\documentclass[11pt,a4paper,french]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{tabularx,multirow}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{colortbl}
\usepackage{pifont}
\usepackage[squaren,Gray]{SIunits}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Nicolas LINCE
\usepackage{pst-plot,pst-func,pst-text,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage{fp,multido}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\def\e{\text{e}}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{babel}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Baccalauréat STL Biotechnologies},
pdftitle = {Métropole--La Réunion - 18 juin 2015},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\frenchbsetup{StandardLists=true}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Sciences et technologies de laboratoires biotechnologies}  
\lfoot{\small{Métropole--La Réunion}}
\rfoot{\small{18 juin 2015}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL biotechnologies   Métropole--La Réunion~\decofourright\\[4pt] 18 juin 2015 }}
\end{center}
    
\begin{center}
\vspace{0,3cm}
 
Calculatrice autorisée conformément à la circulaire \no 99-186 du 16 novembre 1999.

\medskip

Le candidat doit traiter les quatre exercices. Il est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée.

\medskip

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront
prises en compte dans l'appréciation des copies.

\vspace{0,25cm}
\end{center}
\normalsize
    
\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 7 points}   

\medskip

\emph{Les trois parties sont indépendantes. Tous les résultats seront arrondis à $10^{-3}$, à l’exception de la question $2$. de la partie C.}

\smallskip

Des dentistes d’une région se sont constitués en association de façon à confronter leurs
expériences.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Les dentistes de cette association ont constaté que $37\,\%$ de leurs patients ont un problème de carie dentaire. On considère un échantillon de $150$ personnes prises au hasard parmi les patients de ces dentistes, suffisamment nombreux pour assimiler 1e choix de cet échantillon à un tirage avec
remise. On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de personnes de cet échantillon ayant un problème de carie dentaire.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que $X$ suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.
\item Déterminer la probabilité de chacun des évènements suivants :
\begin{enumerate}
\item $A$ : \og Exactement 50 personnes parmi les 150 ont un problème de carie dentaire. \fg
\item $B$ : \og Au moins 60 personnes parmi les 150 ont un problème de carie dentaire. \fg

\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Une société qui fabrique le dentifrice souhaite augmenter sa part de marché. Elle envisage pour
cela de modifier le goût de son dentifrice.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Avant de modifier le goût, elle a demandé aux dentistes adhérents de l’association d’interroger leurs patients. Parmi les patients de ces dentistes qui utilisent ce dentifrice, $200$ personnes ont été choisies au hasard et $45\,\%$ d’entre elles ont déclaré apprécier le goût du dentifrice. 

On note $p$ la proportion de personnes appréciant le goût du dentifrice parmi les patients qui utilisent ce dentifrice avant la modification.

Déterminer l’intervalle de confiance de la proportion $p$ au niveau de confiance de $95\,\%$.
\item Le goût a été modifié et une nouvelle étude est menée auprès de $300$~personnes choisies au
hasard parmi les patients des dentistes de l’association. Parmi ces $300$~personnes, $165$ ont
apprécié le nouveau goût du dentifrice.

Au vu des résultats, le chef de projet de la société lance la production de ce nouveau
dentifrice. Que penser de la décision du chef de projet ? 

Justifier la réponse en exploitant un deuxième intervalle de confiance.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Un des dentistes de l’association souhaite remplacer son microscope et se renseigne sur un
nouveau modèle. Il s’intéresse notamment à la durée de fonctionnement sans défaillance de la
lampe de cet appareil. Un de ses confrères lui conseille une marque proposant un modèle dont la
durée de fonctionnement sans défaillance (en heures) est une variable aléatoire $Y$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$, réel strictement positif.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On a représenté la courbe de la fonction de densité $f$ de cette loi exponentielle dans un
repère orthogonal (l’aire totale sous la courbe vaut alors une unité d’aire).

\begin{center}
\newrgbcolor{wqwqwq}{0.3764705882352941 0.3764705882352941 0.3764705882352941}
\psset{xunit=1.3cm,yunit=3.2cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-0.7,-0.15)(8.7,2.25)
\pscustom[linecolor=wqwqwq,hatchcolor=wqwqwq,fillstyle=hlines,hatchangle=45.0,hatchsep=0.1]{\psplot[plotpoints=3000,linecolor=blue]{5.}{15.}{2.0*2.718281828459045^(-0.2*x)}\lineto(15.,0)\lineto(5.,0)\closepath}
\psplot[plotpoints=3000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0}{8.7}{2.0*2.718281828459045^(-0.2*x)}
\multips(0,0)(0,0.2){13}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(0,0)(8.7,0)}
\multips(0,0)(0.5,0){20}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(0,0)(0,2.25)}
\psaxes[xAxis=true,yAxis=true,Dx=10,Dy=4,tickstyle=full,
ticksize=4pt,subticks=20]{->}(0,0)(0,0)(8.7,2.25)
\begin{scriptsize}
\rput[bl](8,0.54){\blue $C_f$}
\rput[bc](-0.08,-0.08){0}
\multido{\i=1+1,\n=10000+10000}{8}
{%
\rput[bc](\i,-0.08){\np{\n}}
}
\multido{\i=1+1,}{2}
{%
\rput[c](-0.35,\i){\i $\times 10^{-5}$}
}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}

\medskip
%\psset{xunit=0.00013cm,yunit=100000cm,algebraic=true}
%\begin{pspicture*}(-10000,-0.000005)(87000,0.000021)
%\psaxes[Dx=10000,ylabelFactor=$\times 10^{- 5}$]{->}(0,0)(-10000,-0.000005)(87000,0.000021)
%\pscustom[fillstyle=hlines]{
%\psplot[plotpoints=2000]{50000}{87000}{2*2.71828^(-0.00002*x)}
%\psline(87000,0)(50000,0)
%}
%\end{pspicture*}
\end{center}

Sachant que l’aire du domaine hachuré vaut $0,368$ unités d’aire, déterminer la probabilité
pour qu’une lampe de ce modèle prise au hasard ait une durée de bon fonctionnement de
moins de \np{50000} heures.

\medskip

\item La durée de vie moyenne d’une lampe de ce modèle est de \np{60000} heures.

En déduire une valeur approchée de $\lambda$ à $10^{-6}$ près.
\item Dans cette question, on choisit $\lambda = 0,00002$.

On rappelle la formule de probabilité : pour tout réel $t$ positif, $P(Y\leqslant t) = 1-\text{e}^{\np{- 0,00002} t}$

Calculer la probabilité qu’une lampe de ce modèle prise au hasard ait une durée de bon fonctionnement comprise entre \np{51000} et \np{64500} heures.
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 7 points}

\medskip

L’objectif de cet exercice est d’identifier l’espèce microbienne présente dans deux populations
microbiennes A et B. Pour ce faire, on réalise, à partir de chacune d’elles, une préparation dont on détermine l’absorbance à intervalles de temps réguliers. L’absorbance, mesurant le trouble de la préparation, est proportionnelle à la densité de la population microbienne présente dans la
préparation.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Voici les résultats obtenus à partir de la population microbienne A durant sa phase de croissance
exponentielle :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4.3cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Temps $t_i$ en minutes			&30		&40		&50		&60		&70		&80		&90		&100\\\hline
Absorbance $y_i$ (sans~unité)	&0,072	&0,100	&0,134	&0,199	&0,295	&0,398	&0,599	&0,791\\\hline
\end{tabularx}
\end{center}


\begin{enumerate}
\item Reproduire et compléter le tableau suivant (arrondir au centième) :
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.7cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Temps $t_i$ en minutes	&30	&40	&50	&60	&70	&80	&90	&100\\\hline
$z_i=\ln(y_i)$			&	&	&	&	&	&	&	&\\\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Représenter le nuage de points $M_i\left(t_i~;~z_i\right)$ dans le repère de l’annexe 1.
\item
\begin{enumerate}
\item À l’aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite $D$ d’ajustement de $z$ en $t$ par la méthode des moindres carrés. Les coefficients seront arrondis à $10^{-4}$.

\item Tracer la droite $D$ dans le repère de l’annexe 1. 
\end{enumerate}
Dans la suite, on admet que la droite $D$ a pour équation $z = 0,035 t - 3,705$.
\item Le coefficient directeur de la droite $D$ représente la vitesse spécifique de croissance
exponentielle (exprimée par minute) de la population microbienne A.
	\begin{enumerate}
		\item Donner la vitesse spécifique de croissance exponentielle, exprimée par minute, de la population microbienne A.
		\item Déterminer l’espèce microbienne présente dans la préparation réalisée à partir de la population microbienne A, sachant qu’il s’agit de l’une des trois référencées en annexe 2.

Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Dans cette partie, on s’intéresse à la préparation effectuée à partir de la population microbienne B.

La phase de croissance exponentielle démarre au bout de 60 minutes et l’absorbance vaut alors 1,7. Cette phase de croissance exponentielle dure au moins 210 minutes.

On note $f(t)$ l’absorbance de cette deuxième préparation pour tout temps $t$ exprimé en minutes.

On admet que la fonction $f$ ainsi définie est solution de l’équation différentielle
(E) : $y' = 0,0058 y$ sur $[60~;~270]$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l’équation différentielle (E).
		\item On sait que $f(60) = 1,7$. Déterminer une expression de $f (t)$ pour tout $t$ de $[60, 270]$.
	\end{enumerate}
	\medskip
	
Dans la suite, on prend pour tout réel $t$ de $[60~;~270]$,\: $f(t)= 1,2\text{e}^{\np{0,0058}t}$.
\item Étudier les variations de la fonction $f$ sur $[60~;~270]$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l’équation $f (t) = 3,4$ sur $[60 , 270]$.
		\item La durée nécessaire au doublement de l’absorbance et évaluée depuis le début de la
phase de croissance exponentielle représente le temps de génération de la population
microbienne B.

En déduire l’espèce microbienne présente dans la préparation réalisée à partir de la
population microbienne B, sachant qu’il s’agit de l’une des trois référencées en
annexe 2. Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}

\medskip

Le 1\ier{} janvier 2014, le père de Flo a planté des thuyas d’une hauteur de 60 cm. On admet que leur hauteur augmente de 12\,\% chaque année.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Flo voudrait savoir en quelle année la haie de thuyas atteindra sa hauteur sachant qu’elle—même
mesure 1,70 m et ne grandit plus. Pour cela, on emploie deux méthodes différentes.

\medskip

\begin{enumerate}
\item \emph{En utilisant un algorithme}

On considère l’algorithme ci-dessous :

\begin{center}

\begin{tabular}{|l|}\hline
\textbf{Variables:} \\
$n$ entier naturel, $h$ réel\\
\textbf{Initialisations:}\\
Affecter à $n$ la valeur 0\\
Affecter à $h$ la valeur 60\\
\textbf{Traitement :}\\
Tant que $h < 170$\\
\hspace{2em}Affecter à $n$ la valeur $n + 1$\\
\hspace{2em}Affecter à $h$ la valeur $1,12\times h.$\\
Fin Tant que\\
\textbf{Sortie}\\
Afficher n\\\hline
\end{tabular}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Indiquer, dans un tableau, les valeurs successives prises par les variables $n$ et $h$ lors du déroulement de l’algorithme, jusqu’à son arrêt (les résultats seront arrondis à $10^{-1}$) :
		\item Quelle valeur cet algorithme affichera-t-il ? Interpréter concrètement ce résultat par
rapport à la situation étudiée.
	\end{enumerate}
\item \emph{Sans utiliser l ’algorithme}

Pour tout entier naturel $n$, on note $h_n$ la hauteur en centimètres des thuyas le 1\ier{} janvier $2014+n$.
	\begin{enumerate}
		\item Donner la valeur de $h_0$. Expliquer pourquoi $h_1 = 67,2$.
		\item Exprimer $h_n$ en fonction de $n$, pour tout entier naturel $n$.
		\item En posant une inéquation, répondre à la question de Flo.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Dès que la haie atteint $1,70$~m, le père de Flo décide de réduire sa hauteur de 15 cm. Ensuite,
chacune des années suivantes, il taillera la haie de $15$~cm à la même date. La législation impose que la hauteur de la haie ne dépasse pas 2~m de haut.

Pendant combien d’années encore la hauteur de la haie respectera-t-elle la législation ? 

Expliquer la démarche utilisée.
	
\vspace{0.5cm}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE 1 (à rendre avec la copie)}
\end{center}
\medskip
\textbf{\textsc{Exercice 2} }

\vspace{2cm}
\psset{xunit=0.08cm,yunit=4.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25,comma=true}
\begin{pspicture*}(-10.,-2.75)(160.,0.25)
\multips(0,-2.7)(0,0.1){31}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(-10.,0)(160.,0)}
\multips(-10,0)(5.0,0){35}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(0,-2.75)(0,0.25)}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=10.,Dy=0.2,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-9.,-2.75)(160.,0.25)
\rput[tl](1.4,0.2){$z$}
\rput[tl](155.20000000000027,-0.04){$t$}
\end{pspicture*}

\begin{center}
\textbf{ANNEXE 2 \textbf{\textsc{(Exercice 2)} } vitesse spécifique de croissance exponentielle (par heure) et temps
de génération (en heures) de trois espèces microbiennes}
\end{center}
\medskip

\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\centering}m{4.5cm}|>{\centering}m{4.5cm}|>{\centering}m{4.5cm}|}
\hline
\textbf{Espèce microbienne}&\textbf{Vitesse spécifique de croissance exponentielle par heure}&\textbf{Temps de génération en heures}\tabularnewline
\hline
\rule[-3.5mm]{0mm}{9mm}\emph{Treponema pallidum}&0,02&33\tabularnewline
\hline
\rule[-3.5mm]{0mm}{9mm}\emph{S. cerevisae}&0,35&2\tabularnewline
\hline
\emph{E. coli}&2,10&0,33 (soit~environ~20~minutes)\tabularnewline
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{document}