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%tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat STL Biologie, génie biologique}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{juin 2000}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL Antilles--Guyane  juin 2000~ \decofourright\\ Biologie--Génie biologique}}

\vspace{0,25cm}

%Durée : 2 heures \hfill Coefficient : 2 
%
%\vspace{1cm}
\end{center}
\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

%40 livres de mathématiques pour la section STL sont disposés sur une étagère de la bibliothèque du centre de documentation et d'information d'un lycée. 7 d'entre eux ont une couverture bleue, 12 ont une couverture jaune et 21 ont une couverture rouge.
% 
%Parmi ces 40 livres, 35\:\% sont des livres de première, et tous les autres sont des livres de terminale. Parmi les 7 livres à couverture bleue, 4 sont du niveau première.
% 
%Parmi les 12 livres à couverture jaune, les 3/4 sont du niveau terminale.

\begin{enumerate} 
\item ~%Reproduire sur la copie et remplir le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabular}{| l| *{4}{c|}}\hline
Nombre de livres& à couverture& à couverture& à couverture&	~~Total~~\\
&	bleue&	jaune&	rouge& \\ \hline
de première&4&3&7&14\\ \hline
de terminale&3&9&14&26\\ \hline
Total&7&12&21&40\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\item %On choisit un livre au hasard sur l'étagère, et on suppose l'équiprobabilité des tirages.
	\begin{enumerate} 
		\item %Quelle est la probabilité $p_1$ qu'il s'agisse d'un livre de terminale ?
$p_{1} = \dfrac{26}{40} = \dfrac{13}{20} = \dfrac{65}{100} = 0,65$.
		\item %Quelle est la probabilité $p_2$ qu'il s'agisse d'un livre à couverture jaune ?
$p_{2} = \dfrac{12}{40} = \dfrac{6}{20} = \dfrac{30}{100} = 0,30$.
		\item %Quelle est la probabilité $p_3$ qu'il s'agisse d'un livre de terminale à couverture jaune ?
$p_{3} = \dfrac{9}{40} = \dfrac{4,5}{20} = \dfrac{22,5}{100} = 0,225$.
		\item %Quelle est la probabilité $p_4$ qu'il s'agisse d'un livre de terminale ou d'un livre à couverture jaune ? 
$p_{4} = \dfrac{29}{40} = \dfrac{14,5}{20} = \dfrac{72,5}{100} = 0,725$.
	\end{enumerate} 
\item %Jacques et Sophie veulent chacun un livre à couverture bleue. Jacques choisit un livre, puis Sophie un autre parmi ceux qui restent.
	\begin{enumerate} 
		\item %Combien de résultats différents peut-on obtenir ? On pourra s'aider d'un arbre (même incomplet) ou d'un tableau.
Il y a $7 \times 6 = 42$ résultats différents
		\item %Quelle est la probabilité que Jacques et Sophie emportent tous les deux un livre de première ?
Jacques peut choisir l'un des 4 livres de première sur les 7. Il reste à Sophie 3 possibilités de choisir un livre de première sur les 6 restants : cela fait donc : $4 \times 3 = 12$ cas favorables sur 42 issues. Le probabilité est donc égale à $\dfrac{12}{42} = \dfrac{2}{7}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Partie A  Résolution d'une équation différentielle}

%\medskip
%
%On considère l'équation différentielle $y' = 0,12 y$.

\begin{enumerate} 
\item %Résoudre dans $\R$ cette équation différentielle.
On sait que les solutions sont de la forme $f(x) = A\text{e}^{0,12x},~A \in \R$.
\item %Déterminer la fonction $f$ solution de cette équation différentielle prenant la valeur $3,5$ pour la valeur $0$ de la variable.
Si $f(x) = A\text{e}^{0,12x},~A \in \R$ et $f(0) = 3,5$ alors $f(0) = A\text{e}^{0,12\times 0} = 3,5$ ou $A = 3,5$.

On a donc $f(x) = 0,35\text{e}^{0,12x}$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie B Étude d'une fonction}

\medskip

%Soit $f$ la fonction définie pour tout $t$ appartenant à $[0~;~+ \infty[$ par 

%\[f(t) = 3,5 \text{e}^{0,12t}.\]

%On appelle ($\mathcal{C}$) la courbe représentative de $f$ dans un repère  orthonormal \Oij{} (unité 1~cm sur chaque axe).

\begin{enumerate} 
\item %Déterminer la limite de $f(t)$ lorsque $t$ tend vers $+ \infty$.
Comme $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} 0,12t = + \infty$, et que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{x} = + \infty$, on a $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} f(t) = + \infty$.
\item %Soit $f'$ la fonction dérivée de $f.$
	\begin{enumerate} 
		\item %Calculer $f'(t)$ pour tout $t$ de $[0~;~+ \infty[$.
$f$ est dérivable sur $[0~;~+ \infty[$ et sur cet intervalle $f'(t) = 0,12 \times 3,5\text{e}^{0,12t} = 0,42\text{e}^{0,12t}$.

\emph{Rem :} on reconnaît dans $f$ une solution de l'équation différentielle ci-dessus : $y' = 0,12y$, donc $f'(t) = 0,12f(t) = 0,12 \times 3,5\text{e}^{0,12t} = 0,42\text{e}^{0,12t}$.
		\item %Étudier le signe de $f'(t)$.
Comme $0,42 > $, le signe de $f'(t)$ est celui de $\text{e}^{0,12t}$ ; mais on sait que 

$\text{e}^x > 0$, quel que soit le réel $x$.

Conclusion : $f'(t) > 0$ : la fonction est croissante sur  $[0~;~+ \infty[$.
		\item %Dresser le tableau de variation de $f$.
On a vu que $f(0) = 3,5$. On a donc le tableau de variation suivant :

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(6,2.5)
\psframe(6,2.5)\psline(0,2)(6,2)\psline(2,0)(2,2.5)
\uput[u](1,2){$x$} \uput[u](2.1,2){$0$} \uput[u](5.5,2){$+ \infty$}
\rput(1,1){$f(t)$}
\psline{->}(2.5,0.5)(5.5,1.5)
\uput[u](2.3,0){3,5}\uput[d](5.5,2){$+ \infty$} 
\end{pspicture}
\end{center}
	\end{enumerate}
\item %Déterminer une équation de la tangente (T) à ($\mathcal{C}$) au point de ($\mathcal{C}$)  d'abscisse 0.
Une équation de (T) est $y = f(0) + f'(0)(x - 0) = f(0) + xf'(0)$

Or $f(0) = 3,5$ et $f'(0) = 0,42$.

Une équation de (T) est donc $y = 0,42x + 3,5$.
\item %Reproduire et compléter le tableau suivant. On donnera les résultats à $10^{-2}$ près.

\[ \begin{tabularx}{\linewidth}{|l | *{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$		&0	&1	&2	&3	&4	&5	&6	&7	&8	&9	&10\\ \hline
$f(t)$	&3,5	&3,95	&4,45	&5,02	&5,66	&6,38	&7,19	&8,11	&9,14	&10,3	&11,62\\ \hline
\end{tabularx}\]

\item %Construire la tangente (T) et la courbe ($\mathcal{C}$) sur l'intervalle [0~;~10].
Voir à la fin.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie C Application}

\medskip

%Dans un milieu biologique donné, on appelle $N$ le nombre de cellules d'une population  en développement. $N$ varie en fonction du temps $t$ selon la relation $N = f(t) = 3,5 \text{e}^{0,12t}$, où $N$ est exprimé en millions de cellules  et $t$ en heures.
\begin{enumerate} 
\item %Calculer l'instant $t$ (arrondi au centième) où le milieu donné contiendra une population de 6~millions de cellules.
On cherche $t$ tel que $3,5 \text{e}^{0,12t} = 6 \iff \text{e}^{0,12t} = \dfrac{6}{3,5} \iff 0,12t = \ln \left(\dfrac{6}{3,5} \right) $ (par croissance de la fonction logarithme népérien) $ \iff t = \dfrac{1}{0,12}\ln \left(\dfrac{6}{3,5} \right)$ soit environ 4,49~h soit environ 4~h 29~min.
\item %Retrouver ce résultat graphiquement. On fera apparaître les traits de construction sur le dessin.
Graphiquement : par le point (0~;~6) on trace la parallèle à l'axe des abscisses qui coupe la courbe ($\mathcal{C}$) en un point o\`u on trace la parallèle à l'axe des ordonnées qui coupe cet axe en un point dont les coordonnées sont à peu près (4,5~;~0)
\end{enumerate}

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(11.5,12)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.5,-0.5)(11.5,12)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{10.29}{3.5 2.71828 0.12 x mul exp mul}
\uput[r](9.1,10.3){($\mathcal{C}$)}\uput[d](11.5,0){$t$}\uput[l](0,12){$f(t)$}
\psplot{0}{10}{0.42 x mul 3.5 add}\uput[d](9.3,7.3){(T)}
\psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed,arrowsize=3pt 5]{->}(0,6)(4.49164,6)(4.49164,0)
\uput[d](4.49164,0){$\approx 4,5$}
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange](0,0)(11,12)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}