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%Tapuscrit Jean-Claude Souque
%Relecture François Hache
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat  Sciences et Technologies de laboratoire (STL)spécialité Biotechnologies}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{18 juin 2019}}
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\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL spécialité biotechnologies  Antilles-Guyane~\decofourright\\[5pt] 18 juin 2019}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\emph{La feuille Annexe, page \pageref{annexe}, est à numéroter et à rendre avec la copie même non complétée.}

\emph{Une feuille de papier millimétré, fournie avec le sujet, est à rendre avec la copie même
non complétée.}

\emph{Les exercices du sujet sont indépendants et peuvent être traités séparément dans l'ordre choisi
par le candidat.}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill (5 points)}  

\vspace{0.35cm}

Une entreprise fabrique des dés cubiques non pipés pour des jeux de société.

\begin{enumerate}
\item La masse $X$ d’un dé, en grammes, suit la loi normale d’espérance 8 et
d’écart type 0,05. On prélève un dé au hasard dans la production.
\begin{enumerate}
\item Déterminer la probabilité que ce dé ait une masse comprise entre 7,9 grammes
et 8,1 grammes. On arrondira à $10^{-2}$ près.
\item Déterminer la probabilité que ce dé ait une masse supérieure à 7,95 grammes.
On arrondira à $10^{-2}$ près.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

Maintenant, on colle une étiquette rouge sur l'une des faces d’un dé prélevé et des
étiquettes blanches sur les cinq autres.
\begin{enumerate}[resume]
\item On lance 10 fois ce dé et on note $Y$ le nombre de faces rouges obtenues.
\begin{enumerate}
\item  Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire $Y$ ? Vous justifierez ce choix tout
en précisant ses paramètres.
\item Calculer la probabilité d’obtenir exactement trois faces rouges. On arrondira
à $10^{-3}$ près.
\item Calculer la probabilité d’obtenir au moins une face rouge. On arrondira
à $10^{-3}$ près.\end{enumerate}
\item Une personne lance 120 fois ce dé et obtient 29 fois la face rouge. Elle affirme que
ce dé est pipé. Son affirmation est-elle justifiée au seuil de 5\,\% ?
\end{enumerate}


\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  5 points}

\medskip


Lors d’une expérience de chimie, on mesure le pH de différentes solutions obtenues en
mélangeant une solution d’acide acétique et une solution d’acétate de sodium.
On note $V_A$ et $V_S$ les volumes respectifs, en mL, de solution d’acide acétique et de solution
d’acétate de sodium mélangés pour préparer chaque solution.

Le tableau suivant donne le pH de chaque solution obtenue en fonction du rapport des
volumes $\dfrac{V_A}{V_S}$.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{5.15cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
Numéro de la solution	& \No 1			& \No 2	& \No 3	& \No4	& \No 5 &\No 6\\\hline
Rapport des volumes $k_i=\frac{V_A}{V_S}\rule[-8pt]{0pt}{21pt}$&0,1& 0,25	& 1		& 2		& 5		& 10\\\hline
pH du mélange $y_i$ 	&3,7			& 4,1	& 4,7 	&5		& 5,4	& 5,7\\\hline
\end{tabularx}
\begin{enumerate}
 \item Un ajustement affine n’étant pas judicieux, on pose $x_i=\ln (k_i)$.
 \medskip
 
 \begin{tabular}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}m{1.3cm}|}}
 \hline
$x_i=\ln (k_i)$	&$- 2,30$&		&		&	&	&\cellcolor{lightgray}\\\hline
$y_i$			&3,7	& 4,1	& 4,7	& 5 &5,4& 5,7\\\hline
\end{tabular}

\begin{enumerate}
\item Expliquer, à l'aide d’au moins une propriété de la fonction $\ln$, comment obtenir
sans calculatrice la valeur de la case grisée.
\item Compléter le tableau sur l'\textbf{annexe à rendre avec la copie, page \pageref{annexe}}. On
arrondira à $10^{-2}$ près.
\end{enumerate}
\item Représenter sur une feuille de papier millimétré le nuage de points de coordonnées
$\left(x_i~;~y_i\right)$ dans un repère orthonormé d’unité 2 cm.
\item
\begin{enumerate}
\item Déterminer à l'aide de la calculatrice une équation de la droite $D$ d’ajustement
affine de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés. On arrondira les
coefficients à $10^{-4}$ près.

\smallskip

On considérera pour la suite que la droite $D$ a pour équation :$y= 0,43 x+ 4,70$.
\smallskip

\item Tracer la droite $D$ dans le repère précédent.
 \end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item Déterminer graphiquement une estimation du pH lorsque le rapport des
volumes $\frac{V_A}{V_S}$ est égal à 0,5.
\item Déterminer algébriquement une estimation du pH lorsque le volume d’acétate
de sodium est 5 fois plus important que le volume d’acide acétique. On
arrondira à $10^{-2}$ près.
\end{enumerate}
\item  Déterminer une estimation, arrondie à l'unité, du rapport des volumes pour lequel le
pH du mélange est de 5,3.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill  5 points}

\medskip

Un marchand de cycles désirant commercialiser des Vélos à Assistance Électrique (VAE)
étudie une enquête donnant le nombre des ventes de ce produit dans une région entre
2014 et 2017.

 Le résultat de cette enquête est donné dans le tableau ci-dessous :

\smallskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.85cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\centering Année& 2014 &2015& 2016 &2017\\\hline
Nombre de VAE vendus
en milliers d’unités &58,6 &77,5& 102& 135\\\hline
\end{tabularx}

\vspace{0.5cm}

\textbf{Partie A}

\vspace{0.25cm}

\begin{enumerate}
\item  Calculer le pourcentage d’augmentation des ventes de VAE entre 2014 et 2015. On
arrondira à 0,1\,\% près.
\item Suite à son étude le commerçant estime que si l'évolution observée entre
2014 et 2015 reste la même sur les dix années à venir, on peut envisager une
augmentation des ventes de 32\,\% par an entre 2017 et 2025.

Suivant ce modèle quel serait le nombre de VAE vendus dans cette région en 2019 ?
\end{enumerate}
\vspace{0.5cm}

\textbf{Partie B}

\vspace{0.25cm}


Le commerçant a finalement décidé de proposer à la vente un modèle de VAE à partir du
1\up{er} janvier 2018. En 2018, il a vendu 100 VAE et il estime que le nombre de ventes suivra
la même évolution qu’à l'échelon régional, c'est-à-dire une progression de 32\,\% par an.
\begin{enumerate}
\item  Quel sera le nombre de VAE vendus en 2025 par le commerçant si son estimation se
réalise ?
\item Le bénéfice réalisé par le commerçant pour chaque VAE vendu est de 150 euros en
2018, et augmentera ensuite de 2,5\,\% chaque année.
\begin{enumerate}
\item  Quel a été le bénéfice réalisé par le commerçant en 2018 sur la vente de ses VAE ?
\item Montrer que le bénéfice attendu sur la vente des VAE en 2019 sera de \np{20 295}~euros.
\item On modélise par une suite $v$ les bénéfices attendus sur la vente des VAE par ce
commerçant. On appelle $v_n$ le bénéfice sur la vente des VAE lors de l'année
2018 +$n$. On admet que la suite $v$ est une suite géométrique. Déterminer sa
raison.
\end{enumerate}
\item Compléter, sur l'\textbf{annexe à rendre avec la copie, page \pageref{annexe}}, l'algorithme qui permettra
au commerçant de connaître l'année où la somme cumulée des bénéfices attendus
sur la vente des VAE depuis janvier 2018 dépassera \np{300 000}~euros.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill  5 points}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\vspace{0.25cm}

La solubilité $s$ exprimée en pourcentage massique (\% m$\cdot$ m$^{-1}$) du dioxyde de soufre
dans l'eau en fonction de la température $t $ en \textdegree~C est une solution de l'équation
différentielle $(E) :\quad  y'(t)+ 0,04y(t)= 0$.
\begin{enumerate}
\item  Résoudre l'équation différentielle $(E)$.
\item Sachant que la solubilité à la température 0\textdegree~C est de \np[\%m \cdot m^-1]{23} , déterminer $s(t)$.
\end{enumerate}
\vspace{0.5cm}

\textbf{Partie B}

\vspace{0.25cm}


Dans la suite de l'exercice, on considère que la fonction solubilité $s$ est définie sur
l'intervalle $[0~;~+\infty[$  par :

\[s(t)= 23 \e^{-0,04t}.\]

On désigne par $C_s$, sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
\begin{enumerate}
\item  On admet que $\displaystyle \lim_{t\to+\infty} \e^{-0,04t}=0$. Déterminer la limite de $s$ en $+\infty$.

Quelle interprétation graphique peut-on donner de cette limite ?
\item Étudier les variations de $s$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
\item À partir de quelle température, arrondie à l'unité, la solubilité $s$ du dioxyde de soufre
en pourcentage massique sera-t-elle inférieure à 2 ?
\item La valeur moyenne de la fonction $s$ entre les températures $a$ et $b$ est donnée par :
\[\displaystyle \dfrac{1}{b-a}\int_a^b s(t)\mathrm{d}t.\]
Calculer la valeur moyenne de la fonction $s$, solubilité du dioxyde de soufre, entre
10 \textdegree C et 30 \textdegree C. On arrondira à $10^{-1}$.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Annexe à numéroter et à remettre avec la copie \\ à la fin de
l'épreuve même non complétée}

\textbf{(placer à l'intérieur de la copie pour agrafage)}
\end{center}

\vspace{2cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} question 1.b.}

\medskip

{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4.85cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
Rapport des
volumes $k_i=\frac{V_A}{V_S}\rule[-10pt]{0pt}{25pt}$	&0,1	& 0,25	& 1	& 2 &5	& 10\\\hline
\centering $x_i=\ln \left(k_i\right)$		&$-2,30$&		&	&	&	&\cellcolor{lightgray}\\\hline
\centering $y_i$ &3,7 &4,1& 4,7& 5& 5,4& 5,7\\
\hline
\end{tabularx}
}

\vspace{5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3 } Partie B question 3.}

\bigskip

{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\begin{tabular}{|m{5cm}|}
\hline
%\begin{minipage}[]{3cm}
$A \longleftarrow 2018$\\
$B \longleftarrow \np{15 000}$\\
$S \longleftarrow \np{15 000}$\\
Tant que \dots\\
\hspace*{1cm} $A \longleftarrow \dots$\\
\hspace*{1cm} $B\longleftarrow \dots$\\
\hspace*{1cm} $S \longleftarrow \dots$\\
Fin Tant que\\
%\end{minipage}\\
\hline
\end{tabular}}
\label{annexe}
\end{document}

1
BACCALAURÉAT TECHNOLOGIQUE
SESSION 2019
Série STL – Biotechnologies
MATHÉMATIQUES
DURÉE : 4 HEURES
COEFFICIENT : 4
L'USAGE DE TOUT MODÈLE DE CALCULATRICE,
AVEC OU SANS MODE EXAMEN, EST AUTORISÉ.
Ce sujet comporte 6 pages numérotées de la page 1/6 à la page 6/6.
Avant de composer, assurez-vous que l'exemplaire qui vous a été remis est bien complet.

La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront dans l'appréciation des copies.
