\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[mathscr]{eucal}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{multicol}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{multirow}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\setlength{\textheight}{23,5cm}
\setlength{\voffset}{-1,5cm}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P. M. E. P.}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\lhead{\small Baccalauréat STI }
\rhead{\small Génie mécanique B, C, D, E - Génie des matériaux}
\lfoot{\small Métropole}
\rfoot{\small{septembre 2001}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~STI Métropole septembre 2001~\decofourright\\Génie mécanique B, C, D, E - Génie des matériaux}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  5 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 	Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par : 

\[f(x) = \cos 3x - 2 \sin 3 x. \]
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer $f'(x),\: f'$ étant la fonction dérivée de la fonction $f$. 
		\item  Déterminer $f''(x),\: f''$ étant la fonction dérivée de la fonction $f'$.
		\item  Trouver une relation simple entre $f''(x)$ et $f(x)$.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Résoudre dans $\R$ l'équation différentielle : $y'' + 9 y = 0$.
		\item  Déterminer la solution particulière $g$ de cette équation qui vérifie :
\[g(0) = - \dfrac{\sqrt{2}}{2}\quad \text{et}\quad  g'\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = 
		\dfrac{3\sqrt{2}}{2}.\]
	\end{enumerate}
\item  	
	\begin{enumerate}
		\item  Vérifier que pour tout $x$ réel, $g(x) = \cos \left(3x - \dfrac{5\pi}{4}\right)$.
		\item  Résoudre dans $[0~;~2\pi[$ l'équation $g(x) = 0$.
		\item  Montrer que les solutions obtenues forment une suite arithmétique de raison $\dfrac{\pi}{3}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}	

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  4 points}

\medskip
	
On note i le nombre complexe de module $1$ et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.\\
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Ouv{}
(unité graphique : $2$~cm).
\begin{enumerate}
\item  On désigne par $\C$ l'ensemble des nombres complexes.
	\begin{enumerate}
		\item  Développer $\left(4 + 2\sqrt{2}\right)^2$. 
		\item  Résoudre dans $\C$, l'équation : $z^2 - 4z - 2\left(2\sqrt{2} + 1\right) = 0$.
	\end{enumerate}
\item Résoudre dans $\C$ l'équation : $z^2 - 4z + 7 = 0$.
\item On désigne par A, B, C, D les points du plan complexe d'affixes respectives :

\[z_{\text{A}} = - \sqrt{2},\quad 	z_{\text{B}} = 4+\sqrt{2}, \quad 	z_{\text{C}} = 2 - \text{i}\sqrt{3}, \quad  z_{\text{D}} = 2 + \text{i}\sqrt{3}.\]

	\begin{enumerate}
		\item  Placer les points A, B, C, D dans le repère donné (sur papier millimétré).
		\item  Montrer que les segments [AB] et [CD] ont le même milieu.
		\item  Montrer que le quadrilatère ABCD est un losange.
	\end{enumerate}
\item Déterminer $z_{\text{E}}$ et $z_{\text{F}}$ affixes respectives de points E et F tels que AEBF soit un carré.

Justifier votre réponse.
 \end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill  11 points} 

\medskip

\textbf{Partie A : étude des variations d'une fonction}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle I $= ]-\ln 4~;~+ \infty[$ (où $\ln$ désigne le logarithme népérien) par : 

\[f(x) = \dfrac{\text{e}^x + 8}{4\text{e}^x - 1},\]

 et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un
repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique : $2$~cm.
\begin{enumerate}
\item 	
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la limite de $f$ en $- \ln 4$. Que peut-on en déduire pour la courbe $\mathcal{C}$ ?
		\item  Vérifier que, pour tout $x$ de I, on a $f(x) =  \dfrac{1 + 8\text{e}^{-x}}{4 - \text{e}^{-x}}$ puis déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$.	En déduire l'existence d'une asymptote horizontale de $\mathcal{C}$ en $+ \infty$
		\item  Déterminer la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y =	\dfrac{1}{4}$.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que pour tout $x$ de I : $f'(x) = - \dfrac{33\text{e}^x}{\left(4\text{e}^x - 1\right)^2}$.
		\item  Déterminer le signe de $f'(x)$ sur I.
		\item  Dresser le tableau de variations de $f$.
	\end{enumerate}
\item 	Déterminer une équation de la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$.
\end{enumerate}
	
\medskip

\textbf{Partie B : tracé de la courbe représentative de la fonction \boldmath $f$ \unboldmath sur I}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 	Reproduire et compléter le tableau suivant (les valeurs de $f(x)$ seront arrondies à $10^{-2}$ près).
\item 	Tracer la tangente $\mathcal{T}$, la droite $\mathcal{D}$ et la courbe $\mathcal{C}$ dans le repère \Oij{}(sur papier millimétré).
\end{enumerate}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&0	&0,5	&1	&1,5	&2	&2,5	&3	&3,5	&4\\ \hline
$f(x)$	&	&		&	&		&	&		&	&		&  \\ \hline
\end{tabularx}
 
\medskip

\textbf{Partie C :}

\medskip

Dans le plan rapporté au repère \Oij, on appelle $\mathcal{A}$ l'aire de la partie du plan limitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 0$  et $x = 4$.

\begin{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Vérifier que, tout $x$ de l'intervalle [0 ; 4], $f(x)$ peut s'écrire sous la forme :
\[f(x) = \dfrac{33\text{e}^x}{4\text{e}^x - 1} - 8.  \]

		\item  Déterminer une primitive sur [0 ; 4] de la fonction $g$ définie par :
\[g(x) = \dfrac{\text{e}^x}{4\text{e}^x - 1}.\]

		\item  En déduire une primitive de $f$ sur [0 ; 4].
	\end{enumerate}
\item  Calculer l'aire $\mathcal{A}$ en cm$^2$.

On donnera la valeur exacte de $\mathcal{A}$ puis une valeur approchée à $1$~mm$^2$ près.
\end{enumerate}
\end{document} 