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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STI  Génie des matériaux, mécanique }
\rhead{A. P. M. E. P.}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2007}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STI Métropole~\decofourright\\Génie des matériaux, mécanique B, C, D, E sept. 2007}}
    
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 4 points}

\medskip

%On considère l'équation différentielle (E) : 

%\[y' + \dfrac{1}{2}y = 0\] 
%où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$ et $y'$ la fonction dérivée de $y$. 
\begin{enumerate}
\item %Résoudre l'équation (E).
On sait que les solutions sont de la forme $y = K\text{e}^{- \frac{1}{2}x},~K \in \R$. 
\item %Déterminer la fonction $f$, définie sur $\R$, solution de (E), vérifiant $f(2) = 1$.
$f(2) = 1 \iff K\text{e}^{- \frac{1}{2}\times 2} = 1 \iff K\text{e}^{-1} = 1 \iff K = \text{e}.$


%Montrer que pour tout nombre réel $x$ on a : $f(x) = \text{e}^{-\frac{1}{2}x + 1}$.
Donc $f(x) =  \text{e}^1\text{e}^{- \frac{1}{2}x} = \text{e}^{- \frac{1}{2}x + 1}$. 
\item %Calculer $f'(x)$ où $f'$ est la fonction dérivée de la fonction $f$ et étudier le sens de variation de la fonction $f$.
La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ et $f'(x) = - \frac{1}{2}\text{e}^{- \frac{1}{2}x + 1}$.

Comme $\text{e}^{- \frac{1}{2}x + 1} > 0$ quel que soit $x \in \R$, le signe de $f'(x)$ est celui de $- \frac{1}{2}$, donc $f'(x) < 0$ sur $\R$.

La fonction $f$ est donc décroissante sur $\R$. 
\item %Tracer la représentation graphique $(\mathcal{C})$ de la fonction $x \longmapsto  f(x)$ dans un repère orthonormal d'unité graphique 1~cm, pour $x$ variant de $-2$ à $6$.
\end{enumerate}

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-3,-2)(7,7.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-3,-2)(7,7.55)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{-2}{6}{2.71828 1 0.5 x mul sub exp}
\uput[l](-1,4.5){$(\mathcal{C})$}
\end{pspicture}
\end{center} 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 6 points}

\medskip

%\emph{La question $3$ peut être traitée indépendamment des questions $1$ et $2$.}
 
%Soit i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$. 
\begin{enumerate}
\item  %Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes, l'équation d'inconnue $z$ : 
%\[z^2 - 2z + 4 = 0.\]
$z^2 - 2z + 4 = 0 \iff (z - 1)^2 - 1 + 4 = 0 \iff (z - 1)^2 + 3 = 0 \iff (z - 1)^2 - \left(\text{i}\sqrt{3} \right)^2 = 0 \iff \left(z - 1 + \text{i}\sqrt{3} \right) \left(z - 1 - \text{i}\sqrt{3} \right) = 0$.

IL y a donc deux solutions complexes conjuguées : $z_{1} = 1 - \text{i}\sqrt{3}$ et $z_{2} = 1 + \text{i}\sqrt{3}$.
\item  %Soit $P(z)$ le polynôme à coefficients complexes défini par : 
%\[P(z) = z^3 - (3 + \text{i})z^2 + (6 + 2\text{i})z - 4(1 + \text{i}).\] 
	\begin{enumerate}
		\item  %Montrer que pour tout nombre complexe $z$ : 	$P(z) = (z - (1 + \text{i}))\left(z^2 - 2z + 4\right)$.
$(z - (1 + \text{i}))\left(z^2 - 2z + 4\right) = z^3 - 2z^2 + 4z - (1 + \text{i})z^2 +2(1 + \text{i})z - 4(1 + \text{i}) = z^3 - 2z^2 + 4z - z^2 - \text{i}z^2 + 2z +  2\text{i}z - 4 - 4\text{i} = z^3 - (3 - \text{i})z^2 + (6 + \text{i})z - 4(1 + \text{i}) = P(z)$. 
		\item  %En déduire, dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes, les solutions de l'équation: 
$P(z) = 0  \iff (z - (1 + \text{i}))\left(z^2 - 2z + 4\right) = 0 \iff \left\{\begin{array}{l c l}
z - (1 + \text{i})&=&0\\
z^2 - 2z + 4&=&0
\end{array}\right.$.

Les solutions sont donc $z_{1} = 1 - \text{i}\sqrt{3}$,{} $z_{2} = 1 + \text{i}\sqrt{3}$ et $z_{3} = 1 + \text{i}$.
	\end{enumerate} 
\item %On considère les nombres complexes $z_{1}$ et $z_{2}$ définis par : 
%\[z_{1} = 1 + \text{i}\quad \text{et} \quad z_{2} = 1 + \text{i}\sqrt{3}.\] 
	\begin{enumerate}
		\item  %Vérifier que le nombre complexe $q = \dfrac{z_{1}}{z_{2}}$ peut s'écrire sous la forme 
$q = \dfrac{z_{1}}{z_{2}} = \dfrac{1 + \text{i}}{1 + \text{i}\sqrt{3}} = \dfrac{\left(1 + \text{i} \right)\left(1 - \text{i}\sqrt{3} \right)}{\left(1 + \text{i}\sqrt{3} \right)\left(1 - \text{i}\sqrt{3} \right)} = \dfrac{1 + \sqrt{3}+ \text{i}\left(1 - \sqrt{3} \right)}{1 + 3} = \dfrac{1 + \sqrt{3}+ \text{i}\left(1 - \sqrt{3} \right)}{4} = \dfrac{1 + \sqrt{3}}{4} + \text{i}\dfrac{1 - \sqrt{3}}{4}$.
%\[q = \dfrac{1 + \sqrt{3}}{4} + \text{i}\dfrac{1 - \sqrt{3}}{4}.\]  
		\item  %Donner le module et un argument de chacun des nombres complexes $z_{1}$ et $z_{2}$.
On a $\left|z_{1} \right| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}.$

$\left|z_{2} \right| = \sqrt{1 + 3} = 2.$

On peut écrire $z_{1} = \sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right) = 2 \left(\cos \frac{\pi}{4} + \text{i}\sin \frac{\pi}{4} \right)$ : un argument de $z_{1}$ est donc $\dfrac{\pi}{4}$.

De m\^eme $z_{2} = 2\left(\dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = 2 \left(\cos \frac{\pi}{3} + \text{i}\sin \frac{\pi}{3} \right)$ : un argument de $z_{2}$ est donc $\dfrac{\pi}{3}$.


		\item  %En déduire le module et un argument du nombre complexe $q = \dfrac{z_{1}}{z_{2}}$.
On sait que $|q| = \left|\dfrac{z_{1}}{z_{2}} \right| = \dfrac{\left|z_{1} \right|}{\left|z_{2} \right|} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

Conclusion des résultats sur les arguments trouvés ci-dessus : on a arg $(q) = \text{arg} z_{1} - \text{arg} z_{2} = \dfrac{\pi}{4} - \dfrac{\pi}{3}  = -\dfrac{\pi}{12}$ 
		\item  %En déduire les valeurs exactes de $\cos \left(\dfrac{\pi}{12}\right)$ et $\sin \left(\dfrac{\pi}{12}\right)$.
De la question précédente on peut écrire que 
$q = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\left(\cos \left(-\dfrac{\pi}{12} \right) + \text{i}\sin \left(-\dfrac{\pi}{12} \right)\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\left(\cos \left(\dfrac{\pi}{12} \right) - \text{i}\sin \left(\dfrac{\pi}{12} \right)\right)$.
En identifiant cette écriture avec le résultat du 3. a. $q = \dfrac{1 + \sqrt{3}}{4} + \text{i}\dfrac{1 - \sqrt{3}}{4}$ on en déduit par identification des parties réelles et imaginaires :

$\cos \left(\dfrac{\pi}{12} \right) = \dfrac{\sqrt{2}\left(1 + \sqrt{3}\right)}{4}$ et $\sin \left(\dfrac{\pi}{12} \right) = \dfrac{\sqrt{2}\left(\sqrt{3} -1\right)}{4}$
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill}

\medskip

%\begin{center}
%\psset{unit=3cm}
%\begin{pspicture}(-1,-0.2)(2.5,2.5)
%\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-1,-0.2)(2.5,2.5)
%\psline(-0.5,0)(0,2)(0.5,2) 
%\psplot{0.5}{2}{1.2 x div 0.4 sub}
%\psline(2,0.2)(2,0)
%\psline[linestyle=dashed](0.5,0)(0.5,2)
%\psline[linestyle=dashed](0,0.2)(2,0.2)
%\uput[d](0.5,0){0,5} \uput[l](0,0.2){0,2}\uput[dl](0,0){0}
%\end{pspicture}
%\end{center}

%Une entreprise veut réaliser les deux montants latéraux d'un toboggan. La courbe qui modélise le toboggan est définie comme une partie de la représentation graphique $(\mathcal{C})$ d'une fonction $f$ dans un repère orthonormé adapté.

%\medskip

\textbf{Question préliminaire}

%La partie utile de la courbe $(\mathcal{C})$ qui modélise le toboggan est délimitée par les points de coordonnées (0,5~;~ 2) et (2~;~ 0,2) comme le suggère le schéma ci-dessus.

%La fonction $f$ est définie, pour tout nombre réel $x$ strictement positif, par 
%\[f(x) = a + \dfrac{b}{x},\]
% où $a$ et $b$ sont deux nombres réels.
% 
%Déterminer $a$ et $b$.
On lit $f(0,5) = 2 \iff a + \dfrac{b}{0,5} = 2 \iff a + 2b = 2$.

On lit aussi $f(2) = 0,2 \iff  a + \dfrac{b}{2} = 0,2 \iff 2a + b = 0,4$.

On a donc $b = 0,4 - 2a$ et en reportant dans la première équation : $a + 2(0,4 - 2a) = 2 \iff a + 0,8 - 4a = 2 \iff -1,2 = 3a \iff a = - 0,4$ et ensuite $b = 0,4 - 2 \times (- 0,4) = 0,4 + 0,8 = 1,2$.

Conclusion : $f(x) = -0,4 + \dfrac{1,2}{x}$.
 \medskip

\textbf{Partie A. Étude de fonction}

%On admet que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle [0,5~;~ 2] par:

%\[f(x) = - 0,4 + \dfrac{1,2}{x}.\]


%On note $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 4~cm.

\begin{enumerate}
\item  %On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Calculer $f'(x)$ pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [0,5~;~ 2].
$0 \notin [0,5~;~ 2]$, donc $f$ est dérivable sur cet intervalle et $f'(x) = - \dfrac{1,2}{x^2}$.

\item   %Étudier le sens le variation de la fonction $f$ sur l'intervalle [0,5~;~ 2].
Comme $\dfrac{1}{x^2} > 0$ sur [0,5~;~ 2], $f'(x) < 0$ : la fonction $f$ est donc décroissante sur [0,5~;~ 2].
\item   %Déterminer une équation de la tangente $T_{1}$ à la courbe $(\mathcal{C})$ au point d'abscisse $0,5$ et une équation de la tangente $T_{2}$ à la courbe $(\mathcal{C})$ au point d'abscisse $2$.
$M(x~;~y) \in T_{1} \iff y - f(0,5) = f'(0,5)(x - 0,5)$.

$f(0,5) = -0,4 + \dfrac{1,2}{0,5} = -0,4 + 2,4 = 2$ et $f'(0,5) = - \dfrac{1,2}{0,5^2}  = - 4,8$.

Donc $M(x~;~y) \in T_{1} \iff y - 2 = -4,8(x - 0,5) \iff y = -4,8x  + 2,4 + 2 \iff y = -4,8x + 4,4$.

De m\^eme $M(x~;~y) \in T_{2} \iff y - f(2) = f'(2)(x - 2)$.

$f(2) = -0,4 + \dfrac{1,2}{2} = - 0,4 + 0,6 = 0,2$ et $f'(2) = - \dfrac{1,2}{2^2} = - 0,3$.

Donc $M(x~;~y) \in T_{2} \iff y - 0,2 = -0,3(x - 2) \iff y = -0,3x + 0,6 + 0,2 \iff y = -0,3x 0,8$.
\item   Tracer, dans le repère indiqué, les droites $T_{1}$ et $T_{2}$, ainsi que la courbe $(\mathcal{C})$.
Voir plus bas.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  %Déterminer une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle [0,5~;~ 2].
		Une primitive de la la fonction $\dfrac{1}{x}$, avec $x \neq 0$, est la fonction $\ln x$, avec $x > 0$ ; une primitive de la fonction $f$ est donc la fonction $F$ définie sur [0,5~;~ 2] par $F(x) = -0,4x + 1,2 \ln x$.
		\item  %Montrer que l'aire exprimée en unités d'aire, du domaine plan délimité par la courbe représentative de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives $x = 0,5$ et $x = 2$, vaut $2,4 \ln 2 - 0,6$.
La fonction $f$ est décroissante sur [0,5~;~ 2] et le minimum  est égal à $f(2) = 0,2 > 0$ ; la fonction est donc positive sur l'intervalle [0,5~;~ 2].

On sait alors que l'aire exprimée en unités d'aire, de la surface limitée par la courbe représentative de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives $x = 0,5$ et $x = 2$ est égale à l'intégrale :

$\displaystyle\int_{0,5}^2 f(x)\:\text{d}x = \left[F(x) \right]_{0,5}^2 = F(2) - F(0,5) = -0,4 \times 2 + 1,2 \ln 2 - $

$(-0,4 \times 0,5 + 1,2 \ln 0,5 ) = -0,8 + 1,2 \ln 2 + 0,2 -1,2 \ln \frac{1}{2} =$

$ -0,6 + 1,2\ln 2 + 1,2 \ln 2 = 2,4\ln 2 - 0,6~(\text{u. a.}).$

 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\medskip

\textbf{Partie B. Étude de la masse perdue en production}

%Les montants sont réalisés dans des plaques de métal rectangulaires de 2,5~m sur 1,5~m.

%On suppose que chaque plaque a une masse de 500~kg.
 
%Chaque plaque permet de fabriquer deux montants comme indiqué sur le dessin ci-après. Les surfaces $S_{1}$ et $S_{2}$ de taille identique, correspondent aux deux montants latéraux d'un toboggan et la surface $S_{3}$ restante est perdue.
  
%D'après la partie A, la valeur exacte, en m$^2$, de l'aire de la surface $S_{1}$ est $2,4 \ln 2 - 0,6$.
   
\medskip
   
\begin{center}
\psset{unit=3cm}
\begin{pspicture}(2,2.5)
%\psgrid
\psframe(0.5,0)(2,2.5)
\def\montant{\psline(1.5,0)(0.5,0)(0.5,2)\psplot{0.5}{2}{1.2 x div 0.4 sub} }
%\rput(0.5,0){\montant}
\psline(1.5,0)(0.5,0)(0.5,2)\psplot{0.5}{2}{1.2 x div 0.4 sub}
\rput{180}(2.5,2.5){\montant}
\rput(1,0.5){$S_{1}$} \rput(1.25,1.25){$S_{3}$} \rput(1.5,2){$S_{2}$}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Montrer qu'une valeur approchée à $10^{-4}$ près de l'aire en m$^2$ de la surface restante $S_{3}$ est égale à \nombre{1,6229}.
L'aire restante $S_{3}$ dans le rectangle est égale à :

$2,5 \times 1,5 - 2(2,4 \ln 2 - 0,6) = 3,75 - 4,8\ln 2 + 1,2 = 4,95 - 4,8\ln 2 \approx \nombre{1,62289} \approx \nombre{1,6229}$.
\item %Déterminer la masse de la partie inutilisée de la plaque correspondant à la surface $S_{3}$.
Une plaque de 3,75 m$^3$ a une masse de 500~kg, donc la partie restante $S_{3}$ a une masse de $(4,95 - 4,8\ln 2) \times \dfrac{500}{3,75} \approx 216,386$~kg au gramme près
\end{enumerate}
\end{document}