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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\small A. P. M. E. P.}
\lhead{\small Baccalauréat STI Génie des matériaux, mécanique}
\lfoot{\small Nouvelle--Calédonie }
\rfoot{\small{novembre 2001}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat STI Nouvelle--Calédonie~\decofourright\\Génie des matériaux, mécanique  novembre 2001}

\end{center} 

\subsection*{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}


\begin{enumerate} 
\item Résoudre l'équation différentielle suivante :

\[(\text{E}) \qquad  y'' + 9y = 0.\]

où $y$ est une fonction numérique de la variable réelle $x$ deux fois 
dérivable sur $\R$.
\item Déterminer la solution particulière $f$ de l'équation (E) qui vérifie :

\[f(0) = \sqrt{2} \quad \text{et} \quad  f'\left(\dfrac{\pi}{3}\right) 
= 3\sqrt{2}.\]

\item Montrer que, pour tout réel $x,~f(x) = 2\cos \left(3x + 
\dfrac{\pi}{4}\right)$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre sur l'intervalle $[0~;~ 2\pi[$ 
l'équation $f(x) = - \sqrt{2}$.
		\item Représenter les solutions de cette équation sur le cercle 
trigonométrique.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\subsection*{\textsc{Exercice 2 } \hfill 5 points}

\medskip

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal \Ouv{} d'unité 
graphique $2$~cm, on considère les points A, B et C d'affixes respectives 
$z_{\text{A}},~z_{\text{B}}$ et $z_{\text{C}}$ définies par :

\[z_{\text{A}} =2 + 2\text{i}\quad ;\quad  z_{\text{B}} = -2 + 
2\text{i}\quad ;\quad  z_{\text{C}} = -\sqrt{3} + \text{i}.\]

où i désigne le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer le module et un argument de chacun des nombres complexes $z_{\text{A}},~z_{\text{B}}$  et  $z_{\text{C}}$.

		\item Placer de façon précise les points A, B et C dans le repère \Ouv.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $\left|z_{\text{A}} - 
z_{\text{B}}\right|^2,~ \left|z_{\text{B}} - z_{\text{C}}\right|^2$ et
$\left|z_{\text{A}} - z_{\text{C}}\right|^2$, puis interpréter 
géométriquement les trois modules.
		\item En déduire la nature du triangle ABC.
	\end{enumerate}
\item On considère la rotation R de centre O et d'angle $- \dfrac{\pi}{3}$. Pour tout point $M$ du plan, on désigne par $M'$ l'image de $M$ par la rotation  R : $M' = \text{R}(M)$. Les affixes respectives de 
$M$ et $M'$ sont notées $z$ et $z'$.
	\begin{enumerate} 
		\item Exprimer $z'$ en fonction de $z$.
		\item Soit A$' $ = R(A), Calculer sous forme exponentielle l'affixe 
$z_{\text{A}'}$ du  point A$'$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Préciser le module et un argument de $z_{\text{A}'}$.
		\item Déterminer la forme algébrique de $z_{\text{A}'}$.
		\item Déduire des questions \textbf{a.} et \textbf{b.} les valeurs exactes de $\cos \left(\dfrac{\pi}{12}\right)$ et $\sin \left(\dfrac{\pi}{12}\right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\subsection*{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par :

\[g(x) = (x-3)\text{e}^{-x} - 1.\]

\begin{enumerate} 
\item Étudier les variations de $g$. (On ne demande pas les
 limites en  $+ \infty$ et en $- \infty$.

\item Calculer $g(4)$ et en déduire le signe de $g$ sur $\R$.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie  B}

\medskip

Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par 

\[f(x) = (2 - x)\text{e}^{-x} - x + 3.\]
et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère
 orthonormal \Oij{}  d'unité graphique $2$~cm.

\begin{enumerate} 
\item Calculer les limites de la fonction $f$ en $+ 
\infty$ et en $- \infty$.
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer la dérivée $f'$ de la fonction $f$.
		\item Déduire à l'aide de la \textbf{partie A} les variations de la fonction $f$.
		\item Dresser le tableau des variations de la fonction $f$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que la droite $\mathcal{D}$ d'équation 
$y = - x + 3$  est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$  en $+ \infty$.
		\item Étudier, suivant les valeurs de $x$, la position de $\mathcal{C}$ par rapport à la droite $\mathcal{D}$.
\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une 
solution unique $\alpha$, appartenant à l'intervalle [2~;~3].
		\item Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-1}$.
	\end{enumerate}
\item Tracer la droite $\mathcal{D}$ et la courbe $\mathcal{C}$ dans le plan
 muni du repère orthonormal \Oij.
\item La fonction $h$ est définie sur $\R$ par $h(x) = (2 - x)\text{e}^{-x}$.

Déterminer les réels $a$ et $b$ pour que la fonction $H$ définie 
par \mbox{$H(x) = (ax + b)\text{e}^{-x}$} soit une primitive de la fonction $h$ 
sur $\R$.
\item Soit $t$ un réel supérieur à 2.

Déterminer, en fonction de $t$, l'aire $\mathcal{A}(t)$ en cm$^2$ de la partie du plan comprise entre la courbe $\mathcal{C}$, la droite $\mathcal{D}$ et les droites d'équation $x = 2$ et $x = t$.

Déterminer $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} \mathcal{A}(t)$.
\end{enumerate}
\end{document}