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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small A. P. M. E. P.}
\rhead{\small Corrigé du baccalauréat STI Génie électronique,  électrotechnique, optique}%tapez un titre
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{novembre 2007}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Novembre
 2007~\decofourright\\Génie électronique, électrotechnique, optique\\Nouvelle-Calédonie}}
\end{center}

%\emph{Le formulaire officiel de mathématiques est distribué en même  temps que le sujet.}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points}

%Le plan complexe $\mathcal{P}$ est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{} (unité $4$~cm).

%On considère les trois nombres complexes suivants :

%\begin{tabularx}{\linewidth}{>{\centering \arraybackslash}X c >{\centering \arraybackslash}X c >{\centering \arraybackslash}X}
%$z_{1} = \sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{12}}$&;&$z_{2} = 1 - \text{i}$&;& $z_{3} = \dfrac{z_{1}}{z_{2}}$.\\
%\end{tabularx}

\begin{enumerate}
\item  %Écrire  $z_{2}$ sous forme exponentielle.
$\left|z_{2} \right| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$. On peut donc écrire 

$z_{2} = \sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} - \text{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right) = \sqrt{2}\left(\cos  \frac{-\pi}{4} + \text{i}\sin  \frac{-\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{4}}$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  %Écrire $z_{3}$ sous forme exponentielle.
$z_{3} = \dfrac{\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{12}}}{\sqrt{2}\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{4}}} = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{12}+\text{i}\frac{\pi}{4}} = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$.
		\item  %En déduire que 	$z_{3} = \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
		On a donc $z_{3} = \cos \frac{\pi}{3} + \text{i}\sin \frac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %En remarquant que $z_{1} = z_{2} \times  z_{3}$, donner l'écriture de $z_{1}$ sous forme algébrique.
Comme $z_{1} = z_{2} \times  z_{3} = (1 - \text{i})\left(\dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) = \dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \text{i}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} - \dfrac{1}{2} \right) =$

$ \dfrac{1 + \sqrt{3}}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3} - 1}{2}$.
		\item  %En déduire les valeurs exactes de $\cos \dfrac{\pi}{12}$ et $\sin \dfrac{\pi}{12}$.
On a donc pour $z_{1}$ trois  écritures :

$z_{1} = \sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{12}} = \sqrt{2}\cos \frac{\pi}{12} + \text{i}\sin \frac{\pi}{12} = \dfrac{1 + \sqrt{3}}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3} - 1}{2}$, d'o\`u par identification des parties réelles et imaginaires :

\[\cos \frac{\pi}{12} = \dfrac{\sqrt{2}\left(1 + \sqrt{3} \right)}{4} \quad ;\quad \sin \frac{\pi}{12} = \dfrac{\sqrt{2}\left(\sqrt{3} - 1 \right)}{4}.\]
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item %Placer les points A, B et C d'affixes respectives $z_{1},~ z_{2}$ et $z_{3}$.
		Voir la figure plus bas.
		\item  %On désigne par I le point d'affixe $1$.
		
%Placer le point I et préciser la nature du triangle OIB.
I et B ont la même abscisse : le triangle est donc rectangle en I ;

On a OI = IB = 1 : le triangle est donc isocèle en I
	\end{enumerate}
\item  %On désigne par $R$ la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{3}.$
	\begin{enumerate}
		\item  %Quelles sont les images respectives des points I et B par $R$ ?
		L'écriture complexe de la rotation $R$ est : $z' = z\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$.
		
Donc $z_{\text{I}'} = z_{\text{I}}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}} = \text{e}^{0\text{i}}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}} = \cos \frac{\pi}{3} + \text{i}\sin \frac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2} = z_{3}.$ L'image de I est donc le point C.

De même  $z_{\text{B}'} = z_{\text{B}}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}} = (1 - \text{i})\left(\dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) = \dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \text{i}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} - \dfrac{1}{2} \right) = $

$\dfrac{1 + \sqrt{3}}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3} - 1}{2} = z_{1}$. L'image de B est donc le point A.

On peut aussi démontrer géométriquement que OI = OC = 1 et $\left(\vect{\text{OI}},~\vect{\text{OC}} \right) = \dfrac{\pi}{3}$ et donc que C est l'image du point I par la rotation $R$.

De même OB = OA $ = \sqrt{2}$ et $\left(\vect{\text{OB}},~\vect{\text{OA}} \right) = \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\pi}{12} = \dfrac{4\pi}{12} = \dfrac{\pi}{3}$ et donc que A est l'image de B par la rotation $R$.
		\item   %En déduire la nature du triangle OAC.
Le point O est invariant par la rotation $R$ ; l'image du triangle OIB par la rotation $R$ est le triangle OCA. Comme le triangle OIB est rectangle isocèle en I, son image par $R$ est lui aussi rectangle isocèle C image de I et superposable \`a OIB.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\psset{unit=2cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-1,-1.25)(3,1.25)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-1,-1.25)(3,1.25)
\psdots(1.366,0.366)(1,-1)(0.5,0.866)(1,0)%ABCI
\uput[ur](1.366,0.366){A} \uput[dr](1,-1){B} \uput[ur](0.5,0.866){C} \uput[dr](1,0){I} \uput[dl](0,0){O} 
\pspolygon(0,0)(1,0)(1,-1)
\pspolygon[linecolor=blue](0,0)(0.5,0.866)(1.366,0.366)
\psarc(0,0){1.414}{-45}{15}
\psarc(0,0){1}{0}{60}
\end{pspicture}
\end{center} 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 4 points}

%Lors d'une fête, le comité d'organisation a prévu une animation qui consiste à lancer un dé parfaitement équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6.

% La partie est organisée selon les règles suivantes :
% 
% On mise $3$~euros puis on lance le dé ;

%\setlength\parindent{5mm} 
%\begin{itemize}
%\item  pour la sortie du 6, on reçoit $10$~euros ; 
%\item  pour la sortie du 5, on reçoit $4$~euros ;
%\item  pour la sortie du 4, on reçoit $1$~euro ;
%\item  dans les autres cas on ne reçoit rien.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}

%On appelle gain algébrique d'une partie la différence entre la somme reçue et la mise initiale.

\bigskip
 
\textbf{Partie A}

\begin{enumerate}
\item  %On note $X$ la variable aléatoire qui à l'issue d'une partie associe le gain algébrique.
\begin{enumerate}
\item  %Quelles sont les valeurs prises par $X$ ?
$X$ peut prendre les valeurs : 7 \quad 1 \quad $-2$ \quad $-3$.
\item  %Établir la loi de probabilité de $X$.~

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x_{i}$&7&1&$-2$&$-3$ \\ \hline
$p\left(X = x_{i} \right)$&$1/6$&$1/6$&$1/6$&$3/6$ \\ \hline 
\end{tabularx}

\medskip
\item  Calculer l'espérance mathématique E($X$).
E($X) = 7 \times \dfrac{1}{6} + 1 \times \dfrac{1}{6} + (-2)\times \dfrac{1}{6} + (-3)\times \dfrac{3}{6} = \dfrac{7 + 1 - 2  - 9}{6} = - \dfrac{1}{2} = -0,50$~(\euro).
\item  %Le comité d'organisation prévoit la réalisation de $150$ parties réalisées lors de cette fête.

%Quelle bénéfice peut-il espérer tirer de ce jeu ?
La question précédente montre que le gain moyen par partie (pour les organisateurs) est de 50~centimes. Donc pour 150 joueurs, le gain espéré sera de $150\times 0,50 = 75$~\euro.
\end{enumerate}
\item  %Un joueur se présente, il dispose de $4$~euros.

%Déterminer la probabilité $P$ que ce joueur puisse jouer deux parties.
Il faut qu'après la fin de la première partie le joueur ait au moins 3~\euro, ce qui est le cas si le 6 ou le 5 sont sortis au premier tour, ce qui correspond \`a une probabilité de $\dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$.
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie B}
~
%Le comité d'organisation a décidé en dernière minute de rendre ce jeu équitable.

%La règle du jeu reste identique, seule la mise est changée.
 
%Déterminer cette nouvelle mise $x$ qui rend le jeu équitable.
Le tableau de la loi de probabilité devient :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x_{i}$&$10 - x$&$4 - x$&$1-x$&$-x$ \\ \hline
$p\left(X = x_{i} \right)$&$1/6$&$1/6$&$1/6$&$3/6$ \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

Le jeu est équitable si l'espérance mathématique est nulle donc si :

$(10 - x) \times \dfrac{1}{6} + (4 - x)\times \dfrac{1}{6} + (1 - x)\times \dfrac{1}{6} + (-x)\times \dfrac{3}{6} = 0     \iff   \dfrac{10 + 4 + 1 - x - x - x - 3x}{6} = 0 \iff 15 - 6x = 0 \iff 15 = 6x \iff 5 = 2x \iff x = 2,50$.

Le jeu est équitable si la mise est égale \`a 2,50~\euro.
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}\hfill 11 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

%On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$  par 
%\[f(x) = \text{e}^{-x} +2x - 2.\]
%On note $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal \Oij{} du plan.

%Cette courbe est donnée sur la feuille annexe.
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$.
		On sait que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{-x} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$.
		\item  %Montrer que la droite $(D)$ d'équation $y = 2x - 2$ est asymptote à la courbe $(\mathcal{C})$ en $+ \infty$.
		Soit la fonction $d$ définie sur $\R$ par $d(x) = f(x) - (2x - 2) = \text{e}^{-x}$ ; on a vu que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{-x} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} d(x) = 0$, ce qui montre que la droite $(D)$ d'équation $y = 2x - 2$ est asymptote à la courbe $(\mathcal{C})$ en $+ \infty$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %Montrer  que pour tout réel $x$ on a l'égalité suivante : \[f(x) = \text{e}^{-x}\left(1 + 2x\text{e}^x - 2\text{e}^x\right).\]
On a $f(x) = \text{e}^{-x} +2x - 2 = \text{e}^{-x}\times 1  + 2x\text{e}^{-x}\text{e}^{x} - 2\text{e}^{-x}\text{e}^{x} = \text{e}^{-x}\left(1 + 2x\text{e}^{x} - 2\text{e}^{x} \right)$.
		\item  %En déduire $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x)$ (on utilisera le fait que  $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} x\text{e}^x = 0$).
On sait que $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^{x} = 0$, que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} x\text{e}^{x} = 0$ donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} 1 + 2x\text{e}^{x} - 2\text{e}^{x} = 1$.

Comme $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^{-x} = + \infty$, on obtient par produit de limites $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = + \infty$.

	\end{enumerate}
\item   %Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $\R$.
	\begin{enumerate}
		\item  %Déterminer $f'(x)$ et montrer que pour tout réel $x,~ f'(x) = \dfrac{2\text{e}^x - 1}{\text{e}^x}$.
$f$ est dérivable sur $\R$ et	$f'(x) = - \text{e}^{-x} + 2$.

On a $- \text{e}^{-x} + 2 > 0 \iff 2 > \text{e}^{-x}$ d'o\`u d'après la croissance de la fonction $\ln,~\ln 2 > -x \iff x > - \ln 2$.

On obtient de même que $- \text{e}^{-x} + 2 > 0 \iff x < - \ln 2$.	
%En déduire le signe de $f'(x)$ sur $\R$.

$f'(x) < 0$ sur $]- \infty~;~- \ln 2[$ ;

$f'(x) > 0$ sur $]- \ln 2~;~+ \infty[$.
		\item %Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\R$.
Le minimum de la fonction est égal \`a $f(-\ln 2) = \text{e}^{\ln 2} + 2   \times (- \ln 2)  2 = 2 - 2\ln 2 - 2 = - 2\ln 2$.
On en déduit le tableau de variations suivant :

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3) \psline(0,2)(8,2) \psline(2,0)(2,3)
\uput[u](1,2){$x$} \uput[u](2.5,2){$- \infty$} \uput[u](5,2){$- \ln 2$} \uput[u](7.5,2){$+ \infty$}
\rput(1,1){$f(x)$}\uput[d](2.4,2){$+ \infty$}\uput[d](7.5,2){$+ \infty$}
\psline{->}(2.7,1.7)(4.5,0.3)  \psline{->}(5.5,0.3)(7.4,1.7)
\uput[u](5,0){$-2\ln 2$}
\end{pspicture}

\medskip
	\end{enumerate}
\item  %Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle[0 ;  1].
Sur l'intervalle [0~;~1] la fonction $f$ est croissante, $f(0) = 1 - 0 - 2 = - 1 < 0$ et $f(1) = \text{e}^{-1} + 2 - 2 = \text{e}^{-1} > 0$ ; il existe donc un unique réelle $\alpha \in [0~ ;~1]$ tel que $f(\alpha) = 0$.

La calculatrice donne $f(0,7) \approx -0,10$ et $f(0,8) \approx 0,05$, donc $\alpha \in ]0,7~;~0,8[$.

$f(0,76) \approx -0,012$ et $f(0,77) \approx 0,003$, donc $\alpha \in ]0,76~;~0,77[$.

Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$:
\item %On considère le point A de la courbe $(\mathcal{C})$ d'abscisse $- \ln 3$.
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer la valeur exacte de l'ordonnée du point A.
		On a $f(- \ln 3) = \text{e}^{\ln 3} + 2\times (- \ln 3) - 2 = 3 -2\ln 3 - 2 = 1 - 2\ln 3$.
		\item %On note ($T$)la tangente à la courbe $(\mathcal{C})$ au point A.
		
%Montrer que le coefficient directeur de la droite ($T$) vaut $-1$.
Le coefficient directeur de la tangente ($T$) à la courbe $(\mathcal{C})$ au point d'abscisse $- \ln 3$ est égal au nombre dérivé $f'(- \ln 3)$.

Or on a vu que $f'(x) = - \text{e}^{-x} + 2$, donc $f'(- \ln 3) = - \text{e}^{\ln 3} + 2 = 2 - 3 = - 1$.
	\end{enumerate}
\item  %Sur le graphique donné (feuille annexe), tracer les droites ($D$) et($T$).
Voir plus bas.
\end{enumerate}
 
 \medskip
 
\textbf{Partie B}
\begin{enumerate}
\item  %Vérifier que la fonction $F$ définie sur $\R$ par 
%\[F(x) = -\text{e}^{-x} + x^2 - 2x\]
% est une primitive de $f$ sur $\R$.
$F$ est dérivable sur $\R$ et 

$F'(x) = - \text{e}^{-x} + 2x - 2 = f(x)$.
\item %Soit ($\mathcal{E}$) le domaine du plan délimité par la courbe $(\mathcal{C})$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 1$ et $x = 3$.

%Hachurer le domaine ($\mathcal{E}$).
Voir la figure.

%Soit ($\mathcal{A}$) l'aire du domaine ($\mathcal{E}$) en unités d'aire, calculer la valeur exacte de ($\mathcal{A}$).
On a vu que $f(1) > 0$ et que sur $[1~;~3]$ la fonction $f$ est croissante : donc  l'aire du domaine ($\mathcal{E}$) en unités d'aire est égale \`a l'intégrale :
\[\mathcal{A} = \int_{1}^3 f(x)\:\text{d}x = \left[F(x) \right]_{1}^3 = F(3) - F(1)  \]

Or $F(3) - F(1) = -\text{e}^{-3} + 3^2 - 2\times 3 - \left(-\text{e}^{-1} + 1^2 - 2\times 1 \right) = \text{e}^{-1} - \text{e}^{-3} + 9 - 6 - 1 + 2 = 4 + \text{e}^{-1} - \text{e}^{-3}$~(u. a.).

%Donner une valeur approchée de ($\mathcal{A}$) à $10^{2}$ près.
On obtient $\mathcal{A} \approx 4,32$~(u. a.)
\item  %Calculer la valeur moyenne $\mu$ de $f$ sur [1 ; 3]. Interpréter graphiquement cette valeur.
On sait que $\mu = \dfrac{1}{3 - 1}\displaystyle\int_{1}^3 f(x)\:\text{d}x = \dfrac{1}{2}\mathcal{A} = 2 + \dfrac{1}{2}\left(\text{e}^{-1} - \text{e}^{-3}\right)$.

Cette valeur est la longueur du rectangle de largeur 2 qui a la même aire que $\mathcal{E}$ (voir la figure).
\end{enumerate}
 
 \newpage
 
 \begin{center}\textbf{Annexe à rendre avec la copie} \end{center}
 
 \bigskip  \bigskip  \bigskip
 
 \psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture}(-4,-3)(6,6)
\pscustom[fillstyle=vlines]{
\psplot[linecolor=blue]{1}{3}{2.71828 x neg exp x 2 mul add 2 sub}
\psline(3,0)(1,0)}
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt](0,0)(-4,-3)(6,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-4,-3)(6,6)
\uput[d](6,0){$x$}\uput[l](0,6){$y$}
\psline[linestyle=dashed](0,2.16)(6,2.16)\uput[l](0,2.16){$\mu$}
\psframe[fillstyle=vlines](4,0)(6,2.16)
\uput[dl](0,0){O} \psline[linewidth=1.75pt]{->}(0,0)(1,0) 
\psline[linewidth=1.75pt]{->}(0,0)(0,1) 
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\psplot[linecolor=blue]{-2.58}{3.98}{2.71828 x neg exp x 2 mul add 2 sub}
\psplot[linecolor=red]{-0.5}{4}{x 2 mul  2 sub}\uput[r](0.5,-1){$T$}
\psline{<->}(-2.099,-0.197)(-0.099,-2.197)\uput[dl](-1.5,-0.8){$D$}
\end{pspicture}
 
\end{document} 