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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\small A. P. M. E. P.}
\lhead{\small Corrigé STI  Génie des matériaux, mécanique }
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2007}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft ~Corrigé du baccalauréat STI Métropole juin 2007~\decofourright\\Génie des matériaux, mécanique B, C, D, E }}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 4 points}

\medskip

%Une entreprise fabrique des plaquettes de métal. Pour cela elle utilise deux machines, une qui les ajuste en longueur et une autre qui les ajuste en largeur.

% Les machines sont programmées pour donner des plaquettes de 2,5 cm sur $1,5$~cm. Des erreurs de manipulation peuvent conduire à des dimensions non conformes : une longueur de $2,6$~cm au lieu de $2,5$~cm ; une largeur de $1,6$~cm au lieu de $1,5$~cm.
% 
%\medskip
% 
% Afin de vérifier la conformité de ces plaquettes, on procède à deux tests : un test sur la longueur et un test sur la largeur. On effectue les deux tests sur $100$~plaquettes et on obtient :
% 
%\setlength\parindent{5mm} 
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] 20 plaquettes ont une longueur de $2,6$~cm ;
%\item[$\bullet~$] 18 plaquettes ont une largeur de $1,6$~cm ;
%\item[$\bullet~$] 5 plaquettes ont une dimension de $2,6$~cm sur $1,6$~cm.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}

%On prélève au hasard une plaquette parmi les $100$. Elles ont donc toutes la même probabilité d'être choisies.
\begin{enumerate}
\item ~%Recopier et compléter le tableau des effectifs suivant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\hline
&Largeur conforme 1,5& 	Largeur non conforme 1,6	&Total\\ \hline
Longueur conforme 2,5&\textcolor{blue}{67}&\textcolor{blue}{13}&\textcolor{blue}{80} \\ \hline
Longueur non conforme 2,6&\textcolor{blue}{15}&	5&	20\\ \hline
Total&\textcolor{blue}{82}&\textcolor{blue}{18}&100\\ \hline
\end{tabularx}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item %Quelle est la probabilité qu'une plaquette prélevée au hasard soit conforme à ce que veut l'entreprise ?
Il y a 67 plaquettes conformes ; la probabilité est donc égale à $\dfrac{67}{100} = 0,67$.
		\item 	%Quelle est la probabilité qu'une plaquette prélevée au hasard ait exactement une de ses dimensions non conforme ?
		Il y a $13 + 15 = 28$ plaquettes qui n'ont qu'une dimension non conforme ; la probabilité est donc égale à $\dfrac{28}{100} = 0,28$.
	\end{enumerate}
\item 	%Soit $X$ la variable aléatoire qui à chaque plaquette prélevée au hasard associe le nombre de ses dimensions non conformes.
		\begin{enumerate}
		\item  %Donner les valeurs possibles de $X$.
$X$ peut prendre les valeurs 0,  1 et 2.
		\item ~ %Donner la loi de probabilité de $X$.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x_{i}$&0&1&2  \\ \hline
$p\left(X = x_{i}\right)$&0,67&0,28&0,05  \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 5 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  %Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes l'équation d'inconnue $z$
%\[z^2 - 2z + 4 = 0.\]
%On donnera les solutions sous forme algébrique puis, pour chacune d'elles, le module et un argument.
$z^2 - 2z + 4 = 0 \iff (z - 1)^2 - 1 + 4 = 0 \iff (z - 1)^2 + 3 = 0 \iff (z - 1)^2 - \left(\text{i}\sqrt{3} \right)^2 = 0 \iff \left(z - 1 + \text{i}\sqrt{3} \right)\left(z - 1 - \text{i}\sqrt{3}  \right) = 0$

qui donne les deux solutions complexes conjuguées : 
\[1 - \text{i}\sqrt{3} \quad \text{et} \quad  1 - \text{i}\sqrt{3}. \]

On peut également calculer $\Delta = - 12$ \ldots
\item  %Le plan est muni d'un repère orthonormé \Ouv{} d'unité graphique $2$~cm. On note A, B et C les points du plan ayant pour affixes respectives :
\[z_{\text{A}} = 1 - \text{i}\sqrt{3},\quad z_{\text{B}} = 2 ~~\text{et}~~z_{\text{C}}	=1 + \text{i}\sqrt{3}.\]

	\begin{enumerate}
		\item  %Placer les points A, B et C dans le plan complexe.
		Voir la figure en bas.
		\item 	%Montrer que les triangles OAB et OBC sont équilatéraux.
OA = $\left|z_{\text{A}} \right| = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$ ; 

OB = $\left|z_{\text{B}} \right| =  2$ ;

AB = $\left|z_{\text{B}} - z_{\text{A}} \right| = \left|1 + \text{i}\sqrt{3} \right| = \sqrt{1 + 3} = 2$.

Donc OA = OB = AB : le triangle OAB est équilatéral.

OC = $\left|z_{\text{C}} \right| = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$ ;

BC = $\left|z_{\text{C}} - z_{\text{B}} \right| = \left|- 1 + \text{i}\sqrt{3} \right| = \sqrt{1 + 3} = 2$.

Donc OB = OC = BC : le triangle OBC est équilatéral 	
		\item 	%Soient D, E et F les points tels que le polygone ABCDEF soit un hexagone régulier. Construire les points D, E et F sur la figure commencée dans la question 2 a.
Il suffit de construire D, E et F symétriques respectivement de A, B et C autour de O		
%\emph{ On rappelle qu'un hexagone est un polygone à $6$ côtés.}
		\item 	%Calculer le produit des affixes des $6$ sommets de cet hexagone régulier.
$z_{\text{A}} \times z_{\text{B}} \times z_{\text{C}} \times z_{\text{D}} \times z_{\text{E}} \times z_{\text{F}} = - 4(1 - \text{i}\sqrt{3})(1 + \text{i}\sqrt{3})(-1 + \text{i}\sqrt{3})(-1 - \text{i}\sqrt{3}) = -4(1 + 3)(1 + 3) = - 64$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\psset{unit=2cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-2,-2)(2,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-2,-2)(2,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\vect{u}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{v}$}
\uput[dl](0,0){O}\uput[dr](1,-1.732){A} \uput[ur](2,0){B}\uput[r](1,1.732){C}\uput[ul](-1,1.732){D} \uput[dl](-2,0){E}\uput[dl](-1,-1.732){F}
\psdots(1,-1.732)(2,0)(1,1.732)(-1,1.732)(-2,0)(-1,-1.732)%ABCDEF
\pspolygon(0,0)(1,-1.732)(2,0) 
\pspolygon(0,0)(2,0)(1,1.732)
\psline(1,1.732)(-1,1.732)(-2,0)(-1,-1.732)(1,-1.732)
\end{pspicture}
\end{center}
\vspace{0,5cm}
 
\textbf{Problème  \hfill 11 points}

\medskip

%Soit la fonction $f$ définie sur l'ensemble des nombres réels $\R$ par
%\[f(x) = \text{e}^{-x} + 2x - 3.\]
%Soit $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de $f$ dans le plan muni d'un repère orthogonal \Oij{} d'unités graphiques $2$~cm en abscisse et $1$~cm en ordonnée.
\begin{enumerate}
\item  \textbf{Limites aux bornes}
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
		On sait que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{-x}$, donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$.
		\item %Déterminer la limite de la fonction $f$ en $- \infty$.
		
%On pourra établir au préalable que, pour tout nombre réel $x$,~
$f(x) = \text{e}^{-x} + 2x - 3 = \text{e}^{-x} + 2x\text{e}^{-x}\text{e}^{x} - 3\text{e}^{-x}\text{e}^{x} = \text{e}^{-x}\left(1 + 2x\text{e}^{x} - 3\text{e}^{x} \right)$.

Comme $\displaystyle\lim_{x \to - \infty}\text{e}^{x} = 0$ , et $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} x\text{e}^{x} = 0$, on a
$\displaystyle\lim_{x \to - \infty} 1 + 2x\text{e}^{x} - 3\text{e}^{x} = 1$ et finalement $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = + \infty$.
	\end{enumerate}
\item  \textbf{Asymptote oblique}
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que la droite $(\mathcal{D})$ d'équation $y = 2x - 3$ est asymptote à la courbe $(\mathcal{C})$.
Soit $d$ la fonction définie sur $\R$ par  : $d(x) = f(x) - (2x - 3) = \text{e}^{-x}$.

On a $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} d(x) = 0$ : ceci montre que la droite d'équation $y = 2x - 3$ est asymptote oblique à la courbe $(\mathcal{C})$ au voisinage de plus l'infini.
		\item 	%Étudier la position relative de la droite $(\mathcal{D})$ par rapport à la courbe $(\mathcal{C})$.
Comme $d(x) = \text{e}^{-x}$, la fonction $d$ est positive non nulle ce qui montre que la courbe $(\mathcal{C})$ est au dessus de $(\mathcal{D})$
	\end{enumerate}
\item  \textbf{Étude des variations de la fonction}\boldmath  $f$ \unboldmath
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que, pour tout nombre réel $x,~ f'(x) = \dfrac{2\text{e}^{x} - 1}{\text{e}^{x}}$ où $f'$ est la dérivée de la fonction $f$.
La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ et 
		
$f'(x) = -\text{e}^{-x} + 2 = \dfrac{1}{\text{e}^{x}} + 2\dfrac{\text{e}^{x}}{\text{e}^{x}}	 = \dfrac{2\text{e}^{x} - 1}{\text{e}^{x}}$.	
		\item 	%Résoudre dans $\R$ l'équation d'inconnue $x,~ f'(x) = 0$.
$f'(x) = 0 \iff 2\text{e}^{x} - 1 = 0 \iff 2\text{e}^{x} = 1 \iff \text{e}^{x} = \dfrac{1}{2} \iff $

$(\text{par croissance de la fonction ln})\quad  x = \ln \left(\dfrac{1}{2} \right) \iff x = - \ln 2$.
		\item 	%Étudier le signe de la dérivée $f'$ de la fonction $f$ sur $\R$.
On a de m\^eme  $f'(x) > 0 \iff x > - \ln 2$ et $f'(x) < 0 \iff x < - \ln 2$.
		\item 	%Établir le tableau de variations de la fonction $f$.
La fonction est donc décroissante sur $]- \infty~;~-\ln 2[$ et croissante sur $]-\ln 2~;~+ \infty[$. D'où le tableau de variations :

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(8,2.5)
\psframe(8,2.5) \psline(0,2)(8,2)\psline(2,0)(2,2.5)
\uput[u](1,2){$x$} \uput[u](2.4,2){$- \infty$} \uput[u](5,2){$- \ln 2$} \uput[u](7.6,2){$+ \infty$} \rput(1,1){$f(x)$} 
\psline{->}(2.7,1.7)(4.4,0.3) \psline{->}(5.6,0.3)(7.4,1.7)
\uput[d](7.6,2){$+ \infty$}\uput[d](2.4,2){$+ \infty$}
\end{pspicture}
\end{center}
		\item 	%Calculer $f(1)$ et déterminer le signe de $f(x)$ pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle [0 ; 1].
		$f(1) = \text{e}^{-1} + 2 - 3 = \text{e}^{-1} -1 \approx -0,63$. Comme la fonction est croissante sur [0~;~1], on peut en conclure que sur [0~;~1], $f(x) < 0$.
	\end{enumerate}
\item 	%Tracer la droite $(\mathcal{D})$ et la courbe $(\mathcal{C})$ dans le repère \Oij.
Voir la figure plus bas.
\item 	%Calculer l'aire $(\mathcal{A})$ en cm$^2$ de la partie du plan délimitée par la courbe $(\mathcal{C})$, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = 1$. On donnera la valeur exacte de $(\mathcal{A})$, puis la valeur arrondie à $10^{-2}$.
On vient de voir que sur [0~;~1] la fonction $f$ est négative non nulle ; donc l'aire $(\mathcal{A})$ est égale à l'opposé de l'intégrale :

$\displaystyle\int_{0}^1 f(x)\:\text{d}x = \left[- \text{e}^{-x} + x^2 - 3x \right]_{0}^1 = - \text{e}^{-1} + 1^2 - 3\times 1 - \left(- \text{e}^{-0} + 0^2 - 3\times 0 \right) = - \text{e}^{-1} - 1$.

Donc $(\mathcal{A}) = 1 + \text{e}^{-1}$~(u. a.)

Or l'unité d'aire est égale à $2 \times 1 = 2$cm$^2$.

Donc $(\mathcal{A}) = 2\left(1 + \text{e}^{-1} \right)$~cm$^2$ soit $\approx 2,735 \approx 2,74$~cm$^2$
	\item 	%Contrôler l'ordre de grandeur du résultat de la question précédente en calculant l'aire en cm$^2$ de la surface d'un ou deux trapèzes que l'on précisera.
Cette aire est légèrement supérieure à celle du trapèze ayant pour sommets les points de coordonnées (0~;~0), (1~;~0), $(1~;~f(1))$ et $(0~;~-2)$ soit $\dfrac{2 + |f(1)|}{2} \times 1 \approx \dfrac{2 + 0,63}{2} \approx 1,315$~(u.a.) soit environ 2,63~cm$^2$.

Les résultats sont bien voisins.	
\end{enumerate}

\medskip
\psset{xunit=2cm,yunit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-2,-7)(3,5)
\pscustom[fillstyle=vlines]{
\psplot[plotpoints=8000,linecolor=blue]{0}{1}{2 x mul 3 sub 2.71828 x neg exp add}
\psline(1,0)(0,0)}
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-2,-7)(3,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psline(0,-2)(1,-0.63)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.25pt,gridcolor=lightgray](-2,-7)(3,5)
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\uput[d](3,0){$x$} \uput[l](0,5){$y$} 
\psplot[plotpoints=8000,linecolor=blue]{-2}{3}{2 x mul 3 sub 2.71828 x neg exp add}
\psplot[plotpoints=8000,linecolor=red]{-2}{3}{2 x mul 3 sub}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}