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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}\lhead{\small Baccalauréat  STI Génie électronique, électrotechnique, optique}
\lfoot{\small{France}}
\rfoot{\small{septembre 2007}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Génie électronique~\decofourright\\ génie électrotechnique,  optique\\ France  septembre 2007}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill}

\medskip

Le plan complexe $\mathcal{P}$ est muni d'un repère orthonormal direct \Oij{} d'unité graphique 1~cm.

On désigne par i le nombre complexe de module 1, d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

\begin{enumerate}
\item  Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes l'équation : 
\[z^2 - 6z + 12 = 0.\]
\item Dans le plan complexe $\mathcal{P}$, on considère les points A et B d'affixes respectives $z_{\text{A}} = 3 + \text{i}\sqrt{3}$ et $z_{\text{B}} = 3 - \text{i}\sqrt{3}$.

	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer le module et un argument de chacun des nombres complexes $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$.
		\item   Placer les points A et B dans le repère \Oij.
	\end{enumerate}
\item On considère le point C, image du point O par la translation de vecteur $\vect{\text{AB}}$.

	\begin{enumerate}
		\item  Placer le point C dans le repère \Oij.
		\item  Déterminer la forme algébrique de l'affixe $z_{\text{C}}$ du point C.
		\item  Démontrer que OC = BC,
		\item  En déduire la nature du quadrilatère OABC.
	\end{enumerate}
\item On considère le point D, image du point A par la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$.

	\begin{enumerate}
		\item  Placer le point D dans le repère \Oij.
		\item   Déterminer la forme algébrique de l'affixe $z_{\text{D}}$ du point D.
		\item   Démontrer que le quadrilatère ABCD est un trapèze ayant deux côtés opposés de même longueur.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill}


\medskip

\emph{Dans cet exercice, les trois questions peuvent être traitées de manière indépendante.}

On désigne par $y$ une fonction de la variable réelle $t$, définie et 2 fois dérivable sur l'ensemble $\R$ des nombres réels, et par $y''$ sa fonction dérivée seconde.
\begin{enumerate}
\item  Résoudre l'équation différentielle:
\[y" + 9y = 0.\]
\item  On désigne par (E) l'équation différentielle:
\[y" + 9y = 8\sin t.\]
	\begin{enumerate}
		\item  On désigne par $A$ un nombre réel quelconque.
		
Vérifier que la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
\[f(t) = - \dfrac{1}{3}\sin (3t) + A\cos (3t) + \sin t.\]
est une solution de l'équation différentielle (E).
		\item  Déterminer le nombre réel $A$ tel que $f\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = 0$.
	\end{enumerate}

\item On considère maintenant la fonction $g$ définie sur $\R$ par :

\[g(t) = - \dfrac{1}{3}\sin (3t) + \dfrac{2}{3}\cos (3t) + \sin t.\]
Calculer la valeur moyenne de la fonction $g$ sur l'intervalle $\left[0~;~\dfrac{\pi}{3}\right]$.
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill}

Ce problème a pour but d'étudier la position relative des courbes représentatives de deux fonctions. On note $\ln$ la fonction logarithme népérien.
		
\medskip
		
\textbf{Partie A. Détermination d'une fonction} \boldmath  $f$ \unboldmath
			
On donne ci-dessous, dans le plan $\mathcal{P}$ muni d'un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 2~cm, la courbe représentative $\mathcal{C}_{f}$ d'une 	fonction $f$ définie sur l'ensemble des nombres réels $\R$.

On suppose que la courbe $\mathcal{C}_{f}$ passe par les points A de coordonnées $(0~;~\ln 3)$, B de coordonnées $(-1~;~0)$ et C de coordonnées $(-2~;~0)$.

\begin{enumerate}
\item  On admet qu'il existe trois nombres réels $a,~ b$ et $c$ tels que, pour 	$x$ réel, \\$f(x) = \ln \left(ax^2 + bx + c\right)$.\\
Calculer $a,~ b$ et $c$.

\medskip

\psset{unit=1.333cm}
\begin{pspicture}(-5,-2)(4,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-5,-2)(4,4)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=4,gridwidth=0.4pt,griddots=10](0,0)(-5,-2)(4,4)
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000]{-5}{4}{x dup mul x 3 mul add 3 add ln}
\uput[d](4,0){$x$}\uput[l](0,4){$y$} \uput[u](3,3){$\mathcal{C}_{f}$}
\end{pspicture}

(Ce graphique n'est pas à l'échelle.)	
		
\item  On admet que la fonction $f$ est définie sur $\R$ par $f(x) = \ln \left(x^2  +3x + 3\right)$ et on désigne par $f'$ sa fonction dérivée.

	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer $f'(x)$ pour tout $x$ réel.
		\item  Démontrer que la fonction $f$ admet un minimum sur $\R$.
		\item  Déterminer la valeur exacte de ce minimum.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}	

\medskip
		
\textbf{Partie B. Étude d'une fonction} \boldmath  $g$ \unboldmath

On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[-1 ~;~ +\infty[$ par :
\[g(x) = \ln \left(\dfrac{10x + 11}{x+2}\right).\]
On note $\mathcal{C}_{g}$ la courbe représentative de la fonction $g$ dans le repère \Oij,   du plan $\mathcal{P}$ et $g'$ sa fonction dérivée sur l'intervalle $[-1 ~;~ +\infty[$
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer $g(- 1)$.
		\item Déterminer la limite de la fonction $g$ en $+\infty$.
		
En déduire que la courbe $\mathcal{C}_{g}$ admet une asymptote $D$ dont on donnera une équation.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  En remarquant que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $[-1 ~;~ +\infty[$ :
\[g(x) = \ln (10x + 11) - \ln(x + 2),\]
justifier que :

\[g'(x) = \dfrac{9}{(10x + 11)(x + 2)}.\]	
		\item  Établir le tableau de variations de la fonction $g$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip
		
\textbf{Partie C. Étude des positions relatives de $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$}
\begin{enumerate}
\item  On pose, pour tout $x$ réel, $P(x) = x^3 + 5x^2 - x - 5$.
		
	\begin{enumerate}
		\item  Vérifier que, pour tout $x$ réel, $P(x) =\left (x^2 - 1\right)(x + 5)$.	
		\item  Résoudre dans $\R$ l'équation $P(x) = 0$.
		\item  Étudier le signe de $P(x)$ pour tout $x$ réel.
	\end{enumerate}
\item On rappelle que la fonction $f$ est définie sur $\R$ par :
$f(x) = \ln \left(x^2 + 3x + 3\right)$
et que la fonction $g$ est définie sur l'intervalle 	$[-1 ~;~ +\infty[$ par 
$g(x) = \ln \left(\dfrac{10x + 11}{x+2}\right)$.

	\begin{enumerate}
		\item  En utilisant les résultats de la question C. 1. b., résoudre dans l'intervalle $[-1 ~;~ +\infty[$ l'équation $f(x) = g(x)$.
		\item  En déduire les coordonnées des points d'intersection des courbes $\mathcal{C}_{f}$
et $\mathcal{C}_{g}$ sur l'intervalle $[-1 ~;~ +\infty[$.
	\end{enumerate}

\item
	\begin{enumerate}
		\item  En utilisant les résultats de la question C. 1. c, résoudre dans l'intervalle $[-1 ~;~ +\infty[$ l'inéquation $f(x) \geqslant  g(x)$.
		\item  En déduire selon les cas la position de la courbe $\mathcal{C}_{f}$ par rapport à la
courbe $\mathcal{C}_{g}$ sur l'intervalle $[-1 ~;~ +\infty[$ ; 
	\end{enumerate}

\item Sur le graphique de la partie A, tracer la droite $D$ et la courbe $\mathcal{C}_{g}$.
\end{enumerate}
\end{document}