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% Tapuscrit Denis Vergès
% Merci à Ousmane Patel pour le sujet
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat  STI Génie électronique, électrotechnique,  optique}%
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small{juin 2011}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STI La Réunion juin 2011~\decofourright\\ Génie électronique,  électrotechnique,  optique\\ }}

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Aucune justification n'est demandée. Pour chacune des questions, une seule des réponses proposées est exacte. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse ou une absence de réponse n'enlève ni ne rapporte aucun point.\\ 
%On notera sur la copie le numéro de la question suivie de la lettre correspondant à la réponse choisie.}
%
%\medskip
% 
%Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv.
% 
%On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

\begin{enumerate}
\item %Soit A et B deux points d'affixes respectives $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$. On sait que $\left|z_{\text{A}}\right| = \sqrt{3}$  et $\left|z_{\text{B}}\right| = 3$. On sait aussi qu'un argument $z_{\text{A}}$ est égal à  $\dfrac{\pi}{3}$ et qu'un argument de $z_{\text{B}}$ est égal à  $\dfrac{\pi}{4}$. 

%La forme exponentielle du produit $z_{\text{A}} \times z_{\text{B}}$ est : 
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
%\textbf{a.}\quad $3\text{e}^{\text{i}\frac{7\pi}{12}}$ &\textbf{b.}\quad $3\sqrt{3}\text{e}^{\text{i}\frac{7\pi}{12}}$ & \textbf{c.}\quad $3\sqrt{3}\text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{7}}$\\
%\end{tabularx}
%
%\medskip
Puisque $z_{\text{A}} = \sqrt{3}\text{e}^{\frac{\pi}{3}}$ et $z_{\text{B}} = 3\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$, alors $z_{\text{A}} \times z_{\text{B}} = 3\sqrt{3}\text{e}^{\left( \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4}\right)} = 3\sqrt{3}\text{e}^{\left( \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4}\right)}$.
\item %Soit $r$ la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{7\pi}{12}$. Réponse \textbf{b.}
 
%L'image du point C(2~;~4) par la rotation $r$ est le point D de coordonnées :

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
%\textbf{a.}\quad $\left(\sqrt{2}~;~2\sqrt{2} \right)$ &\textbf{b.}\quad $\left(- \sqrt{2}~;~- 3\sqrt{2} \right)$ & \textbf{c.}\quad $\left(- \sqrt{2}~;~3\sqrt{2} \right)$ \\
%\end{tabularx}

L'image du point C(2~;~4) par la rotation $r$ est le point C$'$ tel que : $z_{\text{C}'} - 0 = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}\left(2 + 4\text{i} - 0 \right) \iff z_{\text{C}'} = \left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \text{i}\frac{\sqrt{2}}{2} \right)(2 + 4\text{i}) = \sqrt{2} - 2\sqrt{2} + \text{i}(2\sqrt{2} + \sqrt{2}) =$

$ - \sqrt{2} + 3\text{i}\sqrt{2}$. Réponse \textbf{c.}
\medskip

\item %La forme algébrique du nombre complexe \dfrac{1}{2 + \text{i}}$ est :

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
%\textbf{a.}\quad $\dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{3}\text{i}$ &\textbf{b.}\quad $\dfrac{2}{5} - \dfrac{1}{5}\text{i}$& \textbf{c.}\quad $\dfrac{2}{5} + \dfrac{1}{5}\text{i}$\\
%\end{tabularx}
$\dfrac{1}{2 + \text{i}} = \dfrac{2 - \text{i}}{(2 - \text{i})(2 + \text{i})} = \dfrac{2 - \text{i}}{4 + 1} = \dfrac{2 - \text{i}}{5} = \dfrac{2}{5} - \text{i}\dfrac{1}{5}$. Réponse \textbf{b.}
\medskip

\item %Soit  le nombre complexe $z = \dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{i}$. Le nombre complexe $z^{\np{2011}}$ est égal à : 

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
%\textbf{a.}\quad $5\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$ &\textbf{b.}\quad $\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$& \textbf{c.}\quad $3\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{3}}$\\
%\end{tabularx}
On reconnaît le cosinus et le sinus de $\frac{\pi}{3}$, donc $z = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$et $z^{\np{2011}}  = \left(\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}} \right)^{\np{2011}} = \text{e}^{\text{i}\frac{\np{2011}\pi}{3}} = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$ car $\frac{2011\pi}{3} = \frac{2010\pi}{3}  + \frac{1\pi}{3} = 670\pi + \frac{1\pi}{3} = 335 \times 2\pi +   \frac{1\pi}{3}$. Réponse \textbf{b.}
\medskip
 
\item  %Soit l'équation $z^2 - 2z + 4 = 0$. La somme des racines de cette équation est égale à :
Réponse \textbf{c.}
\medskip

%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
%\textbf{a.}\quad $- 2$ &\textbf{b.}\quad 3\text{i}$ & \textbf{c.}\quad $2$ \\
%\end{tabularx}
%
%\medskip
 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

%Un jeu en ligne propose aux internautes d'effectuer des missions de difficulté croissante qui, si elles sont réussies, permettent de valider successivement le niveau 1, puis le niveau 2, et enfin le niveau 3.
% 
%De plus, les joueurs peuvent bénéficier d'un bonus de rapidité d'un montant de 3~\euro{} lorsque le dernier niveau validé l'a été en moins de deux minutes.
% 
%Une enquête portant sur \np{1200}~joueurs a été réalisée.

%\medskip
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] 60\,\% de ces joueurs ont validé le niveau 1 uniquement, et parmi eux, 20\,\% ont obtenu le bonus de rapidité.
%\item[$\bullet~~$] 120 joueurs ont validé les trois niveaux, et parmi eux, 6 ont obtenu le bonus de rapidité. 
%\item[$\bullet~~$] Au total 186 joueurs ont obtenu le bonus de rapidité.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
 
\begin{enumerate}
\item %Compléter le tableau dans l'\textbf{ANNEXE 1, à rendre avec la copie.}
Voir à la fin.
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
%Joueurs ayant validé: &le niveau 1 uniquement &les niveaux 1 et 2& les trois niveaux& Total \\ \hline
%avec bonus &&&&\\ \hline%
%sans bonus &&&&\\ \hline%
%Total      &&&&\np{1200}\\ \hline%
%\end{tabularx}

\medskip

\item %On choisit un joueur au hasard dans ce groupe. 
	\begin{enumerate}
		\item %Quelle est la probabilité qu'il ait validé les niveaux 1 et 2 sans bonus ?
La probabilité est égale à $\dfrac{324}{\np{1200}} = \dfrac{27}{100} = 0,27$. 
		\item %Quelle est la probabilité qu'il ait validé les 3 niveaux avec bonus ?
La probabilité est égale à $\dfrac{6}{\np{1200}} = \dfrac{1}{200} = 0,005$.		
	\end{enumerate} 
\item %Chaque joueur doit payer une mise de 5~\euro{} pour participer au jeu. Le règlement du jeu est alors défini comme suit :

%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] sans bonus, la validation du niveau 1 ne rapporte rien, 
%\item[$\bullet~~$] sans bonus, la validation des niveaux 1 et 2 rapporte 4~\euro. 
%\item[$\bullet~~$] sans bonus, la validation des trois niveaux rapporte 7~\euro.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
% 
%À cela s'ajoute le bonus de rapidité d'un montant de 3~\euro{} qui ne peut être attribué qu'une seule fois, dans les conditions précisées en introduction.
% 
%Soit $X$ la variable aléatoire qui, à chaque partie, associe le gain du joueur en euros. On rappelle que le gain est la différence entre la somme rapportée et la mise. Il peut être positif ou négatif. 
	\begin{enumerate}
		\item %Donner la liste des valeurs prises par la variable aléatoire $X$.
		On a $X \in \{- 5~;~-2~;~- 1~;~2~;~5\}$. 
		\item %Donner sous forme de tableau la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
On a $p(X = - 5) = \dfrac{576}{\np{1200}},\quad p(X = - 2) =  \dfrac{144}{\np{1200}},\quad p(X = - 1) = \dfrac{324}{\np{1200}}, \quad p(X = 2) = \dfrac{36 + 114}{\np{1200}} = \dfrac{150}{\np{1200}}, \quad p(X = 5) = \dfrac{6}{\np{1200}}$. D'o\`u le tableau suivant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$X = \ldots$&$- 5 $&$- 2$&$- 1$&2&5\\ \hline
\rule[-3mm]{0mm}{9mm}$p(X = x_{i})$&$\dfrac{576}{\np{1200}}$&$\dfrac{144}{\np{1200}}$&$\dfrac{324}{\np{1200}}$&$\dfrac{150}{\np{1200}}$&$\dfrac{6}{\np{1200}}$\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
		\item %Calculer l'espérance mathématique E($X$) de la variable aléatoire $X$.
On a E$(X) = - 5 \times \dfrac{576}{\np{1200}} - 2 \times \dfrac{144}{\np{1200}} - 1 \times \dfrac{324}{\np{1200}} + 2 \times \dfrac{150}{\np{1200}} + 5 \times \dfrac{6}{\np{1200}} = \dfrac{- \np{2880} - 288 - 324 + 300 + 30}{\np{1200}} = \dfrac{\np{3162}}{\np{1200}} = 2,635$.
	\end{enumerate} 
\item  %Donner une interprétation de E(X).
Sur un grand nombre de parties un joueur perdra à chaque partie en moyenne à peu près 2,64~\euro. 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\medskip
 
%On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle ]0~;~10] par 
%
%\[f(x) = \ln x + ax + b,\]
%
%où $a$ et $b$ désignent deux nombres réels, et on note $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur l'intervalle ]0~;~10].
% 
%On sait que le tableau de variations de $f$ sur ]0~;~10] est le suivant : 
%
%\medskip
%
%\psset{unit=1cm}
%\begin{center}
%\begin{pspicture}(7.5,3)
%\psframe(7.5,3)
%\psline(0,2)(7.5,2)\psline(0,2.5)(7.5,2.5)\psline(2.5,0)(2.5,3)\psline(2.6,0)(2.6,2.5)
%\uput[u](1.25,2.5){$x$}\uput[u](2.6,2.5){$0$}\uput[u](4.5,2.5){$2$}\uput[u](7.3,2.5){$10$}
%\rput(1.25,2.25){Signe de $f'(x)$}\rput(3.5,2.25){+}\rput(4.5,2.25){$0$}\rput(6,2.25){$-$}
%\rput(1.25,1){Variations de $f$}\uput[u](2.9,0){$- \infty$}\uput[d](4.5,2){$- 2 + \ln 2$}
%\uput[u](6.8,0){$- 6 + \ln 10$}
%\psline{->}(2.75,0.5)(4.3,1.5)\psline{->}(4.7,1.5)(6.75,0.5)
%\end{pspicture}
%\end{center}
%
%\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Déduire du tableau de variations le signe de $f(x)$ sur l'intervalle ]0~;~10].
Le maximum de la fonction vaut à peu près $- 1,3$ : la fonction est donc négative sur l'intervalle [0~;~10]. 
\item %Calculer $f'(x)$ en fonction de $a$ et $b$ pour tout réel $x$ de l'intervalle ]0~;~10].
On a $f'x) = \dfrac{1}{x} + a$ 
\item %\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
%À l'aide de données numériques du tableau de variations, calculer $a$ et $b$.
On a $f'(2) = 0 \iff \dfrac{1}{2} + a = 0 \iff a = - \dfrac{1}{2}$.

De plus $f(2) = - 2 + \ln 2 \iff \ln 2 - \dfrac{1}{2} \times 2 + b = - 2 + \ln 2 \iff - 1 + b = - 2 \iff b = - 1$.

Conclusion : sur [0~;~10], \quad $f(x) = \ln x - \dfrac{x}{2} - 1$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip

%On admet que, pour tout réel $x$ appartenant à ]0~;~10],
%
%\[f(x) = \ln x - \dfrac{1}{2}x - 1.\] 
% 
%On considère la fonction $g$ définie sur ]0~;~10] par 
%
%\[g(x) = (\ln x)^2 - x - 2\ln x\]
%
%dont la courbe représentative $\mathcal{C}$ dans un repère orthogonal \Oij{} est fournie dans l'\textbf{ANNEXE 2 à rendre avec la copie.}
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer la limite de $g$ en $0$.
On a $g(x) = \ln x(\ln x - 2) - x$. Comme $\displaystyle\lim_{x \to 0} \ln x = - \infty, \quad \displaystyle\lim_{x \to 0} \ln x - 2 = - \infty$  et par produit de limites \displaystyle\lim_{x \to 0} \ln x(\ln x - 2) = + \infty$, donc finalement $ \displaystyle\lim_{x \to 0} g(x) = + \infty$.
		\item %Interpréter graphiquement le résultat précédent.
Le résultat précédent signifie géométriquement que la droite d'équation $x = 0$ (axe des ordonnées) est asymptote verticale à $\mathcal{C}$ au voisinage de zéro.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que pour tout $x$ de ]0~;~10], $g'(x) = \dfrac{2f(x)}{x}$.
$g$ est dérivable sur ]0~;~10] et sur cet intervalle :

$g'(x) = 2\ln x \times \dfrac{1}{x} - 1 - 2\times \dfrac{1}{x} = 2\dfrac{\ln x}{x} - 1 - \dfrac{2}{x} = \dfrac{2}{x}\left(\ln x - \dfrac{x}{2} - 1 \right) = \dfrac{2}{x}f(x) = \dfrac{2f(x)}{x}$.
		\item %Déterminer les variations de la fonction $g$ sur ]0~;~10].
Comme $\dfrac{2}{x} > 0$ sur $]0~;~10]$, le signe de $g'(x)$ est celui de $f(x)$ qui est négatif d'après la question 1 de la partie A. Or $g'(x) < 0$ signifie que $g$ est décroissante sur $]0~;~10]$.
	\end{enumerate} 
\item %Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $1$.
La tangente $T$ contient le point de cordonnées $(1~;~g(1)) = \left(1~;~- 1\right)$.

Le coefficient directeur de $T$ est égal à $g'(1) = - 3$.

Une équation réduite de $T$ est donc $y =  - 3x + b$ et comme le point $\left(1~;~- 1{2}\right)$ appartient à $T$, on a $- 1 = -  3 + b \iff b = 2$.

Une équation de $T$ est donc $y = - 3x + 2$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que l'équation $g(x) = 0$ admet une seule solution $\alpha$ sur l'intervalle [0,1~;~10].
La fonction $g$ est dérivable sur  [0,1~;~10] et strictement croissante ; comme $f(0,1) \approx 9,8$ et $f(10) \approx - 9,3$, il existe un réel unique $\alpha \in [0,1~;~10]$ tel que $g(\alpha) = 0$.
		\item %Donner, à l'aide de la calculatrice, un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $0,01$.
La calculatrice donne $0,72 < \alpha < 0,73$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C}

\medskip
 
%Soit $G$ la fonction définie sur l'intervalle ]0~;~10] par 
%
%\[G(x) = x (\ln x)^2 - 4x\ln x + 4x - \dfrac{1}{2}x^2.\]

\begin{enumerate}
\item %Vérifier que la fonction $G$ est une primitive de la fonction $g$ sur ]0~;~10].
$G$ est dérivable sur ]0~;~10] et sur cet intervalle :

$G'(x) = (\ln x)^2 + x \times 2 \times \ln x \times \dfrac{1}{x} - 4\ln x - 4x \times \dfrac{1}{x} + 4 - \dfrac{1}{2} \times 2 x =  (\ln x)^2 + x \times 2 \times \ln x \times \dfrac{1}{x} - 4\ln x - 4x \times \dfrac{1}{x} + 4 - \dfrac{1}{2} \times 2 x =  \ln x)^2 +  2  \ln x  - 4\ln x - 4 + 4 -  x  = (\ln x)^2 -  2  \ln x  -  x = g(x)$.

Conclusion $G$ est une primitive de $g$ sur ]0~;~10].
\item %Sur l'\textbf{ANNEXE 2 à rendre avec la copie}, figure la courbe $\mathcal{C}$. Tracer la droite $T$ et hachurer le domaine $\Delta$ limité par la droite $T$, la courbe $\mathcal{C}$ et les droites d'équations $x = 1$ et $x = \text{e}$.
Voir à la fin 
\item %On admet que la droite $T$ est toujours située au dessous de la courbe $\mathcal{C}$. Calculer, en unités d'aire, l'aire du domaine.
La courbe $\mathcal{C}$ étant située au dessus de $T$, l'aire (en unité d'aire de la surface $\Delta$ est égale à l'intégrale :

$\displaystyle\int_{1}^{\text{e}} [g(x) - (2 - 3x)\:\text{d}x = \left[G(x) - 2x + \dfrac{3}{2}x^2  \right]_{1}^{\text{e}}\right]_{1}^{\text{e}} =$

$ \text{e} (\ln \text{e})^2 - 4\text{e}\ln \text{e} + 4\text{e} - \dfrac{1}{2}\text{e}^2 - 2\text{e} + \dfrac{3}{2}\text{e}^2 - \left[1 (\ln 1)^2 - 4\ln 1 + 4 - \dfrac{1}{2}  - 2 + \dfrac{3}{2} \right] =$

$ \text{e} - 4\text{e} + 4\text{e}- \dfrac{1}{2}\text{e}^2 - 2\text{e} + \dfrac{3}{2}\text{e}^2 - 4 + \dfrac{1}{2} + 2 - \dfrac{3}{2} =$

$\text{e}^2 - \text{e} - 3$~(u. a.) $\approx 1,7$~(u. a.)
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE 1 à rendre avec la copie}

\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Joueurs ayant validé: &le niveau 1 uniquement &les niveaux 1 et 2& les trois niveaux& Total \\ \hline
avec bonus &144&36&6&186\\ \hline%
sans bonus &576&324&114&\np{1114}\\ \hline%
Total      &720&360&120&\np{1200}\\ \hline%
\end{tabularx}


\vspace{1cm}

\textbf{ANNEXE 2 à rendre avec la copie}

\bigskip

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-10)(10.5,8)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.5,-10)(10.5,8)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange](0,-10)(10,8)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.133}{10}{x ln x ln mul x sub x ln 2 mul sub}
\uput[dl](0,0){O}\uput[dl](8,-8){$\mathcal{C}$}
\psplot{0}{4}{2 x 3 mul sub}
\pscustom[fillstyle=hlines]{
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{2.71828}{x ln x ln mul x sub x ln 2 mul sub}
\psline(2.71828,-6.155)(1,-1)
}
\psline(2.71828,-6.155)(2.71828,0)\uput[u](2.71828,0){e}\uput[dl](4,-9.8){$T$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}