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% Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\small Baccalauréat STI  Génie des matériaux, mécanique }
\lhead{A. P. M. E. P.}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{septembre 2007}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Antilles--Guyane septembre 2007~\decofourright\\Génie des matériaux, mécanique B, C, D, E }}
    
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 6 points}

\medskip

%Dans un atelier, deux machines M$_{1}$ et
%M$_{2}$ produisent le même type de pièces.

%La machine M$_{1}$ fournit les $\dfrac{4}{5}$ de la production.

%Parmi les pièces produites, certaines sont défectueuses. C'est le cas pour $5$\:\% de celles produites par M$_{1}$ et $4$\:\% de celles produites par M$_{2}$.

\begin{enumerate}
\item %L'atelier produit \nombre{1000} pièces par jour. Reproduire et compléter le tableau d'effectif suivant.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}|c|}\cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{}&Nombre de pièces	 produites par M$_{1}$&Nombre de pièces	 produites par M$_{2}$&Total\\ \hline
Nombre de pièces	défectueuses		&40	&	8	&48\\ \hline
Nombre de pièces non défectueuses&760	&192	&952\\ \hline
Total	&800		&200		&	\nombre{1000}\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item 	%On choisit au hasard une pièce parmi la production totale de l'atelier d'un jour donné.

%Calculer la probabilité des évènements suivants
	\begin{enumerate}
		\item  %A : \og la pièce choisie est produite par M1 \fg.
Cette probabilité est donnée par l'énoncé : $p(\text{A}) = \dfrac{4}{5}= 0,8$.
		\item  %B : \og la pièce choisie est défectueuse \fg.
$p(\text{B}) = \dfrac{48}{\nombre{1000}} = 0,048$.
		\item 	%On sait que la pièce choisie a été produite par M$_{1}$. Quelle est la probabilité qu'elle ne soit pas défectueuse ?
Il faut trouver $p_{\text{M}_{1}}(\overline{\text{B}}) = \dfrac{p\left(\text{M}_{1} \cap \overline{\text{B}} \right)}{p\left(\text{M}_{1}\right)} = \dfrac{760}{800} = \dfrac{19}{20} = 0,95$.
	 \end{enumerate}
\item 	%En sortie de chaîne de production chaque pièce coûte 38 \euro{} à l'atelier. Les pièces qui sont défectueuses doivent être réparées pour être mises sur le marché. La réparation 	coûte 4,30~\euro{} pour une pièce fabriquée par M$_{1}$ et $4,50$~\euro{} pour une pièce fabriquée par M$_{2}$.

%Soit X la variable aléatoire qui à chaque pièce associe son coût de revient.
	\begin{enumerate}
		\item  %Quelles sont les trois valeurs prises par X  ?
X peut prendre les valeurs : $38 \quad 42,30 \quad 42,50$.
		\item  %Donner la loi de probabilité de X.
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x_{i}$&38&42,30&42,50\\ \hline
$p\left(X = x_{i} \right)$&0,952&0,04&0,008 \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
		\item  %Calculer E(X), espérance mathématique de X.
On a E(X) $ =  38 \times 0,952 + 42,30 \times 0,04 + 42,50 \times 0,008 = 38,208$.
		\item 	%Quel doit être, au centime près, le prix minimal de vente d'une pièce pour que l'atelier ne vende pas à perte ?
L'espérance précédente correspond au prix moyen de revient pour un grand nombre de pièces produites ; pour ne pas vendre à perte il faut fixer le prix de vente à au moins 38,21~\euro. 	
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 4 points}

%On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
\[ f(x) = \text{e}^{2x} - \text{e}^{x} -6.\]
% On note $f'$ sa fonction dérivée sur $\R$.

\begin{enumerate}
\item  \begin{enumerate}
\item  %Calculer $f'(x)$ et montrer que l'on a pour tout nombre réel $x,$
$f$ est une somme de fonctions dérivables sur $\R$. On a :

$f'(x) = 2\text{e}^{2x} - \text{e}^{x} = \text{e}^{x}\left(2\text{e}^{x} - 1 \right)$.

 $f'(x) =  \text{e}^{x}\left(2\text{e}^{x}  - 1\right)$.
\item  %Étudier les variations de la fonction $f$ sur $\R$.
Quel que soit le réel $x,~\text{e}^{x} > 0$ ; le signe de $f'(x)$ est donc celui de $2\text{e}^{x}  - 1$.

Or $2\text{e}^{x}  - 1 > 0 \iff 2\text{e}^{x} > 1 \iff \text{e}^{x} > \dfrac{1}{2} \Rightarrow x > \ln \left(\dfrac{1}{2} \right) \iff x > - \ln 2$, et de m\^eme $2\text{e}^{x}  - 1 < 0$ si $x < - \ln 2$.




 \end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la limite de la fonction $f$ en $-\infty$.
On sait que $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^{x} = 0$.

Comme $f(x) = \text{e}^{x}\left(2\text{e}^{x} - 1 \right) - 6$, on en déduit que $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = - 6$.
		\item %Calculer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$ (on pourra mettre en facteur le nombre $\text{e}^{x}$ dans l'expression de $f(x)$).
Toujours en utilisant l'écriture précédente et compte tenu que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{x} = + \infty$, on conclut que  $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  %Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ en précisant les limites de $f$.
D'après la question 1. b., la fonction est  décroissante sur $\left]- \infty~;~- \ln 2\right[$ et croissante sur $\left]- \ln 2~ ;~+ \infty\right[$. D'o\`u le tableau de variations :

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3)\psline(0,2)(8,2) \psline(2,0)(2,3)
\uput[u](1,2){$x$}\uput[u](2.5,2){$-\infty$}\uput[u](5,2){$- \ln 2$}\uput[u](7.6,2){$+ \infty$}\rput(1,1){$f(x)$}
\psline{->}(2.6,1.7)(4.4,0.3) \psline{->}(5.5,0.3)(7.3,1.7)
\uput[d](2.2,2){$-6$} \uput[d](7.6,2){$+ \infty$}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip
		\item 	%Écrire le calcul qui montre que le minimum de la fonction $f$ sur $\R$ est égal à $\dfrac{-25}{4}$.
		D'après le tableau le minimum de la fonction est $f(-\ln 2) = \text{e}^{2\times (- \ln 2)} - \text{e}^{- \ln 2} - 6 = \dfrac{1}{\text{e}^{2\ln 2}} - \dfrac{1}{\text{e}^{\ln 2}} - 6 = \dfrac{1}{\text{e}^{\ln 4}} - \dfrac{1}{\text{e}^{\ln 2}} - 6 = \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{2} - 6 = - \dfrac{1}{4} - 6 = - \dfrac{25}{4}$.
		\item 	%D'après le tableau de variation de la fonction $f$, quel est le nombre de solutions sur $\R$ de l'équation (E$_{1}$) suivante:
%\[(\text{E}_{1}) \quad :\quad  f(x) = 0.\]
D'après le tableau de variations, sur $\left]- \infty~;~- \ln 2\right[,~f(x) \leqslant -6$, donc elle ne s'annule pas.

Sur $\left]- \ln 2~ ;~+ \infty\right[$, la fonction croît de $-\dfrac{25}{4}$ à $+ \infty$ : elle s'annule donc une seule fois sur cet intervalle.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 10 points}

%On considère deux droites parallèles $d_{1}$ et $d_{2}$. Le point O appartient à la droite $d_{1}$ et le point A appartient la droite $d_{2}$ comme indiqué sur la figure ci-dessous. On note H le point d'intersection de la droite $d_{2}$ et de la perpendiculaire à la droite $d_{2}$ passant par le point O (on dit que le point H est le projeté orthogonal du point O sur la droite $d_{2}$). La distance OH vaut 3 (OH = 3).

%\medskip

%On considère un point $M$, distinct du point H, sur la demi-droite [HA) d'origine H et on note $x$ l'angle variable $\widehat{\text{H}M\text{O}}$.

%Le nombre $x$ appartient donc à l'intervalle $\left]0~;~\dfrac{\pi}{2} \right[$.

\medskip

\begin{center}
\begin{pspicture}(8,4)
\psline(0,0)(8,0) \psline(0,3)(8,3)
\psline(1,0)(6,3) \psline[linestyle=dashed](6,3)(6,0)
\psline(5.8,0)(5.8,0.2)(6,0.2)
\uput[dl](0,0){A} \uput[ul](1,0){$M$} \uput[d](6,0){H} \uput[r](6,1.5){$3$} \uput[u](6,3){O} \rput(2.25,0.36){$x$} \uput[u](0,3){$d_{1}$} \uput[d](8,0){$d_{2}$}
\psarc(1,0){1cm}{0}{31} 
\qdisk(0,0){1.75pt}
\end{pspicture}
 \end{center}
 
 \medskip
 
\textbf{Partie I :   conjecture puis vérification}

\begin{enumerate}
\item %Selon vous, comment varie la longueur O$M$ en fonction de l'angle $x$ ? (aucune justification mathématique n'est demandée)
On peut conjecturer que O$M$ et  $x$ varient inversement l'un de l'autre.
\item 	%Calculer O$M$ lorsque $x = \dfrac{\pi}{3}$.
Par définition : $\sin x = \dfrac{3}{\text{O}M} \iff \sin \frac{\pi}{3} = \dfrac{3}{\text{O}M} \iff \text{O}M = \dfrac{3}{\sin \frac{\pi}{3}} = \dfrac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2\sqrt{3}$.
\item 	%Exprimer O$M$ en fonction de $x$ pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $\left]0~;~\dfrac{\pi}{2} \right[$.
Toujours par définition du sinus : $\sin x = \dfrac{3}{\text{O}M} \iff \text{O}M = \dfrac{3}{\sin x}$ pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $\left]0~;~\dfrac{\pi}{2} \right[$.
\item  %On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\left]0~;~\dfrac{\pi}{2} \right[$ par $f(x) = \dfrac{3}{\sin x}$.

%Vérifier que, pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $\left]0~;~\dfrac{\pi}{2} \right[,~ f'(x) = \dfrac{-3\cos x}{\sin^2 x}$.
$f'(x) = - \dfrac{3\cos x}{(\sin x)^2} = \dfrac{-3\cos x}{\sin^2 x}$.
%Étudier les variations de la fonction $f$, puis dresser son tableau de variations. (\emph{On ne demande pas de préciser la limite en} $0$.)
Sur $\left]0~;~\dfrac{\pi}{2} \right[,~\sin^2 x > 0$ et $\cos x > 0$, donc $f'(x) < 0$. La fonction $f$ est décroissante sur cet intervalle. D'o\`u le tableau de variations :

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,3)
\psframe(6,3)\psline(0,2)(6,2) \psline(2,0)(2,3)\psline(2.15,0)(2.15,2)
\psline(2.25,0)(2.25,2)
\uput[u](1,2){$x$}\uput[u](2.2,2){$0$}\uput[u](5.6,2){$+ \frac{\pi}{2}$}\rput(1,1){$f(x)$}
\psline{->}(2.6,1.7)(5.4,0.3) 

\end{pspicture}
\end{center}
\item  %Recopier puis compléter le tableau de valeurs de la fonction $f$ arrondies au dixième près.

\medskip
\renewcommand{\arraystretch}{2.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$	&$\dfrac{\pi}{6}$&$\dfrac{\pi}{4}$&$1$&$\dfrac{\pi}{2}$\\ \hline
$f(x)$&$6$&$3\sqrt{2}$&$\approx 3,565$&$3$\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item   Tracer la courbe $\mathcal{C}$ représentative de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left]0~;~\dfrac{\pi}{2} \right[$ dans un repère
orthonormal \Oij. Prendre $2$~cm pour unité graphique.
\end{enumerate}

\medskip

\psset{xunit=4cm,yunit=2cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(0,2)(2,6)
\psset{algebraic=true}
\psaxes[Oy=2]{->}(0,2)(2,6)
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=8000]{0.52}{1.57}{3/sin(x)}
\uput[d](0.524,2){$\frac{\pi}{6}$} \uput[d](0.785,2){$\frac{\pi}{4}$}
\uput[d](1.57,2){$\frac{\pi}{2}$}
\psline[linestyle=dashed](0.524,2)(0.524,6)
\psline[linestyle=dashed](0.785,2)(0.785,4.243)
\psline[linestyle=dashed](1.57,2)(1.57,3)
\psline[linestyle=dashed](1,2)(1,3.565)
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip
	
\textbf{Partie II : Calcul d'un volume}

%On veut calculer la valeur exacte du volume du solide de révolution engendré par la rotation de la courbe $\mathcal{C}$ autour de l'axe des abscisses.

%On rappelle que le volume $V$ de ce solide, en unités de volume, est donné par la formule :
%\[V =  \pi\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}[f(x)]^2\:\text{d}x.\]

\begin{enumerate}
\item  %Calculer la dérivée de la fonction $g$ définie sur l'intervalle $\left[\dfrac{\pi}{6}~ ;~\dfrac{\pi}{2}\right]$ 	par 

%$g(x) = - \dfrac{\cos x}{\sin x}$.
Sur cet intervalle $\sin x \neq 0$, donc $g$ est dérivable et :

$g'(x) = -\dfrac{-\sin ^2 x - \cos^2 x}{\sin^2 x} = \dfrac{\sin ^2 x + \cos^2 x}{\sin^2 x} = \dfrac{1}{\sin^2 x}$.
%En déduire une primitive $H$ sur l'intervalle $\left[\dfrac{\pi}{6}~ ;~\dfrac{\pi}{2}\right]$ de la fonction $h$ définie par

%\[h(x) =  [f(x)]^2.\]
$h(x) = \dfrac{9}{\sin^2 x} = 9 \times \dfrac{1}{\sin^2 x}$ ; d'après la question précédente, une primitive de cette fonction est la fonction $- 9\dfrac{\cos x}{\sin x}$.
\item   %Calculer la valeur exacte du volume $V$ en cm$^3$, puis une valeur arrondie au mm$^3$.
On a donc :

$V =  \pi\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}[f(x)]^2\:\text{d}x = \pi\left[-9\dfrac{\cos x}{\sin x} \right]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} = -9\pi\dfrac{\cos \frac{\pi}{2}}{\sin \frac{\pi}{2}} + 9\pi\dfrac{\cos \frac{\pi}{6}}{\sin \frac{\pi}{6}} = 0 + 9\pi\dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{\dfrac{1}{2}} = 9\pi\sqrt{3} \approx 48,972$(u. v.)

L'unité étant égale à 2~cm, l'unité de volume est égale à $2^3 = 8$cm$^3$.

Donc $V = 9\pi\sqrt{3} \times 8 = 72\pi\sqrt{3} \approx 391,781$cm$^3 $ à 1~mm$^3$ près.
\end{enumerate}
\end{document} 