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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P. M. E. P.}
\lhead{\small{Corrigé du baccalauréat STI Génie électronique, électrotechnique, optique}}
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small{juin 2007}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STI La Réunion juin 2007~ \decofourright\\Génie électronique, électrotechnique, optique}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  5 points}

\medskip

%Le plan $\mathcal{P}$ est rapporté au repère orthonormal direct \Ouv{} d'unité graphique 1~cm.

%On note i le nombre complexe de module $1$ et dont un argument est	$\dfrac{\pi}{2}.$
\begin{enumerate}
\item  %Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes l'équation:
%\[z^2 - 3z + 9 = 0.\]
$\Delta = 9 - 4 \times 9 = - 3 \times 9 = \left(3\sqrt{3}\text{i}\right)^2$.

L'équation a donc deux solutions complexes conjuguées :

\[\dfrac{3 + 3\text{i}\sqrt{3}}{2}\quad ; \quad \dfrac{3 - 3\text{i}\sqrt{3}}{2}.\]
\item  %On considère les points A et B du plan d'affixes respectives:
%\[z_{\text{A}} = \dfrac{3}{2} + \text{i}\dfrac{3\sqrt{3}}{2} \quad 	z_{\text{B}} = \dfrac{3}{2} - \text{i}\dfrac{3\sqrt{3}}{2}.\]
	\begin{enumerate}
		\item  %Déterminer le module et un argument des nombres complexes $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$, puis les écrire sous la forme $r\text{e}^{\text{i}\theta}$, où $r$ est un nombre réel strictement positif et $\theta$ un nombre réel compris entre $-\pi$ et $\pi$.
On a $\left|z_{\text{A}} \right|^2 = \left(\dfrac{3}{2} \right)^2 + \left(\dfrac{3\sqrt{3}}{2} \right)^2 = \dfrac{9}{4} + \dfrac{27}{4} = 9 = 3^2$. Donc $\left|z_{\text{A}} \right| = 3$.

On peut donc écrire $z_{\text{A}} = 3 \left(\dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) = 3 \left (\cos \frac{\pi}{3} + \text{i}\sin \frac{\pi}{3}\right) = 3\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$ (écriture exponentielle). Un argument de $z_{\text{A}}$ est $\dfrac{\pi}{3}$.

Comme $z_{\text{B}}$ est le conjugué de $z_{\text{A}}$ son module est égal à $3$ et un de ses arguments est $- \dfrac{\pi}{3}$. On a donc $3\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{3}}$
		\item  %Placer les points A et B dans le repère \Ouv.
Voir ci-dessous.
		\item  %Justifier que les points A et B sont symétriques par rapport à l'axe $\left(\text{O}~  ;~\vect{u}\right)$.
Les points A et B sont symétriques par rapport à l'axe $\left(\text{O}~  ;~\vect{u}\right)$ car les complexes $z_{\text{B}}$ et  $z_{\text{A}}$ sont conjugués.
	\end{enumerate}
\item  %On considère la rotation R de centre O et d'angle $- \dfrac{2\pi}{3}$ 	et $M$ un point du plan d'affixe $z$.

%On note $M'$ le point d'affixe $z'$ image du point $M$ d'affixe $z$ par cette rotation.
	\begin{enumerate}
		\item  %Exprimer $z'$ en fonction de $z$.
On sait que $z' = z\text{e}^{\text{i}\frac{-2\pi}{3}}$.
		\item  %Démontrer que le point B est l'image du point A par la rotation R.
		Cherchons l'image A$'$ du point A : $z_{\text{A}'} = z_{\text{A}}\text{e}^{\text{i}\frac{-2\pi}{3}} = 3\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}\text{e}^{\text{i}\frac{-2\pi}{3}} = 3\text{e}^{\text{i}\frac{-\pi}{3}} = z_{\text{B}}$.
		
On a bien B = $R$(A).
	\end{enumerate}
\item  %On considère les points C et D du plan $\mathcal{P}$, d'affixes respectives $z_{\text{C}} =  -3$ et 

%$z_{\text{D}}  = 4$.
	\begin{enumerate}
		\item  %Placer les points C et D sur le graphique précédent.
Voir plus bas.
		\item  %Calculer les distances OD, DC et AB.
OD = $ \left|z_{\text{D}}\right| = \sqrt{(4)^2} = 4$.

DC = $\sqrt{(-3 - 4)^2} = 7$ ;

AB $ = \sqrt{(3\sqrt{3})^2} = 3\sqrt{3}$. 
		\item  %On note I le milieu du segment [AB].
On a $z_{\text{I}} = \dfrac{1}{2} \left(z_{\text{A}} + z_{\text{B}} \right) = \dfrac{3}{2}.$		
%Calculer la distance IB et déduire la valeur exacte $\mathcal{A}_{1}$ de l'aire du triangle CBD.
IB $ = \sqrt{\left(- \dfrac{3}{2}\sqrt{3} \right)^2} = \dfrac{3}{2}\sqrt{3}$.

A et B étant symétriques autour de $\left(\text{O}~  ;~\vect{u}\right)$, le point I est sur cet axe et [BI] est hauteur du triangle CBD.

L'aire de ce triangle est donc égale à $\mathcal{A}_{1} = \dfrac{\text{CD} \times \text{BI}}{2} = \dfrac{7 \times \frac{3\sqrt{3}}{2}}{2} = \dfrac{21\sqrt{3}}{4}$.
		\item  %On note $\mathcal{A}_{2}$ l'aire du triangle AOD.
%Calculer la valeur du quotient $\dfrac{\mathcal{A}_{1}}{\mathcal{A}_{1}}$.
$\mathcal{A}_{2} = \dfrac{\text{OD}\times \text{AI}}{2} = \dfrac{4 \times \frac{3\sqrt{3}}{2}}{2} = 3\sqrt{3}$.

Donc $\dfrac{\mathcal{A}_{1}}{\mathcal{A}_{1}} = \dfrac{\dfrac{21\sqrt{3}}{4}}{3\sqrt{3}} = \dfrac{7}{4}$.

	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-3.5,-3)(4.5,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-3.5,-3)(4.5,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\vect{u}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{v}$}\uput[dl](0,0){O}
\psdots(1.5,2.598)(1.5,-2.598)(-3,0)(4,0)(1.5,0)%ABCDI
\uput[ur](1.5,2.598){A} \uput[dr](1.5,-2.598){B} \uput[ul](-3,0){C} \uput[dr](4,0){D} \uput[dr](1.5,0){I} 
\pspolygon(1.5,-2.598)(-3,0)(4,0)
\psline(1.5,2.598)(1.5,-2.598) 
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  5 points}

\medskip

%Un établissement est composé de deux sas, notés 1 et 2, et de six salles de travail, notées A, B, C, D, E et F. Les communications entre ces différentes salles se font par le moyen de $12$~portes représentées par le schéma suivant :

%\begin{center}
%\begin{pspicture}(9,5)
%\psframe(9,5)
%\psline(0,1.25)(1.5,1.25) \psline(2,1.25)(4.25,1.25) \psline(4.75,1.25)(7.25,1.25)\psline(7.75,1.25)(9,1.25)
%\psline(0,2.5)(1.5,2.5)\psline(2,2.5)(7.25,2.5)\psline(7.75,2.5)(9,2.5)
%\psline(0,3.75)(1.5,3.75)\psline(2,3.75)(4.25,3.75)\psline(4.75,3.75)(7.25,3.75)\psline(7.75,3.75)(9,3.75)
%\psline(2,1.05)(2,1.45) \psline(1.5,2.3)(1.5,2.7)\psline(1.5,3.55)(1.5,3.95)
%\psline(1.5,1.05)(1.5,1.45) \psline(2,3.55)(2,3.95)
%\psline(7.25,1.05)(7.25,1.45) \psline(7.75,1.05)(7.75,1.45) \psline(2,2.3)(2,2.7)
%\psline(4.25,1.05)(4.25,1.45) \psline(4.75,1.05)(4.75,1.45) 
%\psline(7.25,2.3)(7.25,2.7)\psline(7.75,2.3)(7.75,2.7)
%\psline(4.25,3.55)(4.25,3.95)\psline(4.75,3.55)(4.75,3.95)
%\psline(7.25,3.55)(7.25,3.95)\psline(7.75,3.55)(7.75,3.95)
%\psline(3,1.25)(3,1.75) \psline(2.8,1.75)(3.2,1.75)
%\psline(6,1.25)(6,1.75) \psline(5.8,1.75)(6.2,1.75)
%\psline(3,2.5)(3,3) \psline(2.8,3)(3.2,3)
%\psline(6,2.5)(6,3) \psline(5.8,3)(6.2,3)
%\psline(3,3.75)(3,3.25) \psline(2.8,3.25)(3.2,3.25)
%\psline(6,3.75)(6,3.25) \psline(5.8,3.25)(6.2,3.25)
%\psline(3,2.5)(3,2) \psline(2.8,2)(3.2,2)
%\psline(6,2.5)(6,2) \psline(5.8,2)(6.2,2)
%\rput(4.5,4.3){Sas 2} \rput(4.5,0.6){Sas 1} 
%\rput(1.75,1.8){A} \rput(4.5,1.8){B} \rput(7.5,1.8){C} 
%\rput(7.5,3.1){D} \rput(4.5,3.1){E} \rput(1.75,3.1){F} 
%\end{pspicture}
%\end{center}

% On remarquera que les salles B et E ne communiquent pas directement.\\

%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item  Un robot, rangé dans le sas 1, est programmé pour nettoyer exactement trois salles différentes parmi les salles A, B, C, D, E et F.
%\item  Le robot commence toujours son parcours par l'une des salles A, B ou C.
%\item  Dès que le robot entre dans une salle, il la nettoie systématiquement.
%\item  Il lui est impossible de franchir la même porte plus d'une fois ou de nettoyer deux fois la même salle.
%\item  Une fois les trois salles nettoyées, le robot ressort :
%	\begin{itemize}
%		\item Soit par le sas 1,
%		\item  Soit par le sas 2. Dans ce cas, il retourne plus tard dans le sas 1 par un couloir non représenté sur le schéma.
%	\end{itemize}
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}

%On appelle \og trajet\fg{} une suite ordonnée de 3 salles constituant un parcours possible pour le robot.

%\textbf{Exemples :}

%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item ABC et BCD sont des trajets.
%\item  CBA et ABC sont deux trajets différents.
%\item  ABE n'est pas un trajet (les salles B et E ne communiquent pas directement).
%\item  DEF n'est pas un trajet (le robot ne peut pas commencer par la salle D).
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate}
\item  %Déterminer les six trajets possibles (on pourra s'aider d'un arbre).
Les trajets possibles sont :

ABC  \quad AFE \quad BCD \quad BAF \quad CAB \quad CDE.

%Dans toute la suite, on admet que les six trajets obtenus sont équiprobables.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  %Calculer la probabilité $p_{1}$ de l'évènement \og la salle E est la troisième salle nettoyée par le robot \fg.
Il y a deux trajets qui finissent en E, donc $p_{1} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$.
		\item  %Calculer la probabilité $p_{2}$ de l'évènement \og  le robot sort par le sas 2 \fg.
Il y a 4 chemins finissant par le sas 2, donc $p_{2} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$.
	\end{enumerate}
\item  %Le tableau suivant donne le temps de nettoyage du robot dans chacune des salles en minutes :

%\medskip

%\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{2.5cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%Salles & A&B&C&D&E&F\\ \hline
%Temps de nettoyage du robot&20 min		&24 min&30 min&14 min&22 min &14 min\\ \hline
%\end{tabularx}

%\medskip

%On désigne par X la variable aléatoire qui, à chaque trajet, associe le temps de nettoyage des $3$ salles exprimé en minutes.

	\begin{enumerate}
		\item  %Déterminer les valeurs prises par la variable aléatoire X.
X peut prendre les valeurs : 56 \quad 58 \quad 66 \quad 68 \quad 74.
		\item  ~%Déterminer la loi de probabilité de X.
\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x_{i}$ & 56 & 58 & 66 & 68 & 74  \\ \hline
$p\left(X = x_{i}\right)$&1/6&1/6&1/6&1/6&2/6  \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
		\item  %Calculer l'espérance E(X) de la variable aléatoire X. Que représente ce nombre ?
E(X) $ = 56 \times \dfrac{1}{6}+ 58 \times \dfrac{1}{6} + 66 \times \dfrac{1}{6} + 68 \times \dfrac{1}{6} + 74 \times \dfrac{2}{6} = 66$~(min)

Cette espérance représente le temps moyen que mettra le robot pour nettoyer trois salles.
		\item  %Calculer la probabilité $p_{3}$ de l'évènement \og le robot effectue le nettoyage des $3$ salles en moins de $60$~minutes \fg{}?
On a temps inférieur à 60 minutes dans 2 cas sur 6, soit $p_{3} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$.
	\end{enumerate}
\item  %On appelle $\sigma$(X) l'écart type de la variable aléatoire X.

	\begin{enumerate}
		\item  %Déterminer la valeur arrondie au centième de $\sigma$(X).
		On a $\sigma(\text{X})^2 = \dfrac{(66 - 56)^2 + (60 - 58)^2 + (66 - 66)^2 + (68 - 66)^2 + 2 \times (74 - 66)^2}{6} = \dfrac{100 + 4 + 0 + 4 + 128}{6} = \dfrac{232}{6} = \dfrac{116}{3}$. Donc $\sigma(\text{X}) \approx 6,22$.
		\item  %Le robot effectue un parcours par jour, $7$ jours sur $7$. Soit $n$ un entier naturel non nul. On admet qu'il est acceptable d'utiliser le robot durant $n$ jours d'affilée sans révision si le nombre :
%\[n \times  \text{E}(\text{X}) + 1,5 \times  \sigma(\text{X}) \times  \sqrt{n}\]
%est inférieur à $500$~heures. Est-il acceptable de ne faire réviser le robot qu'une fois par an ?
En faisant travailler le robot 365 jours on a 
$365 \times  \text{E}(\text{X}) + 1,5 \times  \sigma(\text{X}) \times  \sqrt{365} = 365 \times  66 + 1,5 \times  6,22 \times  \sqrt{365} = \nombre{24268,2}$~(min) soit environ 407,5~h. C'est donc acceptable.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill  10 points}

\medskip

\textbf{Partie A : étude d'une fonction auxiliaire} \boldmath $g$ \unboldmath

\medskip

%On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0~  ;~ + \infty[$ par :
%	\[g(x) = 1 + x(1 + \ln x)\]
%où $\ln$ désigne le logarithme népérien.
\begin{enumerate}
\item  %On désigne par $g'$ la fonction dérivée de la fonction $g$.

%Montrer que pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $]0~  ;~ + \infty[$, on a :
%\[g'(x) = 2 + \ln x.\]
Sur $]0~  ;~ + \infty[,~g$ produit de fonctions dérivables est dérivable et :

$g'(x) = 1 + \ln x + x\times \dfrac{1}{x} = 1 + \ln x + 1 = 2 + \ln x$.
\item  %Étudier le signe de $g'(x)$ sur l'intervalle $]0~  ;~ + \infty[$.
$2 + \ln x > 0 \iff \ln x > -2 \iff \ln x > \ln \text{e}^{-2} \iff x > \text{e}^{-2} $, par croissance de la fonction logarithme népérien.

De m\^eme $2 + \ln x < 0 \iff x < \text{e}^{-2}$.
%En déduire les variations de la fonction $g$ sur cet intervalle.
Conclusion : sur $\left]0~;~\text{e}^{-2}\right[, g'(x) > 0 \Rightarrow g$ est décroissante ;

$\left]\text{e}^{-2}\right~;~+ \infty[, g'(x) < 0 \Rightarrow g$ est croissante.
\item  %Calculer la valeur exacte du minimum de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0~  ;~ + \infty[$, puis en donner la valeur décimale arrondie au dixième.
Le minimum de $g$ est donc $g\left(\text{e}^{-2} \right) = 1 + \text{e}^{-2}\left(1 + \ln \text{e}^{-2} \right) = 1 + \text{e}^{-2}(1 - 2) = 1 - \text{e}^{-2}$.
\item  %En déduire le signe de $g(x)$ sur l'intervalle $]0~  ;~ + \infty[$.
Comme $1 - \text{e}^{-2} \approx 0,86 > 0$, on en déduit que la fonction $g$ est positive sur $]0~  ;~ + \infty[$.
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{Partie B : étude de la fonction} \boldmath $f$ \unboldmath

\medskip

%Le plan $\mathcal{P}$ est rapporté au repère orthonormal \Oij {} d'unité graphique $2$~cm.

%On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~ ;~+ \infty[$ par
%\[f(x) = (x + 1)\ln x\]
%et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan $\mathcal{P}$.
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$ ?
On a $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} x = \displaystyle\lim_{x \to + \infty} = + \infty$, on peut en conclure que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$.
		\item  %Déterminer la limite de la fonction $f$ en $0$. Donner une interprétation graphique du résultat.
$f(x)$ peut s'écrire : $f(x) = x \ln x + \ln x$.

On sait que $\displaystyle\lim_{x \to 0} x \ln x = 0$ ; comme $\displaystyle\lim_{x \to 0} \ln x = - \infty$, on peut en conclure que $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = - \infty$.

Géométriquement ceci montre que l'axe des ordonnées est asymptote verticale à $\mathcal{C}$ au voisinage de $0$.
	\end{enumerate}
\item  %On désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.
	\begin{enumerate}
		\item  %Montrer que, pour tout $x$ strictement positif,
%	\[f'(x) = \dfrac{g(x)}{x}\]
$f$ produit de fonctions dérivables sur $]0~ ;~+ \infty[$ est dérivable sur cet intervalle et 

$f'(x) = \ln x + (x + 1) \times \dfrac{1}{x} = \dfrac{x \ln x + x + 1}{x} = \dfrac{1 + x(1 + \ln x)}{2} = \dfrac{g(x)}{x}$.
		\item %En utilisant le résultat obtenu dans la partie A, question 4, dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
On a vu partie A, question 4 que $g(x) > 0$ sur $]0~ ;~+ \infty[$ ; donc $f'(x) > 0$ sur $]0~ ;~+ \infty[$ et la fonction $f$ est croissante sur cet intervalle. D'o\`u le tableau de variations :

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(6,2.5)
\psframe(6,2.5) \psline(0,2)(6,2) \psline(2,0)(2,2.5)\psline(2.1,0)(2.1,2)
\uput[u](1,2){$x$} \uput[u](2.1,2){$0$} \uput[u](5.6,2){$+ \infty$}
\rput(1,1){$f(x)$} \uput[u](2.4,0){$- \infty$}\uput[d](5.6,2){$+ \infty$}
\psline{->}(2.7,0.3)(5.3,1.7)
 \end{pspicture}
\end{center}

\medskip

	\end{enumerate}
\item %Déterminer les coordonnées du point d'intersection A de la courbe $\mathcal{C}$ avec l'axe des abscisses.
Il faut résoudre dans $]0~ ;~+ \infty[$, l'équation $f(x) = 0 \iff (x + 1)\ln x \iff \left\{\begin{array}{l c l}
x + 1&=&0\\
\ln x&=&0
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
x &=&- 1\\
 x&=&1
\end{array}\right.$ 

Seul $1 \in ]0~ ;~+ \infty[$, donc A(1~;~0).
\item %Montrer que l'équation $f(x) =  1$ admet une solution unique, notée $\alpha$, dans l'intervalle [1 ; 2].
La fonction $f$ est croissante sur [1~;~2], $f(1) = 0$ et f(2) = 3\ln 2 \approx 2,08 > 1.

Il existe donc un unique réel $\alpha \in [1~;~2]$, tel que $f(\alpha) = 1$.

%Donner la valeur décimale arrondie au dixième du nombre réel $\alpha$.
La calculatrice donne $f(1,4) \approx 0,8$ et $f(1,5) \approx 1,01$

Puis $f(1,49) \approx 0,993$ et $f(1,50) \approx 1,013$.

Conclusion $\alpha \approx 1,5$ à un dixième près.
\item %Tracer dans le plan $\mathcal{P}$ la courbe représentative de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~e].
Voir à la fin
\end{enumerate}
	
\medskip

\textbf{Partie C :  calcul d'une aire}

\medskip

%On considère la fonction $F$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par:
%\[F(x) = \left(\dfrac{x^2}{2} +x\right)(\ln x - 1) + \dfrac{x^2}{4}.\]
\begin{enumerate}
\item  %Montrer que la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
Sur $]0~;~+ \infty[,~F$ est dérivable et 

$F'(x) = (x + 1)(\ln x - 1) + \left(\dfrac{x^2}{2} +x\right)\times \dfrac{1}{x} + \dfrac{2x}{4} = x\ln x - x + \ln x - 1 + \dfrac{x}{2} + 1 + \dfrac{x}{2} = x\ln x  + \ln x = (x + 1)\ln x = f(x)$.

Donc $F$ est une primitive de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$
\item
	\begin{enumerate}
		\item  %Hachurer, sur le graphique obtenu dans la partie B, la partie $\mathcal{E}$ du plan, limitée par la courbe représentative de $f$, l'axe des abscisses, et les droites d'équations respectives $x = 1$ et $x = \text{e}$.
Voir plus bas.
		\item  %Déterminer la valeur exacte de l'aire de la partie $\mathcal{E}$ en cm$^2$.
On a vu que $x \geqslant 1 \Rightarrow f(x) \geqslant 0$. Donc l'aire, en unité d'aire de la partie $\mathcal{E}$ est égale à l'intégrale :

$\displaystyle\int_{1}^{\text{e}} f(x)\:\text{d}x = \left[ F(x)\right]_{1}^{\text{e}} = F(\text{e}) - F(1) = \left(\dfrac{\text{e}^2}{2} +\text{e}\right)(\ln \text{e} - 1) + \dfrac{\text{e}^2}{4} - \left(\left(\dfrac{1^2}{2} + 1\right)(\ln 1 - 1) + \dfrac{1^2}{4} \right) = \dfrac{\text{e}^2}{4} + \dfrac{3}{2} - \dfrac{1}{4}  = \dfrac{5}{4} + \dfrac{\text{e}^2}{4} = \dfrac{5 + \text{e}^2}{4}$.~(u. a.)

Or l'unité graphique est égale à $2 \times 2 = 4$~cm$^2$. Donc l'aire de la partie $\mathcal{E}$ est égale à :

$4 \times \dfrac{5 + \text{e}^2}{4} = 5 + \text{e}^2$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\psset{unit=2cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-0.25,-4)(5,4)
\pscustom[fillstyle=vlines]{
\psplot[linecolor=blue,plotpoints]{1}{2.71828}{x ln x 1 add mul}
\psline(2.71828,0)(1,0)}
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.25,-4)(5,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\uput[dl](0,0){O}
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.25pt,gridcolor=lightgray](0,0)(5,4)
\psline(2.71828,0)(2.71828,3.71828)
\psplot[linecolor=blue,plotpoints]{0.02}{2.835}{x ln x 1 add mul}
\uput[r](0.1,-3){$(\mathcal{C})$} \rput(2,0.85){$\mathcal{E}$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}