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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P. M. E. P.}
\lhead{\small Baccalauréat STI Génie mécanique, énergétique, civil}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2007}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Génie mécanique, civil  Métropole~\decofourright\\ juin 2007}}

\vspace{0,5cm}

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

Du papier millimétré est mis  la disposition des candidats.

Le candidat doit traiter  les deux exercices et le problème. 

\end{center}
  
\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}
 
\medskip
On considère l'équation différentielle (E) : $4y''+ \pi^2y = 0$ où $y$ est une fonction numérique deux fois dérivable de la variable réelle $x$.
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation (E).
\item Déterminer la fonction $g$, solution de cette équation, dont la courbe représentative dans un repère du plan passe par le point N de coordonnées $\left(\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$ et qui, en ce point, admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses.
\item Vérifier que, pour tout nombre réel $x,~ g(x) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}	\cos \left(\dfrac{\pi}{2}x - \dfrac{\pi}{4}\right).$
\item Calculer la valeur moyenne de la fonction $g$ sur l'intervalle [0 ;  1].
\end{enumerate}
	
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\medskip
	
i désigne le nombre complexe de module $1$ et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.
\begin{enumerate}
\item  Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation 

\[z^2 + 2z + 10 = 0.\]

\item  Déterminer les nombres complexes $c$ et $d$ vérifiant le système :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
-  2c + d& =&1+13\text{i}\\
-c + d &=&4 + 8\text{i}\\
\end{array}\right.\]

\item  Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Ouv{}	d'unité graphique $1$~cm.
	\begin{enumerate}
		\item  Placer sur une figure les points A, B, C et D dont les affixes respectives sont :

\[	-1 + 3\text{i},~	-1-3\text{i},~	3-5\text{i}~~ \text{et}~7+3\text{i}.\]

		\item  Démontrer que le triangle BAD est rectangle en A.
		\item  Démontrer que le triangle BCD est rectangle en C.
		\item  En déduire que les quatre points A, B, C et D sont sur un même cercle dont on déterminera le centre $\Omega$ et le rayon. Tracer le cercle sur la figure.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty [$ par 

\[f(x) = \text{e}^x \ln x  + \dfrac{\text{e}^x}{x}.\]

On appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal \Oij{} d'unités graphiques $4$~cm sur l'axe des abscisses et $1$~cm sur l'axe des ordonnées.

\bigskip

\textbf{Partie A}
 
\medskip
L'objet de cette première partie est l'étude des limites de la fonction $f$ aux bornes de son ensemble de définition.
\begin{enumerate}
\item  Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$.
\item   
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que, pour tout nombre réel strictement positif $x,$
		
$f(x) = \dfrac{\text{e}^x}{x}(x \ln x + 1)$.
 
On rappelle que $\displaystyle\lim_{x \to 0} x \ln x = 0$. En déduire la limite de $f$ en $0$.
		\item  Montrer que la courbe $\mathcal{C}$ admet une asymptote $\mathcal{D}$ dont on donnera une équation.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{Partie B : étude d'une fonction intermédiaire}

\medskip
 
Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par 

\[g(x) = \ln x + \dfrac{2}{x} - \dfrac{1}{x^2}\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  On désigne par $g'$ la dérivée de la fonction $g$.

Montrer que, pour tout nombre réel strictement positif $x,$
	
$g'(x) = \dfrac{x^2 - 2x + 2}{x^3}$.
		\item  Étudier le signe de $g'(x)$. En déduire que la fonction $g$ est strictement croissante sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. L'étude des limites n'est pas demandée.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que l'équation $g(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle $\left[\dfrac{1}{2}~;~1\right]$.
		\item  Donner un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de $\alpha$.
	\end{enumerate}
\item  Déduire des questions B 1 et B 2 le signe de $g(x)$, pour $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;+ \infty[$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C : étude des variations de la fonction \boldmath$f$  et construction de la courbe associée}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  \begin{enumerate}
\item  $f'$ désignant la dérivée de $f$, calculer $f'(x)$ et montrer que $f'(x) = \text{e}^x g(x)$, pour tout nombre $x$
appartenant à l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
\item  En déduire le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
\end{enumerate}
\item  \begin{enumerate}
\item  Dresser le tableau de variations de la fonction $f$. 
\item  Calculer une valeur approchée à $10^{-1}$ près de $f(\alpha)$, en prenant $0,6$ pour valeur approchée de $\alpha$.
\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Reproduire et compléter le tableau ci-dessous.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1.5cm}|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&0,25& 0,5&0,75	&1&1,25&1,5&1,75&2&2,25&2,5\\ \hline
$f(x)$ à $10^{-1}$ près		&	&	&	&	&	&	&	&	&	&\\  \hline
\end{tabularx}

\medskip

		\item  Construire l'asymptote $\mathcal{D}$	et la courbe $\mathcal{C}$ pour $x$ appartenant à l'intervalle ]0~;~2,5].
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie D :  calcul d'aire}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Montrer que la fonction $F$, définie sur l'intervalle $]0~; + \infty[$  par $F(x)= \text{e}^x \ln x$ est une primitive de $f$.
\item  On désire calculer l'aire de la partie $\mathcal{E}$ du plan comprise entre la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives $x = 1$ et $x = 2$.
	\begin{enumerate}
		\item  Hachurer la partie $\mathcal{E}$ sur le dessin.
		\item  Déterminer la valeur exacte de l'aire de $\mathcal{E}$ en unités d'aires, puis en cm$^2$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}