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\begin{document}
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\lhead{\small Baccalauréat STI}
\rhead{\small Génie mécanique, énergétique, civil}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{septembre 2007}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Polynésie  septembre 2007 ~\decofourright\\Génie mécanique, énergétique, civil}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  5 points}

\medskip

Le plan complexe est rapporté à un  repère orthonormal direct \Ouv. L'unité graphique est $1$~cm.

On note i le nombre complexe de module $1$ et d'argument $\dfrac{\pi}{2}.$

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation :

\[ z^2 + 4z + 16 = 0.\]

\item  On note A, B, C, D et E les points du plan d'affixes respectives :

\[a = - 2 + 2\text{i}\sqrt{3}\quad ; \quad b = \overline{a}\quad ; \quad c = 7 + \text{i}\sqrt{3}\quad ; \quad d = 7 + 5\text{i}\sqrt{3}\quad ; \quad e = - \dfrac{1}{2}a \]

	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que $b - a = c - d$ ; en déduire que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.
		\item Calculer le module et un argument de chacun des nombres $a,~ b$ et $e$.
		\item Démontrer l'égalité : $e - c = \dfrac{2}{3}(b - c)$. En déduire que les points B, C et E sont alignés.
	\end{enumerate}
\item  Utiliser les résultats précédents pour placer les points A, B et E dans le repère \Ouv, puis terminer la construction du quadrilatère ABCD en laissant apparents les traits de construction.
\item  On note F le point d'affixe : $f = - 2 - 6 \text{i}\sqrt{3}$.

Démontrer que le point B est le milieu du segment [AF].

En déduire le centre de gravité du triangle ACF.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  4 points}

\medskip

On considère l'équation différentielle 

\[(\text{E}) : \quad  y' - \dfrac{1}{2}y  = \dfrac{1}{4}x - \dfrac{1}{2},\]

où $y$ est une fonction inconnue de la variable $x$, dérivable sur l'ensemble $\R$ des nombres réels.

\medskip

\parbox{0.5\linewidth}{\begin{enumerate}
\item  Résoudre l'équation différentielle : $y' - \dfrac{1}{2}y  = 0$.
\item  On considère la fonction $f$ définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par :

\[ f(x) = \text{e}^{\frac{1}{2}x} - \dfrac{1}{2}x.\]

Vérifier que $f$ est solution de l'équation (E)
\item  On a dessiné ci-contre la courbe $\mathcal{C}$ représentative de la fonction $f$, précédemment définie, dans un repère orthonormé \Oij, pour les valeurs de $x$ comprises entre 0 et 2.

On note $\mathcal{K}$ le solide engendré par la rotation de la courbe 
$\mathcal{C}$ autour de l'axe des abscisses.
	\begin{enumerate}
		\item  On note $h$ la fonction définie sur $\R$ par : $h(x) = x\text{e}^{\frac{1}{2}x}$,  et $H$ la fonction définie sur $\R$ par : 
		H(x) = 2\text{e}^{\frac{1}{2}x}(x - 2)$.
		
Démontrer que $H$ est une primitive de $h$ sur $\R$.
		\item Calculer la valeur exacte du volume $\mathcal{V}$ du solide $\mathcal{K}$, exprimée en unités de volume.
		
(On rappelle que 

$\mathcal{V} =  \pi \displaystyle\int_{0}^2  [f(x)]^2\: \text{d}x$.)
	 \end{enumerate}
\end{enumerate}} \hfill 
\parbox{0.45\linewidth}{\psset{unit=1.75cm}\begin{pspicture}(2.2,2.2)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(2.25,2.25)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){O} \uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){\vect{\jmath}$}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{2}{2.71828 0.5 x mul exp 0.5 x mul sub}
\uput[u](1,1.1){$\mathcal{C}$}
\psline[linestyle=dashed](2,0)(2,1.71828)	 
	 \end{pspicture}}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill  11 points}

\medskip
 
Le plan est rapporté au repère orthogonal \Oij. (Unités graphiques : $3$~cm en abscisses et $2$~cm en ordonnée.)

Le but du problème est l'étude de la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]-1~;~+\infty[$ par :

\[ f(x) = \dfrac{x^3}{(x+1)^2},\]

et de calculer une aire.

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans le repère \Oij.

\textbf{I. Étude du comportement asymptotique de la fonction} \boldmath $f$\unboldmath

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Soit $h$ la fonction définie sur l'intervalle $]-1~;~ +\infty[$ par : 
\[h(x) = \dfrac{3x+2}{x^2 +2x + 1}.\]
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que, pour tout réel $x$ non nul appartenant à l'intervalle	$]-1~;~+\infty[$ :  $h(x)= \dfrac{3 + \dfrac{2}{x}}{x + 2 + \dfrac{1}{x}}$.
		\item En déduire la limite de $h$ en $+\infty$.
	\end{enumerate}
\item Mise en évidence d'une asymptote oblique. 
	\begin{enumerate}
		\item  Vérifier que,pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $]-1~;~+\infty[$ :
		
$f(x) = x - 2 + h(x)$, où $h$ est la fonction définie dans la question précédente.
		\item Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.
		\item Montrer que la droite ($\Delta$), d'équation : $y =  x - 2$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$.
		\item Étudier la position de $\mathcal{C}$ par  rapport à la droite ($\Delta$).
	\end{enumerate}
\item Déterminer la limite de $f$ en $- 1$ et en déduire que $\mathcal{C}$ a une asymptote ($\Delta'$) dont on donnera une équation.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{II. Étude des variations de \boldmath $f$ \unboldmath et tracé de  \boldmath$\mathcal{C}$ \unboldmath}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Montrer que le point O appartient à $\mathcal{C}$.
\item  Montrer que, pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $]-1~;~ +\infty[$ : 

$f'(x) = \dfrac{x^2(x + 3)}{(x + 1)^3}$.

En déduire le sens de variations de $f$ sur l'intervalle $]-1~;~ +\infty[$.
\item  Donner une équation de la tangente à la courbe ($\mathcal{C}$) au point O.
\item  Tracer la courbe ($\mathcal{C}$) et les deux asymptotes ($\Delta$) et ($\Delta'$) dans le repère \Oij.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{III. Calcul d'aire}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Soit $H$ la fonction définie sur l'intervalle  $]-1~;~ +\infty[$ par  : 
\[H(x) = \dfrac{1}{x + 1} + 3\ln (x + 1).\]
Montrer que $H$ est une primitive de la fonction $h$ sur l'intervalle $]-1~;~ +\infty[$.
\item  On désigne par $\mathcal{S}$ le domaine limité par $\mathcal{C},~ (\Delta)$, et les droites d'équations $x = 2$ et $x = 4$.
	\begin{enumerate}
		\item Hachurer le domaine $\mathcal{S}$ sur le dessin.
		\item Calculer, en unité d'aire, la valeur exacte de l'aire $\mathcal{A}$ du domaine $\mathcal{S}$.
		\item En déduire l'aire en cm$^2$, arrondie au mm$^2$, du domaine $\mathcal{S}$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}