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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\small A. P. M. E. P.}
\lhead{\small Baccalauréat STI  Génie des matériaux, mécanique }
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2007}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Métropole juin 2007~\decofourright \\Génie des matériaux, mécanique B, C, D, E }}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 4 points}
 
\medskip

Une entreprise fabrique des plaquettes de métal. Pour cela elle utilise deux machines, une qui les ajuste en longueur et une autre qui les ajuste en largeur.

Les machines sont programmées pour donner des plaquettes de 2,5 cm sur $1,5$~cm. Des erreurs de manipulation peuvent conduire à des dimensions non conformes : une longueur de $2,6$~cm au lieu de $2,5$~cm ; une largeur de $1,6$~cm au lieu de $1,5$~cm.
 
\medskip
 
Afin de vérifier la conformité de ces plaquettes, on procède à deux tests : un test sur la longueur et un test sur la largeur. On effectue les deux tests sur $100$~plaquettes et on obtient :
 
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] 20 plaquettes ont une longueur de $2,6$~cm ;
\item[$\bullet~$] 18 plaquettes ont une largeur de $1,6$~cm ;
\item[$\bullet~$] 5 plaquettes ont une dimension de $2,6$~cm sur $1,6$~cm.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
On prélève au hasard une plaquette parmi les $100$. Elles ont donc toutes la même probabilité d'être choisies.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau des effectifs suivant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\hline
&Largeur conforme 1,5& 	Largeur non conforme 1,6	&Total\\ \hline
Longueur conforme 2,5&&& \\ \hline
Longueur non conforme 2,6&&	5&	20\\ \hline
Total&&&100\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip

\item  
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité qu'une plaquette prélevée au hasard soit conforme à ce que veut l'entreprise ?
		\item 	Quelle est la probabilité qu'une plaquette prélevée au hasard ait exactement une de ses dimensions non conforme ?
	\end{enumerate}
\item 	Soit $X$ la variable aléatoire qui à chaque plaquette prélevée au hasard associe le nombre de ses dimensions non conformes.
	\begin{enumerate}
		\item  Donner les valeurs possibles de $X$.
		\item  Donner la loi de probabilité de $X$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 5 points}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes l'équation d'inconnue $z$

\[z^2 - 2z + 4 = 0.\]

On donnera les solutions sous forme algébrique puis, pour chacune d'elles, le module et un argument.
\item  Le plan est muni d'un repère orthonormé \Ouv{} d'unité graphique $2$~cm. On note A, B et C les points du plan ayant pour affixes respectives :

\[z_{\text{A}} = 1 - \text{i}\sqrt{3},\quad z_{\text{B}} = 2 \:\:\text{et}\:\: z_{\text{C}}	= 1 + \text{i}\sqrt{3}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Placer les points A, B et C dans le plan complexe.
		\item Montrer que les triangles OAB et OBC sont équilatéraux.
		\item Soient D, E et F les points tels que le polygone ABCDEF soit un hexagone régulier. Construire les points D, E et F sur la figure commencée dans la question 2 a.
		
\emph{ On rappelle qu'un hexagone est un polygone à $6$ côtés.}
		\item Calculer le produit des affixes des $6$ sommets de cet hexagone régulier.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{Problème  \hfill 11 points}

\medskip

Soit la fonction $f$ définie sur l'ensemble des nombres réels $\R$ par

\[f(x) = \text{e}^{-x} + 2x - 3.\]

Soit $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de $f$ dans le plan muni d'un repère orthogonal \Oij{} d'unités graphiques $2$~cm en abscisse et $1$~cm en ordonnée.

\begin{enumerate}
\item  \textbf{Limites aux bornes}
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $- \infty$.\\
	On pourra établir au préalable que. pour tout nombre réel $x,~\\
 f(x) = \text{e}^{-x}\left(1 + 2x\text{e}^{x} - 3\text{e}^{x}\right)$.
	\end{enumerate}
\item  \textbf{Asymptote oblique}
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la droite $(\mathcal{D})$ d'équation $y = 2x - 3$ est asymptote à la courbe $(\mathcal{C})$.
		\item Étudier la position relative de la droite $(\mathcal{D})$ par rapport à la courbe $(\mathcal{C})$.
	\end{enumerate}
\item  \textbf{Étude des variations de la fonction}\boldmath  $f$ \unboldmath
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout nombre réel $x,~ f'(x) = \dfrac{2\text{e}^{x} - 1}{\text{e}^{x}}$ où $f'$ est la dérivée de la fonction $f$.
		\item Résoudre dans $\R$ l'équation d'inconnue $x,~ f(x) = 0$.
		\item Étudier le signe de la dérivée $f'$ de la fonction $f$ sur $\R$.
		\item Établir le tableau de variations de la fonction $f$.
		\item Calculer $f(1)$ et déterminer le signe de $f(x)$ pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle [0 ; 1].
	\end{enumerate}
\item Tracer la droite $(\mathcal{D})$ et la courbe $(\mathcal{C})$ dans le repère \Oij.
\item Calculer l'aire $(\mathcal{A})$ en cm$^2$ de la partie du plan délimitée par la courbe $(\mathcal{C})$, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = 1$. On donnera la valeur exacte de $(\mathcal{A})$, puis la valeur arrondie à $10^{-2}$.
\item Contrôler l'ordre de grandeur du résultat de la question précédente en calculant l'aire en cm$^2$ de la surface d'un ou deux trapèzes que l'on précisera.
\end{enumerate}
\end{document}