%Origine : http://www.upbm.net/download/down/stl_2001.pdf
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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small STL Biochimie, génie biologique}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{juin 2001}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STL Antilles--Guyane~\decofourright \\juin 2001 Biochimie--Génie biologique}}
    
\vspace{0,5cm}

Calculatrice autorisée 

\vspace{0,5cm}

Durée de l'épreuve : 2 heures \hfill Coefficient  : 2

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 10 points}

\medskip

%On procède à l'hydrolyse alcaline du nitrobenzoate d'éthyle. Au cours de cette réaction, le nitrobenzoate d'éthyle se dégrade en nitrobenzoate et en éthanol. On a mesuré en fonction du temps la concentration du nitrobenzoate d'éthyle, notée $C(t)$.
%
%On a obtenu le tableau de valeurs suivant dans lequel $t$ est exprimé en minutes et $C(t)$ en millimoles par litre (mmol.L$^{-1}$).
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%$t$& 0& 1& 2& 3& 4 &6 &8 &10& 12& 14\\ \hline
%$C(t)$& 50& 32,5& 27,6& 21,3& 17,2& 14,1& 10,0& 8,2& 7,7& 7,2\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\medskip
%
%Le nuage de points $(t~;~C(t))$ associé à cette série est donné en annexe. Un ajustement affine de ce nuage ne semblant pas adapté, on pose maintenant $y(t) = \dfrac{100}{C(t)}$.
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant en arrondissant si nécessaire les résultats à $10^{-2}$, près.
		
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline		
$t$& 0& 1& 2& 3& 4& 6& 8& 10& 12& 14\\ \hline
$y(t)$&2&3,08&3,62&4,69&5,81&7,09&10&12,20&12,99&13,89 \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

		\item  %Construire le nuage de points $(t~ ;~ y(t))$ dans un repère orthonormal. (On prendra $1$~cm pour unité).
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item %On appelle G le point moyen de ce nuage. Calculer ses coordonnées.
On trouve G(6~;~7,54).
		\item %Soit A le point du nuage d'abscisse $0$. On admet que la droite (AG) constitue un bon ajustement du nuage.
		
%Construire cette droite.
Voir la figure plus bas.
		\item %Déterminer une équation de la droite (AG) (on arrondira si nécessaire les coefficients à $10^{-2}$ près) et en déduire que $C(t) = \dfrac{100}{2+ 0,92 t}$.
L'équation de la droite est de la forme $y = at + b$. On écrit que les coordonnées de A et de G vérifient cette équation :

$\left\{\begin{array}{l c l}
2 		&=& a \times 0 + b\\
7,54 	&=& 6a + b
\end{array}\right. \Rightarrow ~(\text{par différence})~6a = 5,54 \iff a = \dfrac{5,54}{6} \approx  0,92$, et $b = 2$.

Une équation de la droite (AG) est donc $y = 0,92t + 2$.

Comme $y(t) = \dfrac{100}{C(t)} =  0,92t + 2$, on en déduit que $C(t) = \dfrac{100}{0,92t + 2}$.
	\end{enumerate}
\item %En utilisant l'ajustement précédent :
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer la concentration en nitrobenzoate d'éthyle au bout de 7 minutes 30 secondes. Le résultat sera arrondi au dixième.
On a $C(7,5) = \dfrac{100}{0,92 \times 7,5 + 2} \approx 9,6$~(mmol.L$^{-1}$.
		\item %Déterminer graphiquement au bout de combien de temps la concentration en nitrobenzoate d'éthyle a diminué de moitié. Le résultat sera donné avec un chiffre après la virgule.
Une concentration de 25 correspond à $y = \dfrac{10}{25} = 4$.

On trace donc la droite d'équation $y = 4$ qui coupe la droite (AG) en un point dont on lit l'abscisse, soit à peu près 2,2.
		\item %Déterminer par le calcul à quel moment il reste 5 mmol.L$^{-1}$ de nitrobenzoate d'éthyle en solution. On donnera un résultat final exprimé en minutes et secondes arrondi à 1 seconde près.
5 mmol.L correspondent à $y = 20$.

Il faut donc résoudre l'équation : $20 = 0,92t + 2b \iff 0,92t = 18 \iff t = \dfrac{18}{0,92} \approx 19,6$~min soit 19~min et $0,6   \times 60 = 36$. Il faut donc 19~min 36~s.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(15,14)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(15,14)
\uput[d](15,0){$t$} \uput[l](0,14){$y$}
\psdots(0,2)(1,3.08)(2,3.62)(3,4.69)(4,5.81)(6,7.09)(8,10)(10,12.20)(12,12.99)(14,13.89)(6,7.54)
\psplot[linecolor=blue]{0}{13}{0.92 x mul 2 add}
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange]
\psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed,arrowsize=2pt 3]{->}(0,4)(2.174,4)(2.174,0)
\end{pspicture}
\end{center}
\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 10 points}

\medskip

%Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par 
%
%\[f(x) = \text{e}^{-\frac{1}{2}x + 1} - 2.\]
%On note $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal \Oij{} (unités graphiques $2$~cm sur l'axe des abscisses et $4$~cm sur l'axe des ordonnées).
%
%Les tracés demandés se feront sur papier millimétré.
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $+ \infty$.
On a $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}-\frac{1}{2}x + 1 = - \infty$, donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{-\frac{1}{2}x + 1} = 0$.

Finalement $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = - 2$
		\item %En déduire l'existence d'une asymptote $D$ à $(\mathcal{C})$. Donner une équation de $D$.
		Le résultat précédent signifie graphiquement que la droite $D$  d'équation $y = - 2$ est asymptote à la courbe $(\mathcal{C})$ au voisinage de plus l'infini.
\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $f'(x)$ pour tout $x$ de $[0~;~+ \infty[$.
$f$ est dérivable sur $[0~;~+ \infty[$ et $f'(x) = -\frac{1}{2}\text{e}^{-\frac{1}{2}x + 1}$.
		\item %Étudier le signe de $f'(x)$.
Comme $\text{e}^{-\frac{1}{2}x + 1} > 0$ quel que soit le réel $x$, le signe de $f'(x)$ est celui de $-\frac{1}{2}$, donc $f'(x) < 0$ et la fonction $f$ est décroissante sur $[0~;~+ \infty[$.
		\item %Dresser le tableau complet des variations de $f$.
Avec $f(0) = \text{e}^{0 + 1} - 2 = \text{e} - 2$, on a le tableau de variation suivant :

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(6,3)
\psframe(6,3) \psline(0,2)(6,2)  \psline(0,2.5)(6,2.5)\psline(2,0)(2,3)
\uput[u](1,2.5){$x$} \uput[u](2.1,2.5){$0$} \uput[u](5.5,2.5){$+\infty$}
\rput(1,2.25){$f'(x)$}\rput(4,2.25){$-$}
\rput(1,1){$f(x)$}\psline{->}(2.3,1.5)(5.5,0.5)
\uput[d](2.35,2){$\text{e} - 2$} \uput[u](5.7,0){$-2$}
\end{pspicture}
\end{center}
	\end{enumerate}
\item %Déterminer une équation de la tangente $T$ à $(\mathcal{C})$ au point d'abscisse $2$.
Une équation de $T$ est $y = f(2) + f'(2)(x - 2)$.

Or $f(2) = \text{e}^{-\frac{1}{2}\times 2 + 1} - 2 = \text{e}^0 - 2 = 1 - 2 = - 1$ et $f'(2) = -\frac{1}{2}\text{e}^{-\frac{1}{2}\times 2 + 1} = - \frac{1}{2}$.

Une équation de $T$ est donc $y = -1 - \dfrac{1}{2}(x - 2) = - \dfrac{1}{2}x  - 1 + 1$ donc finalement $y = - \dfrac{1}{2}x$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Tracer les droites $D$ et $T$ dans le repère \Oij{}  pour $x$ appartenant à l'intervalle [0~;~8].
Voir à la fin.
		\item %Construire avec soin la courbe $(\mathcal{C})$ dans le repère \Oij.
Voir à la fin.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer graphiquement une estimation à $10^{-1}$ près de la solution $\alpha$ de l'équation $f(x) = 0$.
On lit sur le graphique que $(\mathcal{C})$ coupe l'axe des abscisses en un point dont l'abscisse est environ 0,6. Donc $\alpha \approx 0,6$.
		\item %Résoudre par le calcul l'équation $f(x) = 0$. On donnera la valeur exacte de la solution.
Il faut résoudre l'équation :

\text{e}^{-\frac{1}{2}x + 1} - 2 =0 \iff \text{e}^{-\frac{1}{2}x + 1} = 2 \iff ~(\text{par croissance de la fonction logarithme népérien})$

$-\dfrac{1}{2}x + 1 = \ln 2 \iff \dfrac{1}{2}x = 1 - \ln 2 \iff x = 2(1 - \ln 2)$.

On a donc $\alpha = 2(1 - \ln 2)$.

On vérifie que $2(1 - \ln 2) \approx 0,613$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{ANNEXE}

\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.125cm}
\begin{pspicture}(15,80)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=10]{->}(0,0)(15,70)
\multido{\n=0+1}{16}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,70)}
\multido{\n=0+10}{8}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](0,\n)(15,\n)}
\multido{\n=0+0.2}{76}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,1.5)}
\multido{\n=0+1}{71}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](0,\n)(0.2,\n)}
\psdots(0,50)(1,32.5)(2,27.6)(3,21.3)(4,17.2)(6,14.1)(8,10)(10,8.2)(12,7.7)(14,7.2)
\rput(7.5,76){Nuage de points de coordonnées $(t~;~C(t))$}
\uput[u](14,0){$t$ (minutes)}
\uput[r](0,68){$C(t)$ mmol.L$^{-1}$}
\end{pspicture}

\vspace{0,75cm}

\psset{xunit=2cm,yunit=4cm}
\begin{pspicture}(0,-2)(6,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,-2)(6,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt,labels=none,Dx=0.1]{->}(0,0)(0,-2)(6,1)
\psplot{0}{4}{0 x 2 div sub}\uput[dl](3.7,-1.8){$T$}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{6}{2.71828 1 0.5 x mul sub exp 2 sub}\uput[u](5.8,-1.8){$\mathcal{C}$}
\uput[ur](0.613,0.02){$\alpha$}
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange]
\psline[linewidth=1.5pt](0,-2)(6,-2) \uput[u](0.2,-2){$D$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}