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% Tapuscrit Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{A. P. M. E. P.}
\lhead{\small Baccalauréat  STI Génie électrotechnique, génie optique }%
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{juin 2006}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Génie électronique~\decofourright\\Antilles-Guyane  juin 2007}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}
 
\medskip

On rappelle que i est le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Résoudre, dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes, l'équation d'inconnue $z$ :

\[z^2 - 6z + 10 = 0.\]

\item  Soit $P$ le polynôme défini pour tout nombre complexe $z$ par :

\[P(z) = z^3 - 12z^2 +   46z - 60.\]

	\begin{enumerate}
		\item  Calculer $P(6)$.
		\item  Déterminer trois réels $a,~ b$ et $c$ tels que, pour tout complexe $z$, on ait
		
$P(z) = (z - 6)\left(az^2 + bz + c\right)$.
		\item  Résoudre dans $\C$ l'équation $P(z) = 0$.
	\end{enumerate}
\item  Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{} d'unité graphique 2~cm ; soient A, B et C les points de ce plan d'affixes respectives 3 + i , $3 - \text{i}$ et $6$.

Placer les points A, B et C.
\item  Démontrer que le quadrilatère OACB est un parallélogramme.
\item  Comparer les longueurs OA et OB. En déduire la nature du parallélogramme OACB.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\medskip

Une personne a $5$ jetons indiscernables au toucher dans sa poche : un jeton d'une valeur de 2 \euro{}, deux jetons d'une valeur de 1\euro{} chacun et deux jetons d'une valeur de 0,50 \euro{} chacun.

\medskip

\textbf{Partie I}

\medskip

Cette personne choisit au hasard, \emph{successivement et sans remise}, deux jetons dans sa poche. On s'intéresse à la somme $S$ des valeurs des deux jetons choisis.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Construire un arbre ou un tableau décrivant cette expérience. En déduire les valeurs possibles de la somme $S$.
\item  Soit A l'évènement: \og la somme $S$ est égale à 1,5 \fg{} et B l'évènement : \og la somme $S$ est égale à 1 \fg.
	\begin{enumerate}
		\item  Vérifier que la probabilité de l'évènement A est égale à $0,4$.
		\item  Déterminer la probabilité de l'évènement B.
	\end{enumerate}
\item  Déterminer la probabilité pour que la somme $S$ soit supérieure ou égale à $2$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie II}

\medskip

Cette personne introduit les deux jetons choisis dans un appareil de stationnement. Le coût est de 0,50 \euro{} pour une heure de stationnement. Soit $X$ la variable aléatoire qui à chaque choix de deux jetons associe la durée maximale de stationnement autorisé, exprimée en heures.
\begin{enumerate}
\item  Déterminer, en utilisant la partie I, la probabilité pour que $X$ prenne la valeur $3$.
\item  Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
\item  Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}
 
\medskip

\emph{Les parties} II \emph{et} III \emph{peuvent être traitées indépendamment de la partie} I.

\medskip

\textbf{Partie I}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Résoudre l'équation différentielle $\left(E_{0}\right)~ :~ y' = 2y$ où l'inconnue $y$ est une fonction de la variable réelle $x$, définie et dérivable sur $\R$ et $y'$ sa fonction dérivée.
\item  Soit l'équation différentielle (E) : $ y' - 2y  = \text{e}^x$ où l'inconnue $y$ est une fonction de la variable réelle $x$, définie et dérivable sur $\R$ et $y'$ sa fonction dérivée.
	\begin{enumerate}
		\item Soit $a$ un nombre réel et $u$ la fonction définie pour tout réel $x$ par 
		
$u(x) = a\text{e}^x$.

Déterminer $a$ pour que la fonction $u$ soit une solution de l'équation différentielle (E).
		\item 	Soit $b$ un nombre réel. On admet que la fonction $w$ définie pour tout réel $x$ par $w(x) = b\text{e}^{2x} - \text{e}^x$ est une solution de l'équation différentielle (E). Déterminer $b$ pour que la fonction $w$ vérifie $w(0) =  0$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie II}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par

\[f(x) = \text{e}^{2x} - \text{e}^x.\]

On appelle $f'$ la fonction dérivée de $f$ et $\mathcal{C}_{f}$ la courbe représentative de $f$ dans le plan rapporté à un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 4 cm. On remarquera que, pour tout réel $x$, on a $\text{e}^{2x} - \text{e}^x =  \text{e}^x\left(\text{e}^x - 1 \right)$.
\begin{enumerate}
\item  Calculer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x)$. Que peut-on en déduire pour la courbe $\mathcal{C}_{f}$ ?
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer $f'(x)$ pour tout réel $x$ et étudier son signe. 
		\item  Calculer $f(- \ln 2)$. On détaillera les calculs.
		\item  Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
	\end{enumerate}
\item  Déterminer une équation de la tangente T à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point d'abscisse $0$.
\item Tracer la droite T et la courbe $\mathcal{C}_{f}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie III}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Étudier le signe de $f(x)$ suivant les valeurs du réel $x$.
\item  Calculer I $ = \displaystyle\int_{0}^{\ln 2} f(x)\:\text{d}x$.
\item  On considère la partie $\mathcal{D}$ du plan comprise entre l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}_{f}$ et les droites d'équations $x = 0$ et $x = \ln 2$. 
	\begin{enumerate}
		\item  Hachurer la partie $\mathcal{D}$ sur le graphique. 
		\item  Déterminer l'aire de $\mathcal{D}$. On exprimera le résultat en centimètres carrés.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}