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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{A. P. M. E. P. }
\lhead{\small Baccalauréat STI Génie électronique, électrotechnique, optique}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 2007}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Génie électronique Polynésie~\decofourright\\juin 2007}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  %Déterminer trois réels $a,~ b$ et $c$ tels que pour tout nombre complexe $z$ on ait : $z^3  - 8 = (z - 2)\left(az^2 + bz + c\right)$.
$z^3  - 8 = (z - 2)\left(az^2 + bz + c\right) \iff z^3  - 8 = az^3 + bz^2 + cz - 2az^2 - 2bz -  2c \iff z^3  - 8 = az^3 + z^2(b - 2a) + z(c - 2b)   -  2c  \iff \left\{\begin{array}{l c l}
1&=&a\\
0&=&b - 2a\\
0&=&c - 2b\\
-8 &=& -2c
\end{array}\right. \iff$

$ \left\{\begin{array}{l c l}
a&=&1\\
0&=&b - 2\\
0&=&c - 2b\\
c &=& 4
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
a&=&1\\
b&=& 2\\
c&=&4\\
c &=& 4
\end{array}\right.$

%En déduire la résolution dans $\C$ de l'équation $z^3 - 8 = 0$.
On a donc $z^3  - 8 = (z - 2)\left(z^2 + 2z + 4\right)$.
Puis $z^3  - 8 = 0 \iff  (z - 2)\left(z^2 + 2z + 4\right) = 0$ qui a une première solution évidente $2$. 

Rest à résoudre dans $\C$ : $z^2 + 2z + 4 = 0 \iff (z + 1)^2 - 1 + 4 = 0 \iff $

$(z + 1)^2 + 3 = 0 \iff  (z + 1)^2 - \left(\text{i}\sqrt{3} \right)^2 = 0 \iff \left(z + 1 + \text{i}\sqrt{3} \right)\left(z + 1 - \text{i}\sqrt{3} \right) = 0$ qui a deux solutions : $- 1 + \text{i}\sqrt{3}$ et $- 1 - \text{i}\sqrt{3}$.

Conclusion : $z^3  - 8 = 0$ si $z = 2$ ou $z = - 1 + \text{i}\sqrt{3}$ ou $z = - 1 - \text{i}\sqrt{3}$.
\item  %Dans le plan muni d'un repère orthonormal \Ouv{ } (unité 2~cm), on considère les points A d'affixe $z_{\text{A}} = 2$, B d'affixe $z_{\text{B}} = - 1 + \text{i}\sqrt{3}$ et C d'affixe 

%$z_{\text{C}} = - 1 - \text{i}\sqrt{3}$.

	\begin{enumerate}
		\item  %Placer les points A, B et C.
Voir la figure plus bas		
		\item  %Déterminer la nature du triangle ABC. Justifier la réponse.
On a AB$^2 = (-3)^2  + \left(\sqrt{3}\right)^2 = 9 + 3 = 12$ ;

AC$^2 = (-3)^2  + \left(-\sqrt{3}\right)^2 = 9 + 3 = 12$ ;

BC$^2	 = 0^2 + \left(- 2\sqrt{3}\right)^2 = 12.
$^2
 = $ AC$^2 = $ BC$^2 \Rightarrow $ AB = AC = BC : le triangle ABC est équilatéral.
 	\end{enumerate}
\item  %On considère la rotation $R$ de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{6}$ et on appelle A$'$, B$'$ et C$'$ les images respectives de A, B et C par $R$.
	\begin{enumerate}
		\item  %Déterminer les formes exponentielles de $z_{\text{A}},~z_{\text{B}}$, et $z_{\text{C}}$ puis de $z_{\text{A}'},~z_{\text{B}'}$, et $z_{\text{C}'}$.
$z_{\text{A}} = 2 = 2\text{e}^{\text{i}0}$ ; 

$z_{\text{B}} = - 1 + \text{i}\sqrt{3}$, donc $\left|z_{\text{B}} \right|^2 = 1 + 3 = 4 = 2^2 \Rightarrow \left|z_{\text{B}} \right| = 2$.

On peut écrire $z_{\text{B}} = 2 \left(- \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) = 2 \left(\cos \frac{2\pi}{3} + \text{i}\sin  \frac{2\pi}{3}\right) = 2 \text{e}^{\frac{2\text{i}\pi}{3}}$.

De même $\left|z_{\text{C}} \right| = 2$ (car $z_{\text{C}}$ est le conjugué de $z_{\text{B}}$).

Donc $z_{\text{C}} = 2 \left(- \dfrac{1}{2} - \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) = 2 \left(\cos \frac{-2\pi}{3} + \text{i}\sin  \frac{-2\pi}{3}\right) = 2 \text{e}^{\frac{-2\text{i}\pi}{3}}$.

Tout complexe $z$ a pour image par la rotation $R$, le complexe $z'$ tel que : $z' = z\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}$.

Donc $z_{\text{A}'} = $z_{\text{A}}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}} = 2\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}$.

Puis $z_{\text{B}'} = $z_{\text{B}}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}$ = 2 \text{e}^{\frac{2\text{i}\pi}{3}}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}} = 2\text{e}^{\text{i}\frac{5\pi}{6}}$.

De même $z_{\text{C}'} = $z_{\text{C}}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}$ = 2 \text{e}^{\frac{-2\text{i}\pi}{3}}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}} = 2\text{e}^{\text{i}\frac{-\pi}{2}}$.

		\item  %Placer A$'$, B$'$ et C$'$ sur la figure précédente.
Voir la figure.
		\item  %Vérifier que $z_{\text{A}'},~z_{\text{B}'}$, et $z_{\text{C}'}$ sont solutions de l'équation $z^3 = 8\text{i}$.
$\left(z_{\text{A}'}\right)^3 = \left(2\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}} \right)^3 = 2^3 \left(\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}} \right)^3 = 8\text{e}^{\text{i}\frac{3\pi}{6}} = 8\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}} = 8\text{i}$.

$\left(z_{\text{B}'}\right)^3 = \left(2\text{e}^{\text{i}\frac{5\pi}{6}} \right)^3 = 2^3 \left(\text{e}^{\text{i}\frac{5\pi}{6}} \right)^3 = 8\text{e}^{\text{i}\frac{15\pi}{6}} = 8\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}} = 8\text{i}$.

$\left(z_{\text{C}'}\right)^3 = \left(2\text{e}^{\text{i}\frac{-\pi}{2}} \right)^3 = 2^3 \left(\text{e}^{\text{i}\frac{-\pi}{2}} \right)^3 = 8\text{e}^{\text{i}\frac{-3\pi}{2}} = 8\text{e}^{\text{i}\frac{-\pi}{2}} = 8\text{i}$.

Conclusion : $z_{\text{A}'},~z_{\text{B}'}$, et $z_{\text{C}'}$ sont solutions de l'équation $z^3 = 8\text{i}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\psset{unit=2cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-2,-2.2)(2.5,2.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-2,-2.2)(2.5,2.5)
%\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\vect{u}$}
\uput[l](0,0.5){$\vect{v}$}
\uput[dl](0,0){O}
\psdots(2,0)(-1,1.732)(-1,-1.732)(1.732,1)(-1.732,1)(0,-2)%ABCA'B'C'
\uput[ur](2,0){A} \uput[ul](-1,1.732){B} \uput[dl](-1,-1.732){C} \uput[ur](1.732,1){A$'$} \uput[ul](-1.732,1){B$'$} \uput[dl](0,-2){C$'$} 
\pspolygon[linecolor=blue](2,0)(-1,1.732)(-1,-1.732)
\psline(2,0)(0,0)(1.732,1)
\psline(-1,1.732)(0,0)(-1.732,1)
\psline(-1,-1.732)(0,0)(0,-2)
%\SpecialCoor
\psarc[linestyle=dashed](0,0){2}{0}{30}
\psarc[linestyle=dashed](0,0){2}{120}{150}
\psarc[linestyle=dashed](0,0){2}{-120}{-90}
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{Exercice 2 \hfill 4 points}
 
\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

%En 1990, le chiffre d'affaires d'une entreprise A s'élevait à \np{230000} euros.

%Chaque année, ce chiffre d'affaires a augmenté de \np{15000} euros.

\begin{enumerate}
\item  %Calculer le chiffre d'affaires $u_{1}$ en 1991.
$u_{1} = \np{230000} + \np{15000} = \np{245000}$.
\item  %Soit $u_{n}$ le chiffre d'affaires de l'année $1990 + n$. Quelle est la nature de la suite $\left(u_{n}\right)$ ? Préciser le premier terme $u_{0}$ et la raison $a$ de cette suite.
Puisque $u_{n+1} = u_{n} + \np{15000}$, la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite arithmétique de premier terme $u_{0} = \np{230000}$ et de raison $a = \np{15000}$.
\item  %Calculer le chiffre d'affaires en 2006 de l'entreprise A.
Le chiffre d'affaires en 2006 est égal à $u_{16}$.

On sait que $u_{n} = u_{0} + na = \np{230000} + \np{15000}n$, donc $u_{6} = \np{230000} + \np{15000}\times 16 =  \np{230000} + \np{240000} = \np{470000}$.
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

%En 1990, le chiffre d'affaires d'une entreprise B s'élevait à \np{150000} euros.

%Chaque année, ce chiffre d'affaires a augmenté de 7,4\:\%.
\begin{enumerate}
\item  %Calculer le chiffre d'affaires $v_{1}$ en 1991.
On a $v_{1} = \np{150000} \times 1,074 = \np{161100}$.
\item  %Soit $v_{n}$ le chiffre d'affaires de l'année $1990 + n$.

%Justifier que $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $1,074$.
On a donc $v_{n+1} = v_{n} \times 1,074$ : la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $1,074$ et de premier terme $\np{150000}$.
\item  %Calculer le chiffre d'affaires en 2006 de l'entreprise B.
On sait que $v_{n} = v_{0} \times 1,074^n = \np{150000} \times 1,074^n$, donc v_{16} = \np{150000} \times 1,074^{16} \approx \np{470066,997} \approx \np{470067}$~(\euro). 
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{Partie C}

\begin{enumerate}
\item  %Que constate-t-on en 2006 pour les entreprises A et B ?
On constate qu'en 2006, les chiffre d'affaires des deux  entreprises sont à peu près les mêmes.
\item  %En 2006, le chef de l'entreprise B affirme qu'à ce rythme son entreprise aura dans 15 ans, un chiffre d'affaires pratiquement double de celui de l'entreprise A. A-t-il raison ? Justifier.
Il faut comparer $u_{31}$ et $v_{31}$.

$u_{31} =  \np{230000} + \np{15000}\times 31 = \np{695000}$.

$v_{15} = \np{150000} \times 1,074^{31} \approx \np{1371588,96}$.

Le chef de l'entreprise B a raison.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Problème  \hfill 11 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

%Soit $g$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par 
%\[g(x) = x^2 + 3x - 4 + 4\ln x.\]
\begin{enumerate}
\item  %Déterminer les limites de $g$ en $0$ et $+ \infty$.
On a $\displaystyle\lim_{x \to 0} x^2 + 3x = 0$ et 	$\displaystyle\lim_{x \to 0} \ln x = - \infty$, donc $\displaystyle\lim_{x \to 0} g(x) = - \infty$.

En plus l'infini :

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x^2 = \displaystyle\lim_{x \to +\infty}3x = \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \ln x = + \infty$, donc $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} g(x) = + \infty$.
\item  %Soit $g'$ la dérivée de $g$. Montrer que $g'(x) = \dfrac{2x^2 + 3x + 4}{x}$.
$g$ est dérivable sur $]0~;~+\infty[$ et sur cet intervalle :

$g'(x) = 2x + 3 + \dfrac{4}{x} = \dfrac{x(2x + 3)}{x} + \dfrac{4}{x} = \dfrac{2x^2 + 3x + 4}{x}$.
\item  %Dresser le tableau de variations de $g$ sur $]0~;~+ \infty[$.
Puisque $x > 0$, tous les termes de cette dérivée sont positifs, donc $g'(x) > 0$ et la fonction $g$ est donc croissante sur $]0~;~+\infty[$.

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(6,2.5)
\psframe(6,2.5) \psline(0,2)(6,2) \psline(2,0)(2,2.5)
\uput[u](1,2){$x$} \uput[u](2.4,2){$- \infty$} \uput[u](5.6,2){$+ \infty$}
\rput(1,1){$g(x)$}\uput[u](2.4,0){$- \infty$} \uput[d](5.6,2){$+ \infty$}
\psline{->}(2.7,0.3)(5.3,1.7)
\end{pspicture} 
\end{center}

\medskip

\item  %Calculer $g(1)$ et en déduire le signe de $g(x)$ sur $]0~;~+ \infty[$.
$g(1) = 1 + 3 - 4 + 0 = 0$. La fonction $g$ est croissante et s'annule en $1$. Donc :

si $x < 1, ~g(x) < 0$ ; 

si $x > 1,~g(x) > 0$.
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

%Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par 
% \[f(x) = x +  3\ln (x) - \dfrac{4\ln (x)}{x}.\] 
%On appelle $(\mathcal{C})$ la courbe de $f$ dans un repère orthonormal \Oij{} (unité $3$~cm).
\begin{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  %Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.
On sait que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{4\ln (x)}{x} = 0$, les autres termes ont pour limite plus l'infini, donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$.
		\item  %Déterminer la limite de $f$ en $0$ ; on remarquera que $f(x) = x + \left(3 - \dfrac{4}{x}\right)\ln x$.
On peut écrire $f(x) = x +  3\ln (x) - \dfrac{4\ln (x)}{x} = x +  3 \times \ln (x) - \ln (x) \times \dfrac{4}{x} = $

$x + \ln x \left(3 - \dfrac{4}{x} \right)$.

On a $\displaystyle\lim_{x \to + 0} = 0, \displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{4}{x} = + \infty,~\displaystyle\lim_{x \to 0} -\dfrac{4}{x}	 = - \infty, {}\displaystyle\lim_{x \to 0} 	\left(3 - \dfrac{4}{x} \right) = - \infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to 0} \ln x = - \infty$, d'o\`u par produit de limites $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = + \infty$.  
%Que peut-on en déduire ?

Géométriquement ceci montre que la droite d'équation $x = 0$ est asymptote à $(\mathcal{C})$ au voisinage de $0$.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  %Montrer que pour tout $x$ strictement positif $f'(x) = \dfrac{g(x)}{x^2}$.
$f$ est dérivable sur $]0~;~+ \infty[$ et :

$f'(x) = 1 + \dfrac{3}{x} - 4\dfrac{\frac{1}{x}\times x - \ln x}{x^2} = 1 + \dfrac{3}{x} - 4\dfrac{1 - \ln x}{x^2} = \dfrac{x^2 + 3x - 4 +  4\ln x}{x^2} = \dfrac{g(x)}{x^2}$.
		\item  %En utilisant les résultats de la partie A, étudier les variations de $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
On a vu à la partie A question 4, le signe de $g(x)$ et comme $x^2 > 0$, on en déduit que :

si $x < 1$, alors $f'(x) < 0$ : la fonction $f$ est décroissante sur $]0~ ;~1[$ ;

si $x > 1$, alors $f'(x) > 0$ : la fonction $f$ est croissante sur $]1~ ;~+\infty[$
		\item  %Dresser le tableau de variations de $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
		D'o\`u le tableau de variations :
		
\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(8,2.5)
\psframe(8,2.5) \psline(0,2)(8,2) \psline(2,0)(2,2.5)
\uput[u](1,2){$x$} \uput[u](2.2,2){$0$} \uput[u](5,2){$1$}
\rput(1,1){$f(x)$}\uput[d](2.4,2){$+ \infty$} \uput[u](5,2){$1$}\uput[u](7.5,2){$+\infty$}\uput[d](7.5,2){$+\infty$}
\psline{->}(2.7,1.7)(4.4,0.3) \psline{->}(5.6,0.3)(7.2,1.7)
\end{pspicture} 
\end{center}

\medskip
	\end{enumerate}
\item  %On rappelle que pour tout $x$ de l'intervalle $]0~;~+ \infty[,~ f(x)= x + \left(3 - \dfrac{4}{x}\right)\ln x$.

%Donner les solutions dans l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ de l'équation $f(x) = x$.
$f(x) = x \iff x + \left(3 - \dfrac{4}{x}\right)\ln x = x \iff \left(3 - \dfrac{4}{x}\right)\ln x = 0 \iff 3 = \dfrac{4}{x} \iff x = \dfrac{4}{3}$ ou $\ln x = 0 \iff x = 1$.
\item  %Tracer $(\mathcal{C})$ et la droite d'équation $y = x$.
Voir la figure plus bas.
\item  %Interpréter graphiquement le résultat de la question 3.
Graphiquement : les solutions de l'équation $f(x) = x$ sont les abscisses des deux points communs à $\mathcal{C}$ et à la droite d'équation $y = x$ (bissectrice de l'angle formé par les axes de coordonnées).
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  %Montrer que la fonction $F$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par
%\[ F(x) = \dfrac{1}{2}x^2 - 3x + 3x\ln x - 2(\ln x)^2\]
% est une primitive de $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
$F$ est dérivable sur $]0~;~+ \infty[$ et 

$F'(x) = \dfrac{1}{2} \times 2x - 3 + 3\ln x +  3x \times \dfrac{1}{x} - 2 \times 2 \ln x \times \dfrac{1}{x} = x - 3  + 3\ln x + 3 - 4 \dfrac{\ln x}{x} = x   + 3 \ln x  - 4 \dfrac{\ln x}{x} = f(x)$.

$F$ est donc une primitive de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$.
\item  %On considère dans le plan le domaine $(\mathcal{D})$ délimité par la courbe $(\mathcal{C})$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 1$ et $x = $e.

	\begin{enumerate}
		\item  %Hachurer le domaine $(\mathcal{D})$.
Voir plus bas.
		\item  %Calculer l'aire du domaine $(\mathcal{D})$ en unités d'aires puis en cm$^2$. On donnera la valeur exacte puis la valeur approchée arrondie au mm$^2$ près.
On a vu que pour $x \geqslant 1,~f(x) \geqslant 0$, donc l'aire en unité d'aire du domaine $(\mathcal{D})$ est égale à l'intégrale :

$\displaystyle\int_{1}^{\text{e}} f(x) \:\text{d}x = \left[F(x)\right]_{1}^{\text{e}} = F(\text{e}) - F(1) =  
\dfrac{1}{2}\text{e}^2 - 3\text{e} + 3\text{e}\ln \text{e} - 2(\ln \text{e})^2 - 
\left(\dfrac{1}{2}1^2 - 3\times 1 + 3\times 1\ln 1 - 2(\ln 1)^2 \right) = 
\dfrac{\text{e}^2}{2} - 3\text{e} + 3\text{e} - 2 - \dfrac{1}{2} + 3 = \dfrac{1}{2} + \dfrac{\text{e}^2}{2}$~(u. a).

Or l'unité d'aire est égale à $3 \times 3 = 9$~cm$^2$.

L'aire du domaine $(\mathcal{D})$ est donc égale à $9\left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{\text{e}^2}{2} \right)$~cm$^2$ soit $37,75$~cm$^2$ au mm$^2$ près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\psset{unit=3cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-0.25,-0.25)(3,5)
\pscustom[fillstyle=vlines]{
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{1}{2.71828}{x ln 3 mul x add x ln 4 mul x div sub}
\psline(2.71828,0)(1,0)}\psline(1,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.25,-0.25)(3,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.25pt,gridcolor=lightgray](0,0)(3,5)
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}\uput[dl](0,0){O}\uput[d](2.71828,0){e}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{0.455
}{3}{x ln 3 mul x add x ln 4 mul x div sub}
\psline(0,0)(3,3)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=white](1.75,1)(2.25,1.25)\rput(2,1.125){$(\mathcal{D})$}\uput[l](2.718,4.25){$\mathcal{C}$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}