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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STI  Génie électronique, électrotechnique et optique}
\lfoot{\small{Nouvelle--Calédonie}}
\rfoot{\small{novembre 2011}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Nouvelle--Calédonie~\decofourright\\Génie électronique, électrotechnique et optique\\novembre 2011}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 4,5 points}

\medskip

Dans une urne, on dispose de cinq boules indiscernables au toucher : trois boules vertes numérotées de 1 à 3, qu'on notera $V_{1},\: V_{2}$ et $V_{3}$, et deux boules rouges numérotées 0 et 5, qu'on notera $R_{0}$ et $R_{5}$.
 
Un jeu consiste à tirer successivement deux boules au hasard. Avant de tirer la deuxième boule, on remet dans l'urne la boule obtenue au premier tirage.

\begin{itemize}
\item Si les deux boules tirées sont de la même couleur, le joueur ne reçoit rien. 
\item Si les deux boules tirées sont de couleurs différentes, le joueur remporte le montant en euros égal au nombre formé en prenant le chiffre de la boule verte pour les dizaines et celui de la boule rouge pour les unités.
\end{itemize}
 
Par exemple, le tirage du couple $\left(R_{5}~;~V_{3}\right)$ rapporte 35 euros, alors que le tirage du couple $\left(V_{1}~;~V_{2}\right)$ ne rapporte rien.
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter le tableau suivant en indiquant les différents montants : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\diagbox{1\up{re} boule}{2\up{e} boule}& $V_{1}$ &$V_{2}$ &$V_{3}$ &$R_{0}$ &$R_{5}$\\ \hline 
$V_{1}$&	&0	&	&	&\\ \hline 
$V_{2}$&	&	&	&	&\\ \hline 
$V_{3}$&	&	&	&	&\\ \hline 
$R_{0}$&	&	&	&	& \\ \hline
$R_{5}$&	&	& 35&	& \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 

		\item Déterminer la probabilité de chacun des évènements suivants :
 
A : \og le joueur ne reçoit rien \fg{} ;
 
B : \og le joueur remporte un montant supérieur ou égal à 20 euros \fg.
	\end{enumerate} 
\item On suppose dans cette question que le joueur mise 15 euros. On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque tirage, associe le gain du joueur, c'est-à-dire la différence entre ce qu'il reçoit et ce qu'il mise, $X$ étant négative en cas de perte. 
	\begin{enumerate}
		\item Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.  
		\item Calculer l'espérance de $X$. 
		\item Un jeu est dit équitable lorsque l'espérance du gain est nulle. Quelle devrait être la mise de départ pour que ce jeu soit équitable ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 5,5 points}

\medskip 

Soit i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Pour tout nombre complexe z, on pose : 

\[P(z) = z^3 + 5z^2 + 10z + 12.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $P(- 3)$, puis déterminer les réels $b$ et $c$ tels que 
		
$P(z) = (z + 3)\left(z^2 + bz + c\right)$. 
		\item Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation : $P(z) = 0$.
	\end{enumerate} 
\item Dans le plan muni d'un repère orthonormal \Ouv, on considère les points A, B et C d'affixes respectives : 

\[z_{\text{A}} = -3 \quad ; \quad z_{\text{B}} = -1 + \text{i}\sqrt{3} \quad ;\quad z_{\text{C}} = - 1 - \text{i}\sqrt{3}.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Sur la figure donnée en annexe, on a tracé deux triangles. L'un est le triangle ABC, l'autre sera noté $T$. Placer les points A, B et C sur cette figure. 
		\item On considère la translation $t$ de vecteur $4\vect{u}$. Construire les points A$'$, B$'$ et C$'$, images respectives des points A, B et C par la translation $t$. 
		\item On admet que le triangle $T$ est l'image du triangle A$'$B$'$C$'$ par une rotation $r$ de centre O. Quel est l'angle de cette rotation ? (aucune justification n' est demandée). 
		\item On appelle S le sommet du triangle $T$ ayant une abscisse strictement négative. 

Placer le point S sur la figure donnée en annexe. Quelle conjecture peut-on faire concernant les points O, B et S ?
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer l'affixe $z_{\text{B}'}$ du point B$'$ puis écrire $z_{\text{B}'}$ sous forme exponentielle. 
		\item On admet que le point S est l'image du point B$'$ par la rotation $r$. En déduire l'écriture exponentielle de l'affixe $z_{\text{S}}$ du point S. 
		\item Écrire $z_{\text{B}}$ sous forme exponentielle. Démontrer alors la conjecture faite à la question 2. d.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 10 points}

\medskip 

Dans tout le problème, on note I l'intervalle de $\R$ défini par I  $= ]0~;~ +\infty[$.

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle I par 

\[g(x) = x^2 - 2\ln x + 2.\]
 
\begin{enumerate}
\item Pour tout réel $x$ de l'intervalle I, déterminer $g^{\prime}(x)$ puis étudier le signe de $g^{\prime}(x)$ sur l'intervalle I. 
\item Dresser le tableau des variations de la fonction $g$ sur l'intervalle I (les limites ne sont pas demandées). 
\item En déduire que, pour tout réel $x$ de l'intervalle I, on a $g(x) > 0$. 
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle I par: 

\[f(x) = \dfrac{\ln x}{x} + \dfrac{1}{2}x - 1.\] 

On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 4~centimètres.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $0$. 
		\item En déduire l'existence d'une droite asymptote à la courbe $\mathcal{C}$, notée $D$, dont on précisera une équation.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$. 
		\item Montrer que la droite $\Delta$ d'équation $y = \dfrac{1}{2}x - 1$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$ au  voisinage de $+ \infty$. 
		\item Préciser la position relative de la courbe $\mathcal{C}$ et de la droite $\Delta$. 
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout réel $x,\: f^{\prime}(x) = \dfrac{g(x)}{2x^2}$. 
		\item En déduire le tableau complet des variations de la fonction $f$ sur l'intervalle I.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les images de $1$ et de $2$ par la fonction $f$. 
		\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution notée $\alpha$ dans l'intervalle [1~;~2]. 
		\item Donner une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.
	\end{enumerate} 
\item Établir une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $1$. 
\item Tracer les droites $D,\:\Delta$ et $T$ puis la courbe $\mathcal{C}$. 
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie C}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $h$ la fonction définie sur l'intervalle I par 

\[h(x) = \dfrac{1}{2}(\ln x)^2.\]
 
Calculer $h^{\prime}(x)$. 
\item En déduire que $\displaystyle\int_{2}^{\text{e}} \dfrac{\ln x}{x}\:\text{d}x = \dfrac{1}{2}\left[1 - (\ln 2)^2\right]$.

\item On considère l'aire $\mathcal{A}$ de la partie du plan délimitée par la courbe $\mathcal{C}$, son asymptote $\Delta$ et les droites d'équation $x = 2$ et $x = \text{e}$. 

Déduire de la question précédente une valeur approchée de $\mathcal{A}$ en centimètres carrés à $10^{-2}$ près. 
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{\large Annexe : à rendre avec la copie }

\vspace{2cm}
\psset{unit=1.3cm}
\begin{pspicture}(-4,-3)(5,4)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange,gridwidth=0.2pt]
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-4,-3)(5,4)
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\pspolygon[linewidth=1.25pt](-3,0)(-1,1.732)(-1,-1.732)
\pspolygon[linewidth=1.25pt](0,1)(-1.732,3)(1.732,3)
\uput[dl](0,0){O}\uput[d](0.5,0){$\vect{u}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{v}$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}