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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat STI  Génie mécanique}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2011}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Métropole septembre 2011~\decofourright\\Génie mécanique, des matériaux}}
    
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal \Ouv, d'unité graphique 2~cm.
 
On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On note $P$ le polynôme défini pour tout nombre complexe $z$ par : 

\[P(z) = z^3 + 2z^2 - 16.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $P(2)$. 
		\item Déterminer trois nombres réels $a,\: b$ et $c$ tels que, pour tout nombre complexe $z$,

\[ P(z) = (z - 2)\left(az^2 + bz + c\right).\]
 
		\item Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation : $P(z) = 0$.
	\end{enumerate} 
\item On considère les points A, B et C d'affixes respectives: 

\[z_{\text{A}} = 2 \quad ; \quad  z_{\text{B}} = -2 + 2\text{i}\quad ; \quad  
z_{\text{C}} = - 2 - 2\text{i}.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Placer les points A, B et C dans le repère \Ouv. 
		\item Déterminer le module et un argument des nombres complexes $z_{\text{B}}$ et $z_{\text{C}}$.
	\end{enumerate} 
\item Soit I le point d'affixe $z_{\text{I}} = - \dfrac{1}{2}$.
 
Montrer que les points A, B, C appartiennent à un même cercle de centre I dont on déterminera le rayon. 

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

L'entreprise Anatoly fabrique des pièces (\np{1500}~unités par jour).

Certaines pièces ont un ou deux défauts de fabrication. 
 
Sur un lot de 100 pièces choisies au hasard, on constate: 

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item qu'une pièce sur 20 n'a pas la dimension voulue ; 
\item que 10 pièces manquent de résistance ; 
\item qu'au total, 88 pièces n'ont pas de défaut.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
On considère que cet échantillon permet de modéliser l'ensemble de la fabrication des pièces. 

On choisit une pièce au hasard.
 
On suppose que le choix d'une pièce se fait dans une situation d'équiprobabilité.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau suivant: 

\medskip
{\footnotesize\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\hline
&Problème de dimension &Dimension correcte &Total \\\hline
Problème de résistance&&&\\ \hline 
Résistance correcte&&&\\ \hline  
Total &5&& 100 \\ \hline
\end{tabularx}}

\medskip

\item Quelle est la probabilité de choisir une pièce ayant deux défauts ? 
\item La vente des pièces sans défaut rapporte un bénéfice de 5~euros à l'entreprise Anatoly. Les pièces de mauvaise dimension sont rectifiées pour un coût de 2~euros, puis vendues au prix habituel. Celles qui manquent de résistance sont jetées.
 
Soit $X$ la variable aléatoire qui, à chaque pièce choisie, associe le bénéfice réalisé. 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité qu'une pièce rapporte 5~euros ? 
		\item Donner, dans un tableau, la loi de probabilité de $X$. 
		\item Calculer l'espérance de $X$. Que représente ce nombre pour l'entreprise ?
	\end{enumerate}  
Un investisseur souhaite acheter soit l' entreprise Anatoly soit l'entreprise Basilia.
 
Cette entreprise Basilia fabrique \np{1800}~pièces par jour et réalise un bénéfice moyen de 4~euros sur chaque pièce produite.
 
En expliquant les raisons du choix, indiquer celle des deux entreprises qui rapportera le plus à l'investisseur.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ par: 

\[f(x) = \text{e}^{- x} + \dfrac{1}{x}.\]
 
On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormé \Oij.

\medskip
 
\textbf{Partie A. Étude des limites et des variations de la fonction}\: \boldmath $f$ \unboldmath

\begin{enumerate}
\item Étudier les limites de $f$ en $+ \infty$ et en $0$.
 
Donner une équation de chacune des asymptotes à la courbe $\mathcal{C}$. 
\item $f^{\prime}$ désigne la fonction dérivée de $f$. Calculer $f^{\prime}(x)$. 
\item Étudier le signe de la dérivée. 
\item Dresser le tableau de variation de $f$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B. Étude de propriétés de la courbe } \boldmath$\mathcal{C}$ \unboldmath

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Étudier le signe de $f(x) - \dfrac{1}{x}$ quand $x$ décrit l'intervalle $]0~;~+\infty[$. 
		\item Soit $\mathcal{H}$ la courbe représentant la fonction inverse dans le repère \Oij.

Déterminer la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à la courbe $\mathcal{H}$.
	\end{enumerate}  
\item Déterminer la valeur arrondie au centième du coefficient directeur de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 1. 
\item En annexe, on a représenté la courbe $\mathcal{H}$. 
Représenter la tangente $T$ et la courbe $\mathcal{C}$ sur ce même graphique.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C. Calcul d'aire}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Soit $F$ une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$. Déterminer $F(x)$. 
\item Montrer que : $\displaystyle\int_{1}^2	f(x)\:\text{d}x = \dfrac{\text{e} - 1}{\text{e}^2} + \ln (2)$. 
\item On désigne par $\mathcal{E}$ la partie du plan limitée par la courbe $\mathcal{C}$, la courbe $\mathcal{H}$ et les droites d'équations $x = 1$ et $x = 2$. 
	\begin{enumerate}
		\item Hachurer $\mathcal{E}$ sur le graphique. 
		\item Calculer la valeur exacte de l'aire de cette partie $\mathcal{E}$, exprimée en unités d'aire. 
		\item Donner, en unités d'aire, une valeur approchée au centième près de cette aire. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}

\textbf{Annexe à rendre avec la copie (problème)}

\vspace{2cm}

\psset{unit=2.5cm}
\begin{pspicture*}(-0.25,-0.25)(4,4.25)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.25,-0.25)(4,4.25)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=4,gridcolor=orange,subgridcolor=orange]
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.25}{4}{1 x div}
\uput[u](3.5,0.3){$\mathcal{H}$}\uput[u](4.2,0){$x$}\uput[l](0,4.2){$y$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{document}