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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
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\begin{document}
\lhead{\small Baccalauréat STI  Génie mécanique, énergétique, civil}%
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 2007}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat STI Polynésie  juin 2007~\decofourright\\Génie mécanique, énergétique, civil}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  5 points}
 
\medskip

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. L'unité graphique est $2$~cm.

On note i nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Pour tout nombre complexe  $z$, on pose : 

\[P(z) = z^3 + \left(2\sqrt{2} - 4\right)z^2 + \left(8 - 8 \sqrt{2}\right)z + 16\sqrt{2}.\]

	\begin{enumerate}
		\item  Calculer $P(-2\sqrt{2})$.
		\item  Déterminer une factorisation de $P(z)$ sous la forme :
		
$P(z)= \left(z + 2\sqrt{2}\right)\left(z^2 + \alpha z+\beta\right)$ où $\alpha$ et $\beta$ sont deux nombres réels que l'on déterminera.
		\item  Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation : $P(z) = 0$.
	\end{enumerate}
\item  On note A, B et C les points d'affixes respectives : $a = 2 + 2\text{i},\: b = 2 - 2\text{i}$ et 

$c = -2\sqrt{2}$.
	\begin{enumerate}
		\item  Placer les points A, B et C dans le repère \Ouv.
		
Démontrer que A, B, C sont sur un même cercle $\Gamma$ de centre O, dont on donnera le rayon. 
		\item  Déterminer un argument du nombre complexe $a$ puis un argument du nombre complexe $b$.

En déduire une mesure en radian de l'angle $\left(\vect{\text{OB}},~\vect{\text{OA}}\right).$
		\item  Déterminer alors une mesure en radian de l'angle $\left(\vect{\text{CB}},~\vect{\text{CA}}\right).$.
		\item  Démontrer qu'une mesure de l'angle $\left(\vect{\text{AC}},~\vect{\text{AB}}\right)$ est $\dfrac{3\pi}{8}.$
		\item  En déduire l'égalité : $\tan \left(\dfrac{3\pi}{8} \right) = 1 +\sqrt{2}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  4 points}

\medskip

Pour former une pièce métallique à partir d'un profilé de $2$~centimètres d'épaisseur, on utilise un marteau pilon.

Le marteau pilon frappe toutes les 6 secondes, et à chaque coup, l'épaisseur de métal diminue de 2\,\%.
 
On note $u_{n}$ ($n$ entier naturel) l'épaisseur en millimètres de la pièce après $n$ frappes de marteau pilon.
  
On a donc $u_{0} = 20$.
\begin{enumerate}
\item  Calculer $u_{1},~ u_{2}$ et $u_{3}$. On donnera les résultats arrondis au centième de millimètre.
\item  Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est géométrique, et préciser sa raison.
\item  Déterminer $u_{n}$ en fonction de l'entier $n$.
\item  Quelle est l'épaisseur, arrondie au centième de millimètre, de la pièce après $10$~frappes ?
\item  On considère que la pièce est terminée dès que son épaisseur est inférieure à $14$~millimètres.

Quel est le temps minimal pour que la pièce soit terminée ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill  11 points}

\medskip
 
Le plan est rapporté au repère orthonormal \Oij. (L'unité graphique est $2$~cm).

Le but du problème est l'étude de la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par 

\[f(x) =  x - 1 + \dfrac{2}{x}- \dfrac{2 \ln (x)}{x}\]

puis de calculer une aire.

\medskip

\textbf{I. Étude d'une fonction auxiliaire} \boldmath $g$
 \unboldmath
 
\medskip

On note $g$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par :

\[ g(x) = x^2  - 4 + 2 \ln (x).\]

\begin{enumerate}
\item Calculer la fonction dérivée $g'$ de la fonction $g$.
\item Déterminer le sens de variation de la fonction $g$. (On ne demande pas les limites en $0$ et en $+ \infty$).
\item Résolution de l'équation $g(x) = 0$.
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que sur l'intervalle [1~;~2] l'équation $g(x) = 0$ possède une solution unique $\alpha$. 
		\item Donner un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de ce nombre $\alpha$.
	\end{enumerate}
\item Déduire de ce qui précède le signe de $g(x)$ suivant les valeurs de $x$, dans l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{II. Étude de la fonction} \boldmath $f$ \unboldmath

\medskip

Soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans le repère \Oij.

\begin{enumerate}
\item  Déterminer la limite de $f$ en $0$. Qu'en déduit-on pour la courbe $\mathcal{C}$ ?
\item  Etude en $+ \infty$.
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$. 
		\item  Démontrer que la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = x - 1$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$.
		\item  Déterminer les coordonnées du point A commun à la courbe $\mathcal{C}$ et à la droite $\mathcal{D}$. 
		\item  Étudier la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à la droite $\mathcal{D}$.
	\end{enumerate}
\item  Étude des variations de $f$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$. Vérifier que pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+\infty[~ :~f'(x)= \dfrac{g(x)}{x^2}$, où $g$ est la fonction étudiée dans la partie I.
		\item En utilisant les résultats de la partie I, dresser le tableau des variations de la fonction $f$
	\end{enumerate}
\item  On note $\mathcal{T}$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $\text{e}^2$. Montrer que $\mathcal{T}$ est parallèle à l'asymptote $\mathcal{D}$.
\item  Dans le repère \Oij. tracer la droite $\mathcal{D}$, la tangente $\mathcal{T}$ et la courbe $\mathcal{C}$ à l'aide de l'étude précédente. (On prendra $f(\alpha) \approx  1,25$.)
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{III. Calcul d'une aire}

\medskip

On définit sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ la fonction $H$ par :

\[H(x) = \dfrac{x^2}{2} - x + 2\ln x - (\ln x)^2$.

\begin{enumerate}
\item  Démontrer que $H$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
\item  Soit la région du plan limitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 1$ et $x = $e.
	\begin{enumerate}
		\item  Hachurer la région sur votre figure. 
		\item  On note $S$ l'aire, exprimée en unité d'aire, de la région $S$. Déterminer la valeur exacte de $S$. 
\item  Donner la valeur décimale approchée de cette aire, arrondie au mm$^2$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}