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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\small A. P. M. E. P.}
\lhead{\small Baccalauréat  STI Génie électronique, électrotechnique,  optique}%
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2007}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Génie électronique~\decofourright\\Génie électrotechnique, optique\\Métropole  juin 2007}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}

\medskip
 
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv{} d'unité graphique $1$~cm.

On désigne par i le nombre complexe de module $1$ et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.
\begin{enumerate}
\item  Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes l'équation $z^2 + 4z + 16 = 0$.
\item  Pour tout nombre complexe $z$, on pose $P(z) = z^3 - 64$.
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer $P(4)$.
		\item  Trouver les réels $a,\: b$ et $c$ tels que, pour tout nombre complexe $z$,
		
$P(z)=(z - 4)\left(az^2 + bz + c\right)$.
		\item  Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation $P(z) = 0$.
	\end{enumerate}
\item  On considère les points A, B et C d'affixes respectives : z_{\text{A}} = -2 + 2\text{i}\sqrt{3},\: z_{\text{B}} = \overline{z_{\text{A}}}$ et $z_{\text{C}} = 4$.
	\begin{enumerate}
		\item  Établir que $z_{\text{A}}  = 4\text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}}$.
		
		Écrire $z_{\text{B}}$ sous la forme $r\text{e}^{\text{i}\theta}$, où $r$ est un nombre réel strictement positif et $\theta$ un nombre réel compris entre $-\pi$ et $\pi$.
		\item  Placer les points A, B et C dans le plan muni du repère \Ouv.
		\item  Déterminer la nature du triangle ABC.
	\end{enumerate}
\item  On appelle D l'image de A par la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{6}$, et on appelle $z_{\text{D}}$, l'affixe du point D.
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer le module et un argument de $z_{\text{D}}$.
		\item  En déduire la forme algébrique de $z_{\text{D}}$.
		\item  Placer le point D sur le graphique précédent
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\medskip
 
Le personnage virtuel d'un jeu électronique doit franchir un torrent en sautant de rocher en rocher.

Le torrent se présente de la manière suivante (les disques R$_{1}$, R$_{2}$, \ldots,  R$_{17}$, R$_{18}$, représentent les rochers) :

\vspace{0,5cm}
\newpage
%\begin{pspicture}(12,8)
%\psline(0,7)(12,7) \psline(0,-7)(12,-7)
\psset{colsep=0.8cm,rowsep=0.8cm}

\begin{psmatrix}[mnode=circle]
			&			&			& {\Large A}&		&		& [mnode=none]\\
			&R$_{1}$	&			&	&		&R$_{8}$& [mnode=none]\\
			&R$_{2}$	&			&	&R$_{9}$	&R$_{10}$	&R$_{11}$\\
R$_{3}$		&R$_{4}$	&R$_{5}$	&	&			&R$_{12}$	&R$_{13}$\\
			&R$_{6}$	&			&	&R$_{14}$	&R$_{15}$	& [mnode=none]\\
			&R$_{7}$	&			&	&R$_{16}$	&			& [mnode=none]\\
			&			&			&	&			&R$_{17}$	& [mnode=none]\\
			&			&			&	&R$_{18}$	&			& [mnode=none]\\
			&			&			&{\Large B}	&			&			&[mnode=none] \\
\end{psmatrix}
\psset{linestyle=dashed}
\psset{arrows=->}
\ncline{1,4}{2,2}\ncline{1,4}{2,6}\ncline{2,2}{3,2}
\ncline{2,6}{3,5}\ncline{2,6}{3,6}\ncline{2,6}{3,7}
\ncline{3,2}{4,1}\ncline{3,2}{4,2}\ncline{3,2}{4,3}
\ncline{4,3}{4,2}\ncline{4,1}{5,2}\ncline{4,2}{5,2}
\ncline{5,2}{6,2}\ncline{6,2}{9,4}\ncline{3,5}{5,5}
\ncline{5,5}{6,5}\ncline{6,5}{7,6}\ncline{7,6}{8,5}
\ncline{8,5}{9,4}\ncline{3,6}{4,6} \ncline{4,6}{5,5}
\ncline{3,7}{4,7} \ncline{4,7}{5,6} \ncline{5,6}{7,6} 

\vspace*{-20cm}
\psset{linestyle=solid,arrows=-}
\begin{pspicture}(12,10)
\rput(0,4){RIVE}
\rput(0,-10){RIVE}
\psline(0,3.5)(12,3.5)
\psline(0,-9.5)(12,-9.5)
\end{pspicture}

\vspace{10.5cm}

Le personnage virtuel part de A pour aller en B. Il ne peut choisir que les trajets matérialisés par des pointillés et avancer uniquement dans le sens des flèches.
On appelle \og parcours \fg{} une suite ordonnée de lettres représentant un trajet possible.

\textbf{Par exemple :} AR$_{1}$R$_{2}$R$_{3}$R$_{6}$R$_{7}$B est un parcours qui nécessite $6$ bonds.

\emph{Toute probabilité demandée sera donnée sous forme de fraction.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Déterminer les six parcours possibles.
\item  Le joueur choisit au hasard un parcours. On admet que les différents parcours sont équiprobables.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité $p_{1}$ de l'évènement \og le personnage virtuel passe par le rocher R$_{7}$ \fg{}?
		\item 	Quelle est la probabilité $p_{2}$ de l'évènement \og le personnage virtuel passe par le rocher R$_{14}$ \fg{}?
	\end{enumerate}
\item  Chaque bond du personnage virtuel nécessite 2 secondes.\\
On note X la variable aléatoire qui, à chaque parcours, associe sa durée en secondes.
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer les valeurs prises par la variable aléatoire X.
		\item  Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire X.
		\item  Calculer l'espérance mathématique E(X) de la variable aléatoire X.
	\end{enumerate}
\item  Quelle devrait être la durée d'un bond du personnage virtuel pour que la durée moyenne d'un parcours soit égale à 10 secondes ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Problème \hfill 10 points}

\medskip

Le plan	$\mathcal{P}$ est muni d'un repère orthonormal \Oij{} 	d'unité graphique 2~cm.

On s'intéresse dans ce problème à une fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.

On note	$\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan $\mathcal{P}$.

On note $\ln$ la fonction logarithme népérien.

\medskip

\textbf{Partie A : étude d'une fonction auxiliaire}
 
\medskip

 Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par : 

\[g(x) = x^{2} - 1 +  \ln x. \]
 
On désigne par $g'$ la fonction dérivée de la fonction $g$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer $g'(x)$ pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.

En déduire le sens de variation de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
\item Calculer $g(1)$ et en déduire l'étude du signe de $g (x)$ pour $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : détermination de l'expression de la fonction}\boldmath $f$ \unboldmath

\medskip

On admet qu'il existe deux constantes réelles $a$ et $b$ telles que, pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+ \infty[,\: f(x) = ax + b - \dfrac{\ln x}{x}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.

Calculer $f(x)$ pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
\item  Sachant que la courbe $\mathcal{C}$ passe par le point de coordonnées (1 ; 0) et qu'elle admet en ce point une tangente horizontale, déterminer les nombres $a$ et $b$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C : étude de la fonction}~\boldmath $f$ \unboldmath
 
\medskip
On admet désormais que, pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+\infty[$,

\[ f(x) = x - 1 - \dfrac{\ln x}{x}.\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la limite de la fonction $f$ en $0$ et donner une interprétation graphique de cette limite.
		\item  Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
	\end{enumerate}
\item 	
	\begin{enumerate}
		\item  Vérifier que, pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+ \infty[$, 
		
$f'(x) = \dfrac{g(x)}{x^2}$.
		\item  Établir le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
		\item  En déduire le signe de $f(x)$ pour $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}
\item On considère la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = x - 1$.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que la droite $\mathcal{D}$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$.
		\item Étudier les positions relatives de la courbe $\mathcal{C}$ et de la droite $\mathcal{D}$.
		\item Tracer la droite $\mathcal{D}$ et la courbe $\mathcal{C}$ dans le plan $\mathcal{P}$ muni du repère \Oij.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie D : calcul d'aire}
 
\medskip

On note $\mathcal{A}$ la mesure, exprimée en cm$^2$, de l'aire de la partie du plan $\mathcal{P}$ comprise entre la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les  droites d'équations $x = 1$ et $x = \text{e}$.
\begin{enumerate}
\item On  considère la fonction $H$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par $H(x) = (\ln x)^2$.

On désigne par $H'$ la fonction dérivée de la fonction $H$.

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item Calculer $H'(x)$ pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
		\item En déduire  une primitive $F$ de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $\mathcal{A}$.
		\item Donner la valeur de $\mathcal{A}$ arrondie au mm$^2$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}