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%Tapuscrit : Jean-Claude Souque
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Sciences et technologies de laboratoires biotechnologies}  
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{11 juin 2015}}
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\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL biotechnologies   Polynésie 11 juin 2015~\decofourright}}
\end{center}
    
\vspace{0,3cm}
 
La calculatrice (conforme à la circulaire \no 99-186 du 16 novembre 1999) est autorisée.

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.

Il sera tenu compte de la clarté des raisonnements et de  la qualité de la rédaction   dans l'appréciation des copies.

\vspace{0,25cm}
    
\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 3 points}   

\medskip



Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.

Pour chacune des questions, une seule des trois réponses proposées est exacte.

Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l’absence de réponse à une question ne rapportent ni n’enlèvent de point.

\smallskip

\textbf{Indiquer, sans justification, le numéro de la question et la réponse correspondante sur la copie.}

\begin{enumerate}
\item  On admet qu’une valeur mesurée suit une loi uniforme sur [0,995~;~1,005]. La probabilité que la valeur mesurée soit comprise entre 0,998 et 1,002 est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}0,01 &\textbf{b.~~}0,004  &\textbf{c.~~}0,4 &\textbf{d.~~} 0,03
\end{tabularx}

\medskip

\item Dans cette question, l’unité de mesure est le micromètre.

Un élève mesure le diamètre de cellules de levure. Dans cette question, on admet que le résultat de la mesure $X$ suit une loi normale d’espérance 6 et d’écart type 2.

La probabilité d’obtenir une mesure comprise entre 4 et 8 vaut à $10^{-3}$ près :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} 0,954&\textbf{b.~~}0,876   &\textbf{c.~~}0,683 &\textbf{d.~~} 0,512
\end{tabularx}

\medskip

\item Des élèves mesurent le diamètre de cellules de levure.

Ils effectuent 50 mesures et observent que 15 d’entre elles donnent des diamètres supérieurs à $\np[\micro m]{10}$.

Le nombre $p$ désigne la proportion de cellules dont le diamètre est supérieur à $\np[\micro m]{10}$ .
L’intervalle de confiance de $p$, au niveau de confiance 95\,\% avec des valeurs à $10^{-3}$ près, est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} [0,282~;~0,318]&\textbf{b.~~} [0,173~;~0,427] &\textbf{c.~~}[9,7~;~10,3]
\end{tabularx}

\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\medskip

On injecte dans le sang d’un malade un médicament à l’aide d’une perfusion. L’efficacité de ce
médicament est optimale lorsque le débit de la perfusion est stable et que la concentration du produit ne
dépasse pas 250 microgrammes (\micro g) par cm$^3$, seuil au-delà duquel des effets indésirables et toxiques
apparaissent.

On relève l’évolution de la concentration de ce médicament et on obtient les résultats suivants :

\smallskip
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4.75cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
Temps $t_i$ en minutes						&0	& 2& 4 &6	& 10 &12	& 15\\\hline
Concentration $c_i$ en $\micro g$ par cm$^3$&0 	&64&94 &130	& 195&220	& 230\\\hline
\end{tabularx}
\end{center}
\medskip
\emph{Dans cet exercice, les résultats seront arrondis à $10^{-2}$.}

\begin{center}
\textbf{Partie A}
\end{center}


On pose : $y_i = \ln \left(250 - c_i\right)$ où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau suivant (donner des valeurs arrondies à $10^{-2}$ ) :

\smallskip

\begin{center}
\begin{tabular}{|m{3cm}|*{7}{p{1.15em}|}}
\hline
Temps $t_i$ en minutes 				&0	& 2	& 4	& 6	& 10&12	& 15\\\hline
$y_i = \ln \left(250 - c_i\right)$	&	&	&	&	&	&	&\\\hline
\end{tabular}
\end{center}
\smallskip

\item  Dans un repère orthogonal d’unités \np[cm]{1} en abscisse et \np[cm]{2}  en ordonnée, représenter le nuage de points $M_i\ \left(t_i~;~ y_i\right)$ de la série statistique définie par le tableau précédent.
\item  Déterminer une équation de la droite $\mathcal{D}$ d’ajustement affine de $y$ en $t$ obtenue par la méthode des moindres carrés. Représenter cette droite dans le repère précédent.
\item  En déduire une relation entre la concentration $c$ et le temps $t$ sous la forme $c = A + B \text{e}^{k t}$.
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
\textbf{Partie B}
\end{center}

\medskip 

Soit la fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par  $f(t) = 250 - 284,29\text{e}^{- 0,17t}$.


On admet que la fonction $f$ donne une bonne approximation de la concentration du médicament.

La courbe $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ et son asymptote $D_1$ d’équation $y = 250$ sont données en annexe 1, page \pageref{medicament}.

\begin{enumerate}
\item  En justifiant, déterminer graphiquement le signe de la fonction dérivée de $f$ sur $[0~;~+\infty[$.
\item En justifiant, déterminer graphiquement la limite de $f$ en $+\infty$.
\item Justifier que la concentration du médicament ne dépasse pas $\np[\micro g]{250}$  par cm$^3$.
\item
	\begin{enumerate}
	\item Résoudre sur $[0~;~+\infty[$ l’inéquation $f(t) > 180$.
	\item En déduire, à une minute près, le temps nécessaire pour atteindre la dose efficace qui est de $\np[\micro g]{180}$ par cm$^3$.
	\end{enumerate}
\item  Retrouver ce résultat en utilisant le graphique de la partie A (on expliquera la démarche utilisée 
en laissant les traits de construction apparents).
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 7 points}

\medskip
\begin{center}
\textbf{Partie A}
\end{center}
\medskip
On considère l’équation différentielle (E) : $y' + \np{0,0865} y = 0 $ où $y$ est une fonction dérivable sur $[0~;~+\infty[$.

\begin{enumerate}
\item Résoudre cette équation.
\item Déterminer la fonction $f$ solution de (E) vérifiant la condition initiale : $f(0) = 4$.
\end{enumerate}

\medskip
\begin{center}
\textbf{Partie B}
\end{center}
\medskip

Le but de cette partie est l’étude de la décroissance radioactive de l’iode 131.

On considère la fonction $N$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par $N(t) = 4 \text{e}^{-0,0865 t}$.

On admet que $N(t)$ donne le nombre de noyaux, exprimé en millions, d’iode 131 présents dans un
échantillon à l’instant $t$ exprimé en jours.

On note $C$ la courbe représentative de la fonction $N$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $N(t)$ lorsque $t$ tend vers $+\infty$. En donner une interprétation physique.
\item 
	\begin{enumerate}
	\item Soit $N '$ la fonction dérivée de $N$. Calculer $N '(t)$ .
	\item Étudier le signe de $N'$ , puis dresser le tableau de variation de la fonction $N$.
	\item Déterminer une équation de la tangente $T$ à $C$ au point d’abscisse 0.
	\end{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau suivant :

\medskip
\begin{tabular}{|c|*{12}{p{0.5cm}|}}\hline
$t$ en jours 	&0 	&2	&4 	&6	&8	&10	&12	&14 &16	&18	&20	&25\\\hline
$N(t)$			&	&	&	&	&	&	&	&	&	&	&	&\\\hline
\end{tabular}
\medskip

\emph {On donnera des valeurs approchées à $0,1$ million.}
\item Construire $T$ et $C$ dans le repère orthogonal donné en annexe 2, page \pageref{iode}.
\item 
	\begin{enumerate}
	\item Calculer au bout de combien de jours le nombre de noyaux radioactifs est inférieur à \np{750000}.
	\item Retrouver ce résultat graphiquement (on laissera les traits de construction apparents).
	\end{enumerate}
\item Déterminer graphiquement le temps nécessaire pour que le nombre de noyaux radioactifs passe de 4~millions à 2~millions, de 2~millions à 1~million, de 1~million à \np{500000}.
	
Cette valeur est appelée durée de demi-vie de l’iode 131.
	\end{enumerate}
	
\vspace{0.5cm}
	
\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points}

\medskip

\begin{center}
\textbf{Partie A}
\end{center}

\medskip

Une population de bactéries a la propriété de doubler toutes les heures dans des conditions particulières.

On suppose que cette capacité de doublement ne dépend pas du nombre initial de bactéries.

Lors d’une expérience, Camille décide d’ajouter, chaque heure, un millier de bactéries du même type.

\medskip

Elle écrit l’algorithme ci-contre : \hspace{2em}
\begin{tabular}{|l|}\hline
Saisir $N$\\
$H$ prend la valeur 0\\
$V$ prend la valeur $N$\\
Tant que $V < 10^5$\\
\hspace{1.6em}$H$ prend la valeur $H + 1$\\
\hspace{1.6em}$V$ prend la valeur $2 * V + \np{1000}$\\
Fin Tant que\\
Afficher $H$\\\hline
\end{tabular}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Quelle est la valeur affichée par l’algorithme pour $N = \np{10000}$ ?
\item On note  $V_n$ le nombre de bactéries à la $n\ieme{}$ heure, $n$ étant un entier naturel. On admet que  $V_0 =\np{10000}$.
	\begin{enumerate}
		\item  Exprimer $V_{n+1}$  en fonction de  $V_n$ .
		\item La suite $\left(V_n\right)$ est-elle géométrique ? Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
\textbf{Partie B}
\end{center}

\medskip

Camille recommence l’expérience avec \np{10000} bactéries, dans des conditions différentes et sans ajouter de bactéries à chaque heure.

Elle constate que :
\begin{itemize}
\item[--] tant que le nombre de bactéries est strictement inférieur à \np{40000}, le nombre double toutes les
heures ;
\item [--]à partir de \np{40000} bactéries, le nombre augmente seulement de 50\,\% toutes les heures.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item Modifier l’algorithme précédent pour prendre en compte ces nouvelles conditions.
\item Dans ces conditions, au bout de combien d’heures, le nombre de bactéries dépassera-t-il la valeur de~$10^5$ ?
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE 1(à rendre avec la copie)}
\end{center}
\medskip
\textbf{\textsc{Exercice 2} }

\vspace{2cm}

\begin{center}
\psset{xunit=0.84cm,yunit=0.041cm,arrowscale=1.5,showorigin=false}
\begin{pspicture}(0,0)(16,270)
\multido{\n=0+0.5}{33}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,265)}
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\uput[dl](0,0){O}\uput[u](15.5,215){\blue $C$}\uput[u](15,250){$D_1$}
\end{pspicture}
\end{center}
\label{medicament}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE 2 (à rendre avec la copie)}
\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 3} }

\medskip

\begin{rotatebox}{90}{
\psset{xunit=0.8cm,yunit=1.6cm,arrowscale=1.5,showorigin=false,comma=true}
\begin{pspicture}(0,0)(23.5,7)
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\multido{\n=0+0.25}{25}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(23.5,\n)}
\psaxes[Ox=0,Oy=0,Dx=1,Dy=10,linewidth=1pt](0,0)(23.5,6)
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\uput[dl](0,0){O} \uput[ur](22,0){$t$ \emph{\small en jours}}\uput[ur](0,5.75){$N(t)$ \emph{\small en millions}}
\multido{\n=0+1}{7}{\uput[l](0,\n){\np{\n}}}
\multido{\n=0.5+1.0}{6}{\uput[l](0,\n){\np{\n}}}
\end{pspicture}}
\end{rotatebox}
\label{iode}
\end{document}