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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P. M. E. P.}
\lhead{\small{Baccalauréat STI Génie électronique, électrotechnique, optique}}
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small{juin 2007}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat STI La Réunion juin 2007~\decofourright\\Génie électronique, électrotechnique, optique}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  5 points}

\medskip
 
Le plan $\mathcal{P}$ est rapporté au repère orthonormal direct \Ouv{} d'unité graphique 1~cm.

On note i le nombre complexe de module $1$ et dont un argument est	$\dfrac{\pi}{2}.$

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes l'équation:

\[z^2 - 3z + 9 = 0.\]

\item  On considère les points A et B du plan d'affixes respectives:

\[z_{\text{A}} = \dfrac{3}{2} + \text{i}\dfrac{3\sqrt{3}}{2} \quad 	z_{\text{B}} = \dfrac{3}{2} - \text{i}\dfrac{3\sqrt{3}}{2}.\]

	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer le module et un argument des nombres complexes $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$, puis les écrire sous la forme $r\text{e}^{\text{i}\theta}$, où $r$ est un nombre réel strictement positif et $\theta$ un nombre réel compris entre $-\pi$ et $\pi$.
		\item  Placer les points A et B dans le repère \Ouv.
		\item  Justifier que les points A et B sont symétriques par rapport à l'axe $\left(\text{O}~  ;~\vect{u}\right)$.
	\end{enumerate}
\item  On considère la rotation R de centre O et d'angle $- \dfrac{2\pi}{3}$ 	et $M$ un point du plan d'affixe $z$.

On note $M'$ le point d'affixe $z'$ image du point $M$ d'affixe $z$ par cette rotation.
	\begin{enumerate}
		\item  Exprimer $z'$ en fonction de $z$.
		\item  Démontrer que le point B est l'image du point A par la rotation R.
	\end{enumerate}
\item  On considère les points C et D du plan $\mathcal{P}$, d'affixes respectives $z_{\text{C}} =  -3$ et \\$z_{\text{D}}  = 4$.
	\begin{enumerate}
		\item  Placer les points C et D sur le graphique précédent.
		\item  Calculer les distances OD, DC et AB.
		\item  On note I le milieu du segment [AH].
		
Calculer la distance IB et déduire la valeur exacte $\mathcal{A}_{1}$ de l'aire du triangle CBD.
		\item  On note $\mathcal{A}_{2}$ l'aire du triangle AOD.
Calculer la valeur du quotient $\dfrac{\mathcal{A}_{1}}{\mathcal{A}_{2}}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  5 points}

\medskip

Un établissement est composé de deux sas, notés 1 et 2, et de six salles de travail, notées A, B, C, D, E et F. Les communications entre ces différentes salles se font par le moyen de $12$~portes représentées par le schéma suivant :

\begin{center}
\begin{pspicture}(9,5)
\psframe(9,5)
\psline(0,1.25)(1.5,1.25) \psline(2,1.25)(4.25,1.25) \psline(4.75,1.25)(7.25,1.25)\psline(7.75,1.25)(9,1.25)
\psline(0,2.5)(1.5,2.5)\psline(2,2.5)(7.25,2.5)\psline(7.75,2.5)(9,2.5)
\psline(0,3.75)(1.5,3.75)\psline(2,3.75)(4.25,3.75)\psline(4.75,3.75)(7.25,3.75)\psline(7.75,3.75)(9,3.75)
\psline(2,1.05)(2,1.45) \psline(1.5,2.3)(1.5,2.7)\psline(1.5,3.55)(1.5,3.95)
\psline(1.5,1.05)(1.5,1.45) \psline(2,3.55)(2,3.95)
\psline(7.25,1.05)(7.25,1.45) \psline(7.75,1.05)(7.75,1.45) \psline(2,2.3)(2,2.7)
\psline(4.25,1.05)(4.25,1.45) \psline(4.75,1.05)(4.75,1.45) 
\psline(7.25,2.3)(7.25,2.7)\psline(7.75,2.3)(7.75,2.7)
\psline(4.25,3.55)(4.25,3.95)\psline(4.75,3.55)(4.75,3.95)
\psline(7.25,3.55)(7.25,3.95)\psline(7.75,3.55)(7.75,3.95)
\psline(3,1.25)(3,1.75) \psline(2.8,1.75)(3.2,1.75)
\psline(6,1.25)(6,1.75) \psline(5.8,1.75)(6.2,1.75)
\psline(3,2.5)(3,3) \psline(2.8,3)(3.2,3)
\psline(6,2.5)(6,3) \psline(5.8,3)(6.2,3)
\psline(3,3.75)(3,3.25) \psline(2.8,3.25)(3.2,3.25)
\psline(6,3.75)(6,3.25) \psline(5.8,3.25)(6.2,3.25)
\psline(3,2.5)(3,2) \psline(2.8,2)(3.2,2)
\psline(6,2.5)(6,2) \psline(5.8,2)(6.2,2)
\rput(4.5,4.3){Sas 2} \rput(4.5,0.6){Sas 1} 
\rput(1.75,1.8){A} \rput(4.5,1.8){B} \rput(7.5,1.8){C} 
\rput(7.5,3.1){D} \rput(4.5,3.1){E} \rput(1.75,3.1){F} 
\end{pspicture}
\end{center}

On remarquera que les salles B et E ne communiquent pas directement.

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item  Un robot, rangé dans le sas 1, est programmé pour nettoyer exactement trois salles différentes parmi les salles A, B, C, D, E et F.
\item  Le robot commence toujours son parcours par l'une des salles A, B ou C.
\item  Dès que le robot entre dans une salle, il la nettoie systématiquement.
\item  Il lui est impossible de franchir la même porte plus d'une fois ou de nettoyer deux fois la même salle.
\item  Une fois les trois salles nettoyées, le robot ressort :
	\begin{itemize}
		\item Soit par le sas 1,
		\item Soit par le sas 2. Dans ce cas, il retourne plus tard dans le sas 1 par un couloir non représenté sur le schéma.
	\end{itemize}
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On appelle \og trajet\fg{} une suite ordonnée de 3 salles constituant un parcours possible pour le robot.

\textbf{Exemples :}

\begin{itemize}
\item ABC et BCD sont des trajets.
\item CBA et ABC sont deux trajets différents.
\item ABE n'est pas un trajet (les salles B et E ne communiquent pas directement).
\item  DEF n'est pas un trajet (le robot ne peut pas commencer par la salle D).
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Déterminer les six trajets possibles (on pourra s'aider d'un arbre).\\
Dans toute la suite, on admet que les six trajets obtenus sont équiprobables.
\item
  \begin{enumerate}
		\item  Calculer la probabilité $p_{1}$ de l'évènement \og la salle E est la troisième salle nettoyée par le robot \fg.
		\item  Calculer la probabilité $p_{2}$ de l'évènement \og  le robot sort par le sas 2 \fg.
	\end{enumerate}
\item  Le tableau suivant donne le temps de nettoyage du robot dans chacune des salles en minutes :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{2.5cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Salles & A&B&C&D&E&F\\ \hline
Temps de nettoyage du robot&20 min		&24 min&30 min&14 min&22 min &14 min\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

On désigne par X la variable aléatoire qui, à chaque trajet, associe le temps de nettoyage des $3$ salles exprimé en minutes.

	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer les valeurs prises par la variable aléatoire X.
		\item  Déterminer la loi de probabilité de X.
		\item  Calculer l'espérance E(X) de la variable aléatoire X. Que représente ce nombre ?
		\item  Calculer la probabilité $p_{3}$ de l'évènement \og le robot effectue le nettoyage des $3$ salles en moins de $60$~minutes \fg{}?
	\end{enumerate}
\item  On appelle $\sigma$(X) l'écart type de la variable aléatoire X.
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la valeur arrondie au centième de $\sigma$(X)
		\item  Le robot effectue un parcours par jour, $7$ jours sur $7$. Soit $n$ un entier naturel non nul. On admet qu'il est acceptable d'utiliser le robot durant $n$ jours d'affilée sans révision si le nombre :
		
\[n \times  \text{E}(\text{X}) + 1,5 \times  \sigma(\text{X}) \times  \sqrt{n}\]

est inférieur à $500$~heures. Est-il acceptable de ne faire réviser le robot qu'une fois par an ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill  10 points}

\medskip

\textbf{Partie A : étude d'une fonction auxiliaire}\boldmath $g$ \unboldmath

\medskip

On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par :

\[g(x) = 1 + x(1 + \ln x)\]
	
où $\ln$ désigne le logarithme népérien.
\begin{enumerate}
\item  On désigne par $g'$ la fonction dérivée de la fonction $g$.

Montrer que pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $]0~  ;~ + \infty[$, on a :

\[g'(x) = 2 + \ln x.\]

\item  Étudier le signe de $g'(x)$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.

En déduire les variations de la fonction $g$ sur cet intervalle.
\item  Calculer la valeur exacte du minimum de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$, puis en donner la valeur décimale arrondie au dixième.
\item  En déduire le signe de $g(x)$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie B : étude de la fonction} \boldmath $f$ \unboldmath

\medskip

Le plan $\mathcal{P}$ est rapporté au repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique $2$~cm.

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par

\[f(x) = (x+1)\ln x\]

et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan $\mathcal{P}$.
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$ ?
		\item  Déterminer la limite de la fonction $f$ en $0$. Donner une interprétation graphique du résultat.
	\end{enumerate}
\item  On désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que, pour tout $x$ strictement positif,

	\[f'(x) = \dfrac{g(x)}{x}\]
	
		\item En utilisant le résultat obtenu dans la partie A, question 4, dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
	\end{enumerate}
\item Déterminer les coordonnées du point d'intersection A de la courbe $\mathcal{C}$ avec l'axe des abscisses.
\item Montrer que l'équation $f(x) =  1$ admet une solution unique, notée $\alpha$, dans l'intervalle [1~;~2].

Donner la valeur décimale arrondie au dixième du nombre réel $\alpha$.
\item Tracer dans le plan $\mathcal{P}$ la courbe représentative de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~e].
\end{enumerate}
	
\bigskip

\textbf{Partie C :  calcul d'une aire}

\medskip

On considère la fonction $F$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par:
\[F(x) = \left(\dfrac{x^2}{2} +x\right)(\ln x - 1) + \dfrac{x^2}{4}.\]
\begin{enumerate}
\item  Montrer que la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Hachurer, sur le graphique obtenu dans la partie B, la partie $\mathcal{E}$ du plan, limitée par la courbe représentative de $f$, l'axe des abscisses, et les droites d'équations respectives $x = 1$ et $x = \text{e}$.
		\item  Déterminer la valeur exacte de l'aire de la partie $\mathcal{E}$ en cm$^2$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}