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% Tapuscrit Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P. M. E. P.}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat  STI Génie électrotechnique, génie optique }%
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{juin 2007}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STI Génie électronique~\decofourright\\ Antilles-Guyane  juin 2007}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

%On rappelle que i est le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

\begin{enumerate}
\item  %Résoudre, dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes, l'équation d'inconnue $z$ :
%\[z^2 - 6z + 10 = 0.\]
On a $\Delta = 36 - 40 = - 4 = (2\text{i})^2$. L'équation a donc deux solutions complexes conjuguées :

\[\dfrac{6 + 2\text{i}}{2} = 3 + \text{i}\quad \text{et}\quad 3 - \text{i}.\]
Ou bien : $z^2 - 6z + 10 = 0 \iff (z - 3) - 9 + 10 = 0 \iff (z - 3)^2 + 1 = 0 \iff (z - 3)^2 - \text{i}^2 = 0 \iff (z - 3 - \text{i})(z - 3 + \text{i})$ et l'on retrouve les deux solutions.
\item  %Soit $P$ le polynôme défini pour tout nombre complexe $z$ par :
%\[P(z) = z^3 - 12z^2 +   46z - 60.\]
	\begin{enumerate}
		\item  %Calculer $P(6)$.
$P(6) = 6^3 - 12\times 6^2 +   46\times 6 - 60 = 216 - 432 + 276 - 60 = 492 - 492 = 0$. On peut donc factoriser $P(z)$ par $z - 6)$.
		\item  %Déterminer trois réels $a,~ b$ et $c$ tels que, pour tout complexe $z$, on ait
		
%$P(z) =(z - 6)\left(az^2 + bz + c\right)$.
$P(z) = (z - 6)\left(az^2 + bz + c\right) \iff z^3 - 12z^2 +   46z - 60 = (z - 6)\left(az^2 + bz + c\right) \iff z^3 - 12z^2 +   46z - 60 = az^3 + bz^2 + cz - 6az^2 - 6bz -6c \iff z^3 - 12z^2 +   46z - 60 = az^3 + (b - 6a)z^2 + (c - 6b)z - 6c \iff \left\{\begin{array}{l c l}
a&=&1\\
b - 6a&=&-12\\
c - 6b&=&46\\
-6c&=&-60
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
a&=&1\\
b &=&-6\\
c &=&10\\
c&=&10
\end{array}\right.$

On a donc 
\[P(z) = z^3 - 12z^2 +   46z - 60 = (z - 6)\left(z^2 - 6z + 10 \right).\]
		\item  %Résoudre dans $\C$ l'équation $P(z) = 0$.
$P(z) = 0 \iff (z - 6)\left(z^2 - 6z + 10 \right) = 0$. Les solutions sont donc $z = 6$ et les solutions de l'équation de la question 1.

\[S = \left\{6 \quad ; \quad 3 + \text{i}\quad; \quad 3 - \text{i} \right\}\]
	\end{enumerate}
\item  %Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{} d'unité graphique 2 cm ; soient A, B et C les points de ce plan d'affixes respectives 3 + i , $3 - \text{i}$ et $6$.

%Placer les points A, B et C.
Voir plus bas
\item  %Démontrer que le quadrilatère OACB est un parallélogramme:
Le milieu de [OC] a pour coordonnées (3~;~0) ;

Celui de [AB] a pour coordonnées $\left(\dfrac{3 + 3}{2}~ ;~\dfrac{1 - 1}{2} \right) = (3~;~0)$.

[OC] et [AB] ont le même milieu : le quadrilatère OABC est un parallélogramme.
\item  %+Comparer les longueurs OA et OB. En déduire la nature du parallélogramme OACB.
OA $= |3 + \text{i}| = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}$ ;

OB $= |3 - \text{i}| = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{10}$.

Le quadrilatère OACB a deux côtés consécutifs de même longueur : c'est un losange.
\end{enumerate}


\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-1,-2)(7,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-1,-2)(7,3)
\psdots(3,1)(3,-1)(6,0)%ABC
\uput[ur](3,1){A} \uput[dr](3,-1){B} \uput[ur](6,0){C} \uput[dl](0,0){O}
\pspolygon(0,0)(3,1)(6,0)(3,-1) 
\end{pspicture}
\end{center}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\medskip

%Une personne a $5$ jetons indiscernables au toucher dans sa poche: un jeton d'une valeur de 2 \euro{}, deux jetons d'une valeur de 1\euro{} chacun et deux jetons d'une valeur de 0,50 \euro{} chacun.
%\medskip

\textbf{Partie I}

\medskip

%Cette personne choisit au hasard, \emph{successivement et sans remise}, deux jetons dans sa poche. On s'intéresse à la somme $S$ des valeurs des deux jetons choisis.
\begin{enumerate}
\item  %Construire un arbre ou un tableau décrivant cette expérience. En déduire les valeurs possibles de la somme $S$.
On construit le tableau à double-entrée suivant : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c |*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\backslashbox{1\up{er}jeton}{2\up{e} jeton}&2&1&1&0,5&0,5\\ \hline
2&\multicolumn{1}{>{\columncolor{gristab}}c|}{\quad}&3&3&2,5&2,5\\ \hline
1&3&\multicolumn{1}{>{\columncolor{gristab}}c|}{\quad}&2&1,5&1,5\\ \hline
1&3&2&\multicolumn{1}{>{\columncolor{gristab}}c|}{\quad}&1,5&1,5\\ \hline
0,5&2,5&1,5&1,5&\multicolumn{1}{>{\columncolor{gristab}}c|}{\quad}&1\\ \hline
0,5&2,5&1,5&1,5&1&\multicolumn{1}{>{\columncolor{gristab}}c|}{\quad}\\ \hline
\end{tabularx}
%\begin{center}
%\pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}}
%{
%	\pstree{\TR{2}\taput{$\frac{1}{5}$}}
%	  { 
%		  \TR{1}\taput{$\frac{2}{4}$}
%		  \TR{0,50}\tbput{$\frac{2}{4}$}	   
%	  }
%	\pstree{\TR{1}\tbput{$\frac{2}{5}$}}
%	  {
%		  \TR{2}\taput{$\frac{1}{4}$}
%		  \TR{1}\tbput{$\frac{1}{4}$}
%		  \TR{0,50}\tbput{$\frac{2}{4}$} 
%	  }
%	\pstree{\TR{0,50}\tbput{$\frac{2}{5}$}}
%	  {
%		  \TR{2}\taput{$\frac{1}{4}$}
%		  \TR{1}\tbput{$\frac{2}{4}$}
%		  \TR{0,50}\tbput{$\frac{1}{4}$}
%	  }	
%}
%\end{center}

\medskip

On peut donc obtenir :

1 ;\quad 1,50 ;\quad 2 ;\quad 2,50 ;\quad 3
\item  %Soit A l'évènement: \og la somme $S$ est égale à 1,5 \fg{} et B l'évènement : \og la somme $S$ est égale à 1 \fg.
	\begin{enumerate}
		\item  %Vérifier que la probabilité de l'évènement A est égale à $0,4$.
$p(\text{A})  = \dfrac{8}{20}=\dfrac{2}{5} = 0,4$.
		\item  %Déterminer la probabilité de l'évènement B.
$p(\text{B}) =  \dfrac{2}{20} = \dfrac{1}{10}  = 0,1$.
	\end{enumerate}
\item  %Déterminer la probabilité pour que la somme $S$ soit supérieure ou égale à $2$.
On a $P(S \geqslant 2) = 1 - \left[p(\text{A}) + p(\text{B})\right] = 1 - 0,5 = 0,5$.

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie II}

\medskip
 
%Cette personne introduit les deux jetons choisis dans un appareil de stationnement. Le coût est de 0,50 \euro{} pour une heure de stationnement. Soit $X$ la variable aléatoire qui à chaque choix de deux jetons associe la durée maximale de stationnement autorisé, exprimée en heures.
\begin{enumerate}
\item  %Déterminer, en utilisant la partie I, la probabilité pour que $X$ prenne la valeur $3$.
C'est la probabilité de tirer 1,50~\euro{}, soit la probabilité de A soit $0,4$.
\item  %Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x_{i}$&2&3&4&5&6  \\ \hline
$p\left(X = x_{i} \right)$&0,1 &0,4 & 0,1 &0,2 & 0,2 \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item  %Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$.
On a E$(X) = 2 \times 0,1 + 3\times 0,4 + 4\times 0,1 + 5\times 0,2 + 6\times 0,2 = 0,2 + 1,2 + 0,4 + 1 + 1,2 = 4$.

En moyenne sur un grand nombre de tirages on pourra stationner pendant 4~heures.
\end{enumerate}
 
\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}
 
\medskip
 
%\emph{Les parties} II \emph{et} III \emph{peuvent être traitées indépendamment de la partie} I.

%\medskip

\textbf{Partie I}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  %Résoudre l'équation différentielle $\left(E_{0}\right)~ :~ y' = 2y$ où l'inconnue $y$ est une fonction de la variable réelle $x$, définie et dérivable sur $\R$ et $y'$ sa fonction dérivée.
On sait que les solutions de cette équation différentielle sont de la forme : 

$y = C\text{e}^{2x},~C \in \R$.
\item  %Soit l'équation différentielle (E) : $ y' - 2y  = \text{e}^x$ où l'inconnue $y$ est une fonction de la variable réelle $x$, définie et dérivable sur $\R$ et $y'$ sa fonction dérivée.
	\begin{enumerate}
		\item %Soit $a$ un nombre réel et $u$ la fonction définie pour tout réel $x$ par $u(x) = a\text{e}^x$.\\
%Déterminer $a$ pour que la fonction $u$ soit une solution de l'équation différentielle (E).
On a $u'(x) = a\text{e}^x$.

$u$ est une solution de l'équation différentielle (E) si et seulement si 

$a\text{e}^x - 2a\text{e}^x = \text{e}^x \iff - a\text{e}^x = \text{e}^x \iff a = -1$.

La fonction $- \text{e}^x$ est donc solution de (E).
		\item 	%Soit $b$ un nombre réel. On admet que la fonction $w$ définie pour tout réel $x$ par $w(x) = b\text{e}^{2x} - \text{e}^x$ est une solution de l'équation différentielle (E). Déterminer $b$ pour que la fonction $w$ vérifie $w(0) =  0$.
$w(x) = b\text{e}^{2x} - \text{e}^x$, donc $w(0) = b - 1 = 0 \iff b = 1$.

Conclusion : la fonction $\text{e}^{2x} - \text{e}^x$ est la solution de (E) qui vérifie $w(0) = 0$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie II}
 
\medskip

%On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par
%\[f(x) = \text{e}^{2x} - \text{e}^x.\]
%On appelle $f'$ la fonction dérivée de $f$ et $\mathcal{C}_{f}$ la courbe représentative de $f$ dans le plan rapporté à un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 4~cm. On remarquera que, pour tout réel $x$, on a $\text{e}^{2x} - \text{e}^x =  \text{e}^x\left(\text{e}^x - 1 \right)$.
\begin{enumerate}
\item  %Calculer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x)$. Que peut-on en déduire pour la courbe $\mathcal{C}_{f}$ ?
Comme $\text{e}^{2x} - \text{e}^x =  \text{e}^x\left(\text{e}^x - 1 \right)$ et que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^x = + \infty$, on peut en déduire que 

$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$.

En moins l'infini : comme $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^x = 0$, on peut en déduire que $\displaystyle\lim_{x \to 0}f(x) = 0$.

Géométriquement ceci signifie que l'axe des abscisses est asymptote horizontale à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au voisinage de moins l'infini.
	\begin{enumerate}
		\item  %Calculer $f'(x)$ pour tout réel $x$ et étudier son signe.
		$f$ est la différence de deux fonctions dérivables sur $\R$ et 
		
		$f'(x) = 2\text{e}^{2x} - \text{e}^x = \text{e}^x\left(2\text{e}^x - 1 \right)$.
		
Comme $\text{e}^x > 0$, quel que soit le réel $x$, le signe de $f'(x)$ est celui de la différence $2\text{e}^x - 1$.

Or $2\text{e}^x - 1 > 0 \iff 2\text{e}^x > 1 \iff \text{e}^x > \dfrac{1}{2} \Rightarrow x > \ln\left(\frac{1}{2} \right) \iff x > - \ln 2$.

De même $2\text{e}^x - 1 < 0$ entra\^{\i}ne $x < - \ln 2$.
		\item  %Calculer $f(- \ln 2)$. On détaillera les calculs.
$f(- \ln 2) = \text{e}^{- 2 \ln 2} - \text{e}^{- \ln 2} = \dfrac{1}{\text{e}^{ 2 \ln 2}} - \dfrac{1}{\text{e}^{ \ln 2}} = \dfrac{1}{\text{e}^{\ln 4}} - \dfrac{1}{\text{e}^{ \ln 2}} = \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{2} = - \dfrac{1}{4}$		
		\item  %Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
On a donc le tableau de variations suivant :

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,2.5)
\psframe(8,2.5) \psline(0,2)(8,2) \psline(2,0)(2,2.5)
\uput[u](1,2){$x$} \uput[u](2.4,2){$- \infty$} \uput[u](5,2){$- \ln 2$} \uput[u](7.6,2){$+\infty$}\rput(1,1){$f(x)$}
\psline{->}(2.6,1.7)(4.5,0.3) \psline{->}(5.5,0.3)(7.4,1.7)
\uput[d](2.2,2){$0$}\uput[d](7.6,2){$+ \infty$} \uput[u](5,0){$-\frac{1}{4}$} 
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

	\end{enumerate}
\item  %Déterminer une équation de la tangente T à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point d'abscisse $0$.
$M(x~;~y) \in \text{T} \iff y - f(0) = f'(0)(x - 0) \iff y - 0 = 1(x) \iff y = x$.
\item %Tracer la droite T et la courbe $\mathcal{C}_{f}$.
Voir plus bas.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie III}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  %Étudier le signe de $f(x)$ suivant les valeurs du réel $x$.
Sur $]- \infty~;~- \ln 2[,~f(x) \leqslant 0$.

Sur $]- \ln 2~;~+ \infty[$, la fonction $f$ est croissante : elle s'annule donc pour une valeur unique $0$, car $f(0) = \text{e}^{2\times 0} - \text{e}^0 = 1 - 1 = 0$.

Conclusion : sur $]- \infty~;~0[,~f(x) < 0$ et sur $]0~;~+ \infty[~f(x) > 0$.
\item  %Calculer I $ = \displaystyle\int_{0}^{\ln 2} f(x)\:\text{d}x$.
I $ = \displaystyle\int_{0}^{\ln 2} f(x)\:\text{d}x = \displaystyle\int_{0}^{\ln 2} \left(\text{e}^{2x} - \text{e}^x \right)\:\text{d}x = \left[\dfrac{1}{2}\text{e}^{2x} - \text{e}^x \right]_{0}^{\ln 2} = \dfrac{1}{2}\text{e}^{2\times (\ln 2)} - \text{e}^{\ln 2} - \left(\dfrac{1}{2}\text{e}^{2\times 0} - \text{e}^0 \right) = \dfrac{1}{2}\text{e}^{2\times (\ln 2)} - \text{e}^{\ln 2} - \dfrac{1}{2} + 1 = \dfrac{1}{2}\times 4 - 2 - \dfrac{1}{2} + 1 = \dfrac{1}{2}$.
\item  %On considère la partie $\mathcal{D}$ du plan comprise entre l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}_{f}$ et les droites d'équations $x = 0$ et $x = \ln 2$. 
	\begin{enumerate}
		\item  %Hachurer la partie $\mathcal{D}$ sur le graphique. 
Voir plus bas.
		\item  %Déterminer l'aire de $\mathcal{D}$. On exprimera le résultat en centimètres carrés.
On a vu que pour $x > 0,~f(x) > 0$, donc l'aire de la partie $\mathcal{D}$ est, en unité d'aire égale à l'intégrale I, soit $\dfrac{1}{2}$~(u. a.)

Or l'unité d'aire est égale à $3 \times 3 = 9$~cm$^2$.

Donc l'aire est égale à $9 \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{9}{2}$~cm$^2$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\psset{unit=3cm}

\begin{center}
\begin{pspicture}(-3,-0.5)(1.5,3)
\pscustom[fillstyle=vlines]{
\psplot[plotpoints=8000,linecolor=blue]{0}{0.693147}{2.71828 x 2 mul exp 2.71828 x exp sub}
\psline(0.693147,0)(1,0)}
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-3,-0.5)(1.5,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=3,gridwidth=0.25pt,gridcolor=lightgray](-3,-1)(1,3)
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$} \uput[dl](0,0){O} \uput[d](0.693){e}
\psplot[plotpoints=8000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-3}{0.835}{2.71828 x 2 mul exp 2.71828 x exp sub}
\uput[r](0.75,2.5){$\mathcal{C}$} 
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}