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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{A. P. M. E. P.}
\rhead{\small{Baccalauréat STI Génie mécanique, énergétique, civil}}
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small{juin 2007}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat STI La Réunion 15 juin 2007~\decofourright\\Génie mécanique, énergétique, civil}}
\end{center}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  5 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres  complexes l'équation :

\[ z^2 - 4z\sqrt{3} + 16 = 0.\]

\item Le plan est rapporté au repère \Ouv{} d'unité graphique 2~cm.

On considère les points A et B d'affixes respectives $z_{\text{A}} = 2\sqrt{3} - 2\text{i}$ et 

$z_{\text{B}} = 2\sqrt{3} + 2\text{i}$.

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer le module et un argument de $z_{\text{A}}$ et de $z_{\text{B}}$.
		\item  En déduire une construction des points A et B dans le repère \Ouv.
		\item  Déterminer une mesure en radians de l'angle orienté $\left(\vect{\text{OA}}~;~\vect{\text{OB}} \right)$.
		\item  Déterminer la nature du triangle AOB.
		\item  Soit I le point d'affixe $z_{\text{I}} = \dfrac{4\sqrt{3}}{3}$.
		
Démontrer que I est le centre du cercle circonscrit au
 triangle AOB.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  4 points}

Soit l'équation différentielle (E) :

\[\dfrac{1}{4}y'' + 9y = 0,\]

où $y$ est une fonction deux fois dérivable de la variable réelle $x$.
\begin{enumerate}
\item  Résoudre l'équation différentielle (E).
\item  Trouver la fonction $f$, solution particulière de (E), vérifiant les conditions suivantes :

\[f\left( \dfrac{\pi}{6}\right) = - \dfrac{1}{2}\quad \text{et} \quad f'\left( \dfrac{\pi}{6}\right) = 3 \sqrt{3}.\]

\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Vérifier que, pour tout nombre réel $x,~ f(x) = \cos \left(6x + \dfrac{\pi}{3}\right)$.
		\item  En déduire les solutions, dans l'ensemble $\R$ des nombres réels, de l'équation $f(x) = 0$.
 	\end{enumerate}
\item Calculer la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left[- \dfrac{5\pi}{36}~;~ \dfrac{\pi}{36}  \right]$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill  11 points} 

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthogonal \Oij{} (unités graphiques : 2~cm sur l'axe des abscisses, 1~cm sur l'axe des ordonnées).

\medskip

\textbf{Partie A :  étude d'une fonction auxiliaire}

\medskip

Soit $g$ la fonction définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par : 

\[g(x) = 2\text{e}^{-2x} - 8\text{e}^{-x} - 4x + 6.\]

\begin{enumerate}
\item  Soit $g'$ la fonction dérivée de $g$. Montrer que, pour tout nombre réel $x,$

$g'(x) = - 4\left(\text{e}^{-x} - 1\right)^2$.
\item  Dresser le tableau de variations de la fonction $g$. On ne donnera pas les limites en $-1$ et $+1$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer $g(0)$.
		\item  En déduire le signe de $g(x)$ sur $\R$ .
 	\end{enumerate}
 \end{enumerate}

\medskip 
 
\medskip

\textbf{Partie B : étude de la fonction}
 
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : 

\[f(x) = 2\text{e}^{-2x} - 8\text{e}^{-x} + 6.\]

On désigne par $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le repère \Oij.
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Résoudre dans $\R$ l'équation $f(x) = 0$.
		\item  Donner l'interprétation graphique des solutions trouvées à la question précédente.
 	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Étudier la limite de $f$ en $+1$. En déduire l'existence d'une asymptote $\mathcal{D}$ à la courbe $\mathcal{C}$.
		
On donnera une équation de $\mathcal{D}$.
		\item Vérifier que, pour tout nombre réel $x,~  f(x) = \text{e}^{-2x}\left(2 - 8\text{e}^{x} + 6\text{e}^{2x}\right)$.
		
En déduire la limite de $f$ en $-1$.
 	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la dérivée $f'$ de $f$. Montrer que, pour tout nombre réel $x,\: f'(x)$ est du même signe que $\left(-\text{e}^{-x} + 2\right)$.
		\item Dresser le tableau de variation de $f$. On précisera la valeur exacte de $f(- \ln 2)$.
		\item Donner une équation de la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$.
		\item En utilisant les résultats de la partie A, étudier les positions relatives de la droite $\mathcal{T}$ et de
 la courbe $\mathcal{C}$.
		\item Tracer les droites $\mathcal{T}$ et $\mathcal{D}$, puis la courbe $\mathcal{C}$.
 	\end{enumerate}
 \end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{Partie C : primitive et calcul d'aire}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Déterminer une primitive $F$ de la fonction $f$.
\item  Hachurer la partie $\mathcal{E}$ du plan comprise entre l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}$, et les droites
 d'équations $x = - \ln 3$ et $x = 0$.
\item  Calculer, en cm$^2$, la valeur exacte de l'aire de la partie $\mathcal{E}$ ; en donner une valeur approchée au mm$^2$ près par défaut.
\end{enumerate}
\end{document}