\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage UTF8
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{textcomp}
% Tapuscrit Denis Vergès
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{pstricks,pst-node,pst-eucl,pst-plot,pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\setlength{\textheight}{23,5cm}
\setlength{\voffset}{-1,5cm}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\def\e{\text{e}}
\usepackage{siunitx}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small A. P. M. E. P.}
\rhead{\small Baccalauréat  STI Génie électronique, électrotechnique, optique}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{21 juin 2011}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STI Métropole juin 2011~\decofourright\\ Génie électronique,  électrotechnique,  optique\\ }}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

%Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé $\orthouv$ d'unité
%graphique 2~cm.
%
%On désigne par $\num{i}$ le nombre complexe de module $1$ et
%d'argument $\frac{\pi}{2}$.

\begin{enumerate}
\item %Résoudre dans $\C$ l'équation : $z^2 -2z\sqrt{2} + 4 = 0$.
Équation  $z^2 - 2z\sqrt{2} + 4 = 0$ : $\Delta = \left(- 2\sqrt{2} \right)^2 - 4 \times 4 = 8 - 16 = - 8 = \left(2\text{i}\sqrt{2} \right)^2 < 0$.

L'équation a donc deux solutions complexes conjuguées : 

$\dfrac{2\sqrt{2} + 2\text{i}\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} + \text{i}\sqrt{2}$ et $\sqrt{2} - \text{i}\sqrt{2}$.

\[S = \left\{\sqrt{2} + \text{i}\sqrt{2}~;~\sqrt{2} - \text{i}\sqrt{2}.  \right\}\]
\item %On considère les deux points $A$ et $B$ d'affixes respectives $z_A = \num[parse-numbers=false]{\sqrt{2}+i\sqrt{2}}$ et $z_B  =\num[parse-numbers=false]{\sqrt{2}-i\sqrt{2}}$.
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer le module et un argument de $z_A$ et $z_B$.
On a $\left |z_{\text{A}} \right|^2 = 2 + 2 = 4 = 2^2 \Rightarrow \left |z_{\text{A}} \right| = 2$.

D'où $z_{\text{A}} = 2\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$. On reconnaît le cosinus et le sinus de $\frac{\pi}{4}$.

Un argument de $z_{\text{A}}$ est donc $\dfrac{\pi}{4}$.

Comme $z_{\text{B}} = \overline{z_{\text{A}}}$, on en déduit que $\left |z_{\text{B}} \right| = 2$ et un argument de $z_{\text{B}}$ est $- \dfrac{\pi}{4}$.
		\item %En déduire la forme exponentielle de $z_A$.
		D'après la question précédente $z_{\text{A}} = 2\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$.
		\item %Placer les points $A$ et $B$ dans le plan complexe de façon précise. On laissera les traits de construction.
	\end{enumerate}
\item On désigne par $R$ la transformation du plan complexe qui, à  tout point $M$ d'affixe $z$, fait correspondre le point $M'$  d'affixe $z'$ telle que $z'= z\num[parse-numbers=false]{\e^{-i\frac{\pi}{12}}}$.
	\begin{enumerate}
		\item Indiquer la nature de la transformation $R$ et préciser ses    éléments caractéristiques.
		\item On nomme $C$ l'image de $A$ par $R$.

Déterminer la forme exponentielle de $z_C$ du point $C$, puis sa forme algébrique.
		\item Placer le point $C$ sur le graphique.
	\end{enumerate}
\item Soit $D$ l'image du point $B$ par la translation $T$ de vecteur
  d'affixe $-2\sqrt{2}$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer l'affixe $z_D$ du point $D$.
		\item Placer $D$ sur le graphique.
			\item Quelle est la nature du triangle $ACD$ ? Justifier votre réponses.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
      \begin{figure}[!h]
        \centering
        \begin{pspicture}(-6,-6)(6,6)
          \psset%
          {%
            xunit=2,%
            yunit=2,%
            algebraic,%
          }% 
          \psaxes%
          [%
          Dx=1,%
          Dy=1,%
          ysubticks=4,%
          xsubticks=4,%
          labelsep=-0.5cm,%          
          xlabelPos=axis,%
          ylabelPos=axis,%
          subticksize=1,%
          xticksize=-3 3,%
          yticksize=-3 3,%
          tickcolor=lightgray,%
          ]%
          {->}(0,0)(-3,-3)(3.3,3.3)%[$x$,-90][$y$,180]
          \pstGeonode[PosAngle=-135](0,0){O} 
          \pstGeonode[PosAngle=90,PointName=none,PointSymbol=none](2,0){a} 
          \pstGeonode[PosAngle=90,PointName=none,PointSymbol=none](2,2){b} 
          \pstCircleOA[linestyle=dotted]{O}{a}
          \pstLineAB[nodesepB=5ex]{O}{b}
          \pstInterLC[PointNameA=none,PointSymbolA=none]{O}{b}{O}{a}{c}{A}
          \pstRotation[RotAngle=-90,PosAngle=0]{O}{A}[B]
          \pstRotation[RotAngle=-15]{O}{A}[C]
          \pstGeonode[PosAngle=90,PointName=none,PointSymbol=none](1,0){d} 
          \pstTranslation[DistCoef=-2.828]{O}{d}{B}[D]
          \pspolygon(A)(D)(C)
        \end{pspicture}
        \caption{}\label{fig_STIGE_11A}
        \end{figure}
%\begin{Corrige}
%  \begin{enumerate}
%  \item Le discriminant vaut $-8 <0$, il y a donc deux racines
%    complexes conjuguées :
%    \[
%    z_A = \num[parse-numbers=false]{\frac{2\sqrt{2}-i\sqrt{2}}{2}} 
%    = \num[parse-numbers=false]{\sqrt{2}-i\sqrt{2}}
%    \]
%    On en déduit $z_B = \num[parse-numbers=false]{\sqrt{2}+i\sqrt{2}}$.
%  \item
%    \begin{enumerate}
%    \item $|z_A| = |z_B| = \sqrt{2+2} = 2$.
%
%      Un argument de $z_A = \frac{\pi}{4}$ et donc un argument de $z_B
%      = - \frac{\pi}{4}$.
%    \item On en déduit que $z_A =
%      \num[parse-numbers=false]{\e^{i\frac{\pi}{4}}}$.
%    \item On obtient la figure \ref{fig_STIGE_11A}.
%      \begin{figure}[!h]
%        \centering
%        \begin{pspicture}(-6,-6)(6,6)
%          \psset%
%          {%
%            xunit=2,%
%            yunit=2,%
%            algebraic,%
%          }% 
%          \psaxes%
%          [%
%          Dx=1,%
%          Dy=1,%
%          ysubticks=4,%
%          xsubticks=4,%
%          labelsep=-0.5cm,%
%          xlabelPos=axis,%
%          ylabelPos=axis,%
%          subticksize=1,%
%          xticksize=-3 3,%
%          yticksize=-3 3,%
%          tickcolor=lightgray,%
%          ]%
%          {->}(0,0)(-3,-3)(3.3,3.3)%[$x$,-90][$y$,180]
%          \pstGeonode[PosAngle=-135](0,0){O} 
%          \pstGeonode[PosAngle=90,PointName=none,PointSymbol=none](2,0){a} 
%          \pstGeonode[PosAngle=90,PointName=none,PointSymbol=none](2,2){b} 
%          \pstCircleOA[linestyle=dotted]{O}{a}
%          \pstLineAB[nodesepB=5ex]{O}{b}
%          \pstInterLC[PointNameA=none,PointSymbolA=none]{O}{b}{O}{a}{c}{A}
%          \pstRotation[RotAngle=-90,PosAngle=0]{O}{A}[B]
%          \pstRotation[RotAngle=-15]{O}{A}[C]
%          \pstGeonode[PosAngle=90,PointName=none,PointSymbol=none](1,0){d} 
%          \pstTranslation[DistCoef=-2.828]{O}{d}{B}[D]
%          \pspolygon(A)(D)(C)
%        \end{pspicture}
%        \caption{}\label{fig_STIGE_11A}
%      \end{figure} 
%    \end{enumerate}
%  \item
%    \begin{enumerate}
%    \item $R$ est la rotation de centre $O$ et d'angle $-\frac{\pi}{12}$.
%    \item $z_C = z_A\num[parse-numbers=false]{\e^{i\frac{\pi}{12}}} =
%      2
%      \num[parse-numbers=false]{\e^{i\frac{\pi}{4}-i\frac{\pi}{12}}}=
%      2\num[parse-numbers=false]{\e^{i\frac{2\pi}{12}}} = 
%      2\num[parse-numbers=false]{\e^{i\frac{\pi}{6}}}
%      =\trigo{2}{\frac{\pi}{6}}
%      = 2 \left
%        (\num[parse-numbers=false]{\frac{\sqrt{3}}{2}}+i\frac{1}{2}
%      \right)
%      = \num[parse-numbers=false]{\sqrt{3}+i}$.
%    \item Voir la figure.
%    \end{enumerate}
%  \item
%    \begin{enumerate}
%    \item $z_D = z_B -2\sqrt{2} = \num[parse-numbers=false]{-i\sqrt{2}}$.
%    \item Voir la figure.
%    \item Le triangle $ACD$ est un triangle rectangle en $C$.
%      En effet les points $A$ et $D$ sont diamétralement opposé, car
%      $z_A$ et $z_D$ sont opposés, $C$ est un point du cercle, donc
%      $ACD$ est un triangle rectangle en $C$.
%    \end{enumerate}
%
%  \end{enumerate}
%\end{Corrige}
%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "bac_11"
%%% End: 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

\emph{Les différentes questions sont indépendantes les unes des
  autres}.

\emph{Dans ce questionnaire à choix multiples, aucune justification
  n'est demandée}.

\emph{Pour chacune des questions, une seule des réponses proposées est
correcte}.

\emph{Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse ou une
absence de réponses n'enlève ni ne rapporte aucun point}.

\emph{On notera sur la copie le numéro de la question et on recopiera
  la réponse choisie}.

\begin{enumerate}
\item Les solutions de l'équation différentielle $y' = 2y$ sont les
  fonctions $f$ définies sur $\R$ par :
  \begin{center}
    \begin{tabular}{|*{3}{>{$}c<{$}|}}
      \hline
      f(x) = k\e^{0,5x} \text{ avec $k$ réel} &
      f(x) = k\e^{-2x} \text{ avec $k$ réel} &
      f(x) = k\e^{2x} \text{ avec $k$ réel} \\
      \hline
    \end{tabular}
  \end{center}
\item À l'occasion des Jeux Olympiques de Pékin, \og La Française des
  Loteries \fg{} a vendu des tickets à gratter au prix de $5$ euros
  pièces.

  Parmi les $\num{750000}$ tickets vendus :
  \begin{itemize}
  \item $\np{152250}$ tickets permettent de gagner un lot de
    $5$~\euro{} ;
  \item $\np{18050}$ tickets permettent de gagner un lot de
    $15$~\euro{} ;
  \item $\np{6000}$ tickets permettent de gagner un lot de
    $45$~\euro{} ;
  \item $\num{90}$ tickets permettent de gagner un lot de
    $\num{1000}$~\euro{} ;
  \item $\num{10}$ tickets permettent de gagner un lot de
    $\np{10000}$~\euro{} ;
  \end{itemize}
  Le gain d'un joueur est la différence entre la valeur du lot gagné
  et le prix d'achat du ticket. Le gain peut-être négatif ou positif.
  \begin{enumerate}
  \item Tom a acheté un ticket à gratter.

La probabilité qu'il ait gagné de l'argent est égale à :
    \begin{center}
      \begin{tabular}{|*{3}{>{$}c<{$}|}}
        \hline
        \np{0,0322} & \np{0,2352} & 0,5 \\
        \hline
      \end{tabular}
    \end{center}
  \item On désigne par $X$ la variable aléatoire qui, à chaque ticket
    vendu, associe le gain du joueur. L'espérance mathématique de $X$
    arrondie si besoin au centième, est égale à :
        \begin{center}
      \begin{tabular}{|*{3}{>{$}c<{$}|}}
        \hline
        \np{15000}~\text{\euro} & 11,77~\text{\euro}{} & -3,01~\text{\euro}{} \\
        \hline
      \end{tabular}
    \end{center}
  \end{enumerate}
\item Une urne contient trois boules rouges notées $R_1$, $R_2$, $R_3$
  et une boule noire. On tire au hasard et successivement deux boules
  de l'urne.

  La probabilité que les deux boules tirées soient rouges est égale à
  $0,5$.

  Parmi les trois propositions suivantes, laquelle est correcte ?
  \begin{center}
    \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
      \hline
      \textbf{Proposition 1}
      
      Après avoir tiré la première boule, on l'a remise dans l'urne
      avant de tirer la deuxième.
      &
      \textbf{Proposition 2}

      Après avoir tiré la première boule, on ne l'a pas remise dans l'urne
      avant de tirer la deuxième.
      &
      \textbf{Proposition 3}
      
      Les deux types de tirage (avec et sans remise) donne le même
      résultat. \\
      \hline
    \end{tabularx}
  \end{center}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\medskip



Soit la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par 

\[f(x) = \dfrac{1+\ln(x)}{x}\]

et $\Gamma$ sa courbe représentative dans un
repère orthogonal $\ortho$.

Selon les questions, on pourra remarquer que $f(x)$ peut aussi
s'écrire $f(x) = \frac{1}{x}+\frac{\ln(x)}{x}$.

\Partie{Étude de la fonction $f$}
\begin{enumerate}
\item \emph{Dans cette question, on ne demande pas de justification
    mais des conjectures obtenues avec l'aide de la calculatrice}.

  Sur l'écran de la calculatrice, on fera apparaître la courbe $\Gamma$.
  \begin{enumerate}
  \item Faire un schéma reproduisant l'écran obtenu en précisant la
    fenêtre utilisée.
  \item À partir de la lecture de l'écran, conjecturer le tableau de
    variation de la fonction $f$.
  \end{enumerate}
\item \emph{Le but de cette question est de prouver les renseignements
  conjecturés et indiqués dans le tableau de variation de la question précédente}.
\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$ et montrer que $f'(x)$ est du signe de
  $-\ln(x)$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
\item En déduire les variations de la fonction $f$.
\item Calculer les limites de la fonction $f$ aux bornes de son
  intervalle de définition.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\Partie{quelques points particuliers}

On considère la portion de la courbe $\Gamma$ figurant sur la feuille
\textbf{ANNEXE, \emph{à rendre avec la copie}}.

$A$ est le point d'intersection de $\Gamma$ avec l'axe des
abscisses. $B$ est le point d'abscisse $\e^{0,5}$. $D$ est le point de
coordonnées $\left ( \e^{-0,5}\,;\, 0\right)$.
\begin{enumerate}
\item Justifier que l'abscisse du point $A$ est égale à $\e^{-1}$.
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même
    incomplète, ou d'initiative, même infructueuse, sera prise en
    compte pour l'évaluation}.

  Tracer la droite $(OB)$ sur le graphique de la feuille
  \textbf{ANNEXE, \emph{à rendre avec la copie}}.

  Cette droite semble tangente à la courbe $\Gamma$ au point
  $B$. Qu'en est-il ? Justifier la réponse.
\end{enumerate}

\begin{figure}[!p]
 \centering
 \begin{pspicture}(0,-7)(11,7)
   \psset%
   {%
     xunit=10,%
     yunit=5,%
     algebraic,%
   }% 
   \psclip%
   {\psframe[linestyle=none](0,-1.2)(1,1.2)}%
   {%
     % \pscustom
     % Aire sous une courbe
     % [%
     % fillstyle=solid,%
     % fillcolor=SandyBrown,%
     % ]%
     % {%
     % \psplot[plotpoints=250]{}{}{}%
     % \psline(,)(,)
     % }%
     \psplot[plotpoints=250]{0.1}{1}{(1+ln(x))/x}%
     \pstGeonode[PosAngle=90](0.367879,0){A}%
     \pstGeonode[PosAngle=90](0.60653,0){D}%
%     \pstGeonode[PosAngle=90](0.60653,0.82436){B}
%     \pstGeonode[PosAngle=90](0,0){O}
%     \psline(O)(B)
   }%
   \endpsclip% 
   \psaxes%
   [%
   Dx=1,%
   Dy=1,%
   ysubticks=10,%
   xsubticks=20,%
   labelsep=-0.5cm,%
   xlabelPos=axis,%
   ylabelPos=axis,%
   subticksize=1,%
   xticksize=-1.2 1.2,%
   yticksize=0 1,%
   tickcolor=lightgray,%
   ]%
   {->}(0,0)(0,-1.26)(1.06,1.3)[$x$,-90][$y$,180]
 \end{pspicture}
 \caption{\textbf{ANNEXE, \emph{à rendre avec la copie}}}\label{fig_STIGE_11C}
\end{figure}

\Partie{calcul d'aire}

On désigne par $\Delta_1$ le domaine du plan limité par l'axe des
abscisses, la courbe $\Gamma$ et les droites d'équation $x=\e^{-1}$ et
$x = \e^{-0,5}$.

On désigne par $\Delta_2$ le domaine du plan limité par l'axe des
abscisses, la portion de la courbe située entre les points $A$ et $B$ et
la droite $(OB)$.

\begin{enumerate}
\item Hachurer $\Delta_2$ sur la feuille annexe.
\item
  \begin{enumerate}
  \item Calculer, en unités d'aire, l'aire du triangle $OBD$.
  \item Donner, sans la calculer, une expression qui permet d'obtenir l'aire, en unité d'aire du domaine $\Delta_2$.
  \item En déduire, toujours sans la calculer, une expression qui   permet d'obtenir l'aire, en unités d'aire, du domaine $\Delta_2$.
  \end{enumerate}
\item Soit $g$ la fonction définie sur $\intervalleA$ par $g(x) =
  \frac{1}{2}\left ( \ln(x)\right) ^2 + \ln(x)$.
  \begin{enumerate}
  \item Vérifier que $g$ est une primitive de $f$ sur l'intervalle $\intervalleA$.
  \item En déduire l'aire de $\Delta_2$ en unités d'aire.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}