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% Merci à Marc Incamps pour le sujet
%% Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat STI  Génie électronique, électrotechnique, optique}%
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{14 juin 2011}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Polynésie 14 juin 2011~\decofourright\\Génie électronique, électrotechnique, optique}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  4,5 points}

\medskip
 
Dans un restaurant, chaque client peut composer son menu en choisissant une seule entrée, un seul plat et un seul dessert parmi ceux proposés dans la carte ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|}\hline 
\emph{Entrées}\\ 
Crudités (3 euros)\\ Salade du chef (7 euros)\\
\floweroneleft \floweroneright  \\
\emph{Plats}\\ 
Plat du jour (8 euros)\\
Rôti de b{\oe}uf (10 euros)\\
Filet de daurade (10 euros)\\
\floweroneleft \floweroneright   \\ 
\emph{Desserts}\\
Glace (2 euros)\\
Tartelette aux pommes (6 euros)\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

 
Dans la suite du problème, on suppose qu'un client compose son menu au hasard et on admet que tous les choix possibles sont équiprobables.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Combien de menus (entrée + plat + dessert) différents peut composer le client ? On représentera ces différentes possibilités à l'aide d'un arbre. 
\item Quelle est la probabilité que le menu composé comporte les crudités en entrée et une glace en dessert ? 
\item Quelle est la probabilité que ce client paye 19 euros? 
\item On appelle $X$ la variable aléatoire qui, à chaque menu, associe son prix en euros. 
	\begin{enumerate}
		\item Quelles sont les six valeurs prises par la variable aléatoire $X$? 
		\item Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$. 
		\item Calculer l'espérance E($X$) de la variable aléatoire $X$ (arrondir à $10^{-2}$ près).
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  5,5 points}

\medskip
 
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv{} d'unité graphique 2~centimètres. On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.
 
\begin{enumerate}
\item Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes l'équation : 

\[\left(z - \sqrt{2} - \text{i}\sqrt{2}\right)\left(z^2 + 2z\sqrt{3} + 4\right) = 0\]
 
\item  On considère les points A et B d'affixes respectives : $z_{\text{A}} = 2\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$ et $z_{\text{B}} = - \sqrt{3} + \text{i}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la forme algébrique de $z_{\text{A}}$. 
		\item Déterminer la forme exponentielle de $z_{\text{B}}$. 
		\item Placer les points A et B dans le repère \Ouv. 
		\item Montrer que B est l'image de A par une rotation de centre O dont on déterminera l'angle.
	\end{enumerate} 
\item  Soit D le point d'affixe $z_{\text{D}} = \left(\sqrt{2} - \sqrt{3}\right) + \text{i}\left(1 + \sqrt{2}\right)$. 
	\begin{enumerate}
		\item Placer le point D sur la figure et prouver que OADB est un losange. 
		\item Prouver que OADB n'est pas un carré.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill  10 points}

\medskip

\emph{Les parties B et C sont indépendantes de la partie A}

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
On considère l'équation différentielle notée 

\[\left(E_{1}\right)\:\: :\quad  y' - 2y = \dfrac{9}{2}\text{e}^x - 4,\]

 où $y$ désigne une  fonction de la variable $x$ définie et dérivable sur $\R$.
  
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle notée ($E$) : $y' - 2y = 0$. 
\item On pose, pour tout réel $x,\, f(x) = y(x) - \dfrac{9}{2}\text{e}^x + 2$, où $y$ est solution de l'équation ($E$). 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer, pour tout réel $x,\, f'(x) - 2f(x)$. En déduire que la fonction $f$ est solution de l'équation $\left(E_{1}\right)$.  
		\item Parmi les fonctions $f$ précédentes, déterminer celle qui vérifie 
		
$f\left[\ln\left(\dfrac{1}{2}\right)\right] = 0$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip

Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par :

\[f(x) =  \text{e}^{2x} - \dfrac{9}{2}\text{e}^x  + 2\]

Sur le graphique donné en annexe, on a tracé sa courbe représentative $\mathcal{C}_{f}$ dans un repère orthonormal d'unité graphique 2~centimètres.
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $-\infty$. 
\item En déduire que la courbe $\mathcal{C}_{f}$ admet une asymptote $\Delta$ dont on précisera une équation.
 
Tracer la droite $\Delta$ sur le graphique donné en annexe. 
\item Justifier que, pour tout réel $x,\, f(x) = \left(\text{e}^x - 4\right)\left(\text{e}^x - \dfrac{1}{2}\right)$. 
\item En déduire la limite de $f$ en $+ \infty$. 
\end{enumerate} 

\bigskip
 
\textbf{Partie C}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout réel $x,\, f'(x) = 2\text{e}^x\left(\text{e}^x - \dfrac{9}{4}\right)$. 
\item Étudier le signe de $f'(x)$, puis dresser le tableau complet des variations de la fonction $f$ (on calculera en particulier la valeur exacte de l'extremum). 
\item Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point d'abscisse $0$, puis tracer cette tangente $T$ sur le graphique donné en annexe. 
\item La courbe $\mathcal{C}_{f}$ et la droite $\Delta$ se coupent en un point A. 
	\begin{enumerate}
		\item Par simple lecture graphique, déterminer une valeur approchée de l'abscisse $x_{\text{A}}$ de ce point. 
		\item Résoudre par le calcul l'équation $f(x) = 2$. En déduire la valeur exacte de $x_{\text{A}}$. 
		\item Par lecture graphique, déterminer la position de la courbe $\mathcal{C}_{f}$ par rapport à la droite $\Delta$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
{\large \textbf{Annexe : à rendre avec la copie}}

\vspace{4cm}

\psset{unit=1.6cm} 
\begin{pspicture*}(-4.5,-3.5)(2.5,3.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-4.5,-3.5)(2.5,3.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange]
\uput[dl](0,0){O}
\uput[r](1.5,1.75){$\mathcal{C}_{f}$}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3.5}{1.6}{2.71828 x 2 mul exp 2.71828 x exp 4.5 mul sub 2 add}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{document}