la rotation $r$ de centre O et d'angle $+ \frac{\pi}{2}$. On a donc :
		
$z_{\text{S}} = \text{e}^{\frac{\text{i}\pi}{2}}z_{\text{B}'}  = 2\sqrt{3}\text{e}^{\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2}} = 2\sqrt{3}\text{e}^{\frac{4\pi}{6}} = 2\sqrt{3}\text{e}^{\frac{2\pi}{3}}$.
		\item %Écrire $z_{\text{B}}$ sous forme exponentielle. Démontrer alors la conjecture faite à la question 2. d.
$z_{\text{B}} = - 1 + \text{i}\sqrt{3}$. Donc $\left|z_{\text{B}} \right|^2 = 1 + 3 = 4 \Rightarrow \left|z_{\text{B}} \right| = 2$.

En factorisant ce module :

$z_{\text{B}} = 2 \left(- \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

Or $\cos \frac{2\pi}{3} = - \frac{1}{2}$ et $\sin \frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, donc 

$z_{\text{B}} = 2 \left(\cos \frac{2\pi}{3} + \text{i}\sin \frac{2\pi}{3}\right) = 2\text{e}^{\frac{2\pi}{3}}$.

Conclusion : B et S ont des affixes de même argument : ils sont alignés avec O.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 10 points}

\medskip 

%Dans tout le problème, on note I l'intervalle de $\R$ défini par I  $= ]0~;~ +\infty[$.
%
%\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
%Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle I par 
%
%\[g(x) = x^2 - 2\ln x + 2.\]
 
\begin{enumerate}
\item %Pour tout réel $x$ de l'intervalle I, déterminer $g^{\prime}(x)$ puis étudier le signe de $g^{\prime}(x)$ sur l'intervalle I.
$g$ somme de fonctions dérivables sur I est dérivable sur cet intervalle et :

$g^{\prime}(x) = 2x - \dfrac{2}{x} = \dfrac{2x^2 - 2}{x} = \dfrac{2}{x}\left(x^2 - 1\right)$.

Comme $x > 0 \Rightarrow \dfrac{1}{x} > 0$ : le signe de $g^{\prime}(x)$ est donc celui du trinôme $x^2 - 1$. Celui-ci est positif sauf entre les racines $- 1$ et 1, donc ici :

$g^{\prime}(x) < 0$ sur $]0~;~1[$ ;

$g^{\prime}(x) > 0$ sur $]1~;~+ \infty[$ ;

$g^{\prime}(1) = 0$.
\item %Dresser le tableau des variations de la fonction $g$ sur l'intervalle I (les limites ne sont pas demandées).
De la question précédente résulte que :

$g$ est décroissante sur  $]0~;~1[$ ;

$g$ est croissante sur $]1~;~+ \infty[$ ;

$g(1) = 1 + 2 = 3$ est le minimum de $g$ sur I.

\medskip
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,2.5)
\psframe(7,2.5)\psline(0,2)(7,2)\psline(1,0)(1,2.5)
\uput[u](0.5,2){$x$}\uput[u](1.1,2){$0$}\uput[u](4,2){$1$}\uput[u](6.5,2){$+\infty$}
\rput(0.5,1){$g$}\uput[u](4,0){3}
\psline{->}(1.5,1.5)(3.5,0.5)\psline{->}(4.5,0.5)(6.5,1.5)
\end{pspicture}
\end{center}

\item %En déduire que, pour tout réel $x$ de l'intervalle I, on a $g(x) > 0$.
On constante que sur I, $g(x) \geqslant 3 > 0$ : la fonction est donc strictement positive sur I. 
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip

%Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle I par: 
%
%\[f(x) = \dfrac{\ln x}{x} + \dfrac{1}{2}x - 1.\] 
%
%On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 4~centimètres. 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer la limite de la fonction $f$ en $0$.
De $\displaystyle\lim_{x \to 0} \ln x = - \infty$ et  $\displaystyle\lim_{x \to 0} x = 0_{+}$ on déduit que $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\ln x}{x} = - \infty$ et comme $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{1}{2}x - 1 = - 1$, par somme de limites, on conclut que :

$\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = - \infty$.
		\item %En déduire l'existence d'une droite asymptote à la courbe $\mathcal{C}$, notée $D$, dont on précisera une équation.
		Géométriquement le résultat précédent signifie que la droite d'équation $x = 0$ est asymptote verticale à $\mathcal{C}$ au voisinage de zéro.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$. 
On sait que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$ et que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{1}{2}x = + \infty$, d'où par somme de limites :

$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$.
		\item %Montrer que la droite $\Delta$ d'équation $y = \dfrac{1}{2}x - 1$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$ au  voisinage de $+ \infty$.
		Soit $d$ la fonction définie sur I par : $d(x) = f(x) - \left(\dfrac{1}{2}x - 1 \right) =  \dfrac{\ln x}{x}$.
		
Comme $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} d(x) = \displaystyle\lim_{x \to + \infty}\dfrac{\ln x}{x} = 0$, ceci montre que la droite $\Delta$ d'équation $y = \dfrac{1}{2}x - 1$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$ au  voisinage de $+ \infty$.
		\item %Préciser la position relative de la courbe $\mathcal{C}$ et de la droite $\Delta$.
On a $d(x) > 0 \iff  \dfrac{\ln x}{x} > 0 \iff \ln x > 0 \iff x > 1$ : ceci signifie que la courbe $\mathcal{C}$ est au dessus de la droite $(\Delta)$ sur l'intervalle $]1~;~+ \infty[$.

De même on a $d(x) < 0 \iff x < 1$ :  ceci signifie que la courbe $\mathcal{C}$ est au dessus de la droite $(\Delta)$ sur l'intervalle $]0~;~1[$.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que, pour tout réel $x,\: f^{\prime}(x) = \dfrac{g(x)}{2x^2}$.
		La fonction $f$ somme de fonctions dérivables sur I est dérivable sur I et :
		
$f^{\prime}(x) = \dfrac{\frac{1}{x}\times x - 1 \times \ln x}{x^2} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{1 - \ln x}{x^2} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{2 - 2\ln x + x^2}{2x^2} = \dfrac{g(x)}{2x^2}$.
		\item %En déduire le tableau complet des variations de la fonction $f$ sur l'intervalle I.
Comme $2x^2 > 0$ sur I, le signe de $f^{\prime}(x)$ est donc celui de $g(x)$ qui a été trouvé à la question A 3. Donc $g(x) > 0$ sur I entra\^{\i}ne $f^{\prime}(x) > 0$ : la fonction $f$ est donc croissante sur I.

D'où le tableau de variation :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,2.5)
\psframe(5,2.5)\psline(0,2)(5,2)\psline(1,0)(1,2.5)
\uput[u](0.5,2){$x$}\uput[u](1.1,2){$0$}\uput[u](3,2){$1$}\uput[u](4.5,2){$+\infty$}
\rput(0.5,1){$f$}\rput(3,1){$- \frac{1}{2}$}
\psline{->}(1.5,0.5)(4.5,1.5)\uput[u](1.5,0){$- \infty$}\uput[d](4.5,2){$+ \infty$}
\end{pspicture}
\end{center}
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer les images de $1$ et de $2$ par la fonction $f$.
$f(1) = 0 + \dfrac{1}{2} - 1 = - \dfrac{1}{2}$ ;

$f(2) = \dfrac{\ln 2}{2} + \dfrac{1}{2} \times 2 - 1  = \dfrac{\ln 2}{2} \approx 0,345$. 
		\item %Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution notée $\alpha$ dans l'intervalle [1~;~2].
Sur l'intervalle [1~;~2], la fonction $f$ est strictement croissante de  $- \dfrac{1}{2} < 0$ à $\dfrac{\ln 2}{2} > 0$ : il existe donc un unique réel $\alpha \in ]1~;~2[$ tel que $f(\alpha) = 0$
		\item %Donner une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.
		La calculatrice donne :
		
$f(1,4) \approx -0,06$ et $f(1,5) \approx 0,02$, donc $1,4 < \alpha < 1,5$ ;

$f(1,47) \approx - 0,003$ et $f(1,48) \approx 0,005$, donc $1,47 < \alpha < 1,48$.		
	\end{enumerate} 
\item %Établir une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $1$.
$f(1) =  - \dfrac{1}{2}$ et $f^{\prime}(1) = \dfrac{2 - 2\ln 1 + 1^2}{2\times 1^2} = \dfrac{3}{2}$.

$M(x~;~y) \in T \iff y - f(1) = f^{\prime}(1) (x - 1) \iff y + \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}(x - 1) \iff y = \dfrac{3}{2}x - 2$.
\item %Tracer les droites $D,\: ,\Delta$ et $T$ puis la courbe $\mathcal{C}$.
Voir à la fin 
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie C}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Soit $h$ la fonction définie sur l'intervalle I par 

%\[h(x) = \dfrac{1}{2}(\ln x)^2.\]
 
%Calculer $h^{\prime}(x)$.
$h$ produit de fonctions dérivables sur I est dérivable sur I et 

$h^{\prime}(x) = \dfrac{1}{2} \times 2 \times \ln x \times \dfrac{1}{x} = \dfrac{\ln x}{x}$.
\item %En déduire que $\displaystyle\int_{2}^{\text{e}} \dfrac{\ln x}{x}\:\text{d}x = \dfrac{1}{2}\left[1 - (\ln 2)^2\right]$.
On vient de démontrer que $h$ est une primitive de $\dfrac{\ln x}{x}$ sur I donc en particulier sur l'intervalle $[2~;~\text{e}]$ et 

$\displaystyle\int_{2}^{\text{e}} \dfrac{\ln x}{x}\:\text{d}x = \left[h(x)\right]_{2}^{\text{e}} = h(\text{e}) - h(0) = \dfrac{1}{2}(\ln \text{e})^2 - \left(\dfrac{1}{2}(\ln 2)^2 \right) =  \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}(\ln 2)^2 = \dfrac{1}{2}\left[1 - (\ln 2)^2\right]$.
\item %On considère l'aire $\mathcal{A}$ de la partie du plan délimitée par la courbe $\mathcal{C}$, son asymptote $\Delta$ et les droites d'équation $x = 2$ et $x = \text{e}$. 

%Déduire de la question précédente une valeur approchée de $\mathcal{A}$ en centimètres carrés à $10^{-2}$ près.
On a vu que pour $x > 1$, la courbe  $\mathcal{C}$ est au dessus de son asymptote $\Delta$. On a donc l'aire $\mathcal{A}$ qui est égale (en unités d'aire) à l'intégrale de la différence de  $f(x)$ et de $\dfrac{1}{2}x - 1$.

$\mathcal{A} = \displaystyle\int_{2}{\text{e}} \dfrac{\ln x}{x} + \dfrac{1}{2}x - 1- \left(\dfrac{1}{2}x - 1\right) = \displaystyle\int_{2}^{\text{e}} \dfrac{\ln x}{x}$, soit d'après la question précédente :

$\mathcal{A} = h(\text{e}) - h(2)  = \dfrac{1}{2}\left[1 - (\ln 2)^2\right]$ unités d'aire.

Or une unité d'aire vaut $4 \times 4 = 16$~cm$^2$

Donc $\mathcal{A} = 16 \times \dfrac{1}{2}\left[1 - (\ln 2)^2\right] = 8\left[1 - (\ln 2)^2\right]
 \approx 4,16$~cm$^2$.
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{\large Annexe : à rendre avec la copie }

\vspace{2cm}
\psset{unit=1.3cm}
\begin{pspicture}(-4,-3)(5,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-4,-3)(5,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange,gridwidth=0.2pt]
\pspolygon(-3,0)(-1,1.732)(-1,-1.732)
\pspolygon(0,1)(-1.732,3)(1.732,3)
\uput[ul](-3,0){A} \uput[ul](-1,1.732){B}\uput[dl](-1,-1.732){C}\rput(0.3,2.3){T}
\uput[dl](0,0){O}\uput[d](0.5,0){$\vect{u}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{v}$}
\uput[ul](1,0){A$'$} \uput[ul](3,1.732){B$'$}\uput[dl](3,-1.732){C$'$}
\pspolygon(1,0)(3,1.732)(3,-1.732)
\uput[ul](-1.732,3){S}
\end{pspicture}

\end{center}

\newpage
\begin{center}
\textbf{\large Figure du problème }

\psset{unit=4cm}
\begin{pspicture}(-0.2,-3)(3,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,-3)(3,2)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=4,gridwidth=0.3pt,subgridwidth=0.15pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,-3)(3,2)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.408}{3}{x ln x div 0.5 x mul add 1 sub}
\psplot{0}{2.665}{1.5 x mul 2 sub}
\psplot{0}{3}{0.5 x mul 1 sub}
\uput[u](2.8,0.78){$\mathcal{C}$}\uput[d](2.6,1.9){$D$}\uput[d](2.8,0.4){$\Delta$}
\psline[linewidth=1.5pt](2.71828,0)(2.71828,1)\rput{90}(2.758,0.15){$x = \text{e}$}
\psline[linewidth=1.5pt](2,0)(2,0.6)\rput{90}(2.05,0.5){$x = 2$}
\pscustom[fillstyle=vlines]{
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{2}{2.71828}{x ln x div 0.5 x mul add 1 sub}
\psline(2.71828,0.3591)(2,0)}
\end{pspicture}

\end{center}
\end{document}