%Origine http://www.upbm.net/download/down/stl_2002.pdf
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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat STL Biochimie, génie biologique}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{septembre 2002}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat STL Antilles--Guyane  juin 2002 \decofourright \\ Biochimie--Génie biologique}}
    
\vspace{0,5cm}

Calculatrice autorisée 

\vspace{0,5cm}

Durée de l'épreuve : 2 heures \hfill Coefficient  : 2

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Évolution d'une population de levures}

\medskip

Soit la fonction $f$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par : 

\[f(t) =\dfrac{650}{1+ 64\text{e}^{-0,5t}}\]

 et $\mathcal{C}_{f}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal \Oij.
\begin{enumerate}
\item  Reproduire et compléter le tableau suivant en donnant les valeurs arrondies à 1 unité près.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$		&0	&4	&8	&12	&16	&20	&24	&28	&30\\ \hline
$f(t)$	&	&	&	&	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item Déterminer $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} \left(1 + 64\text{e}^{-0,5t}\right)$  ; en déduire $\displaystyle\lim_{t \to + \infty}f(t)$. Donner l'interprétation graphique de ce résultat.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$ est définie sur $[0~;~+ \infty]$ par
		
\[f'(t) = \dfrac{\np{20800}\text{e}^{-0,5t}}{\left(1 + 64\text{e}^{-0,5t} \right)^2}.\]
		\item Étudier le signe de $f'$ suivant les valeurs de $t$.
		\item Dresser le tableau de variations de $f$.
	\end{enumerate}
\item Déterminer une équation de la droite $T$ tangente à la courbe 
$\mathcal{C}_{f}$ au point d'abscisse $0$.
\item Tracer, dans le repère \Oij{} l'asymptote à la courbe 
$\mathcal{C}_{f}$, la tangente $T$ et la courbe $\mathcal{C}_{f}$. On prendra en abscisse $1$~cm pour $2$~unités et en ordonnée $1$~cm pour
$50$~unités.
\item On étudie l'évolution d'une population de levures cultivées dans un milieu non renouvelé. On admet que $f(t)$ est une bonne évaluation du nombre d'individus, par cm$^3,~t$ heures après le début de l'observation.
	\begin{enumerate}
		\item Décrire l'évolution de la population de levures dans le temps.
		\item Quel était le nombre d'individus au début de l'observation ?
		\item Déterminer graphiquement le temps au bout duquel la population dépassera $500$~individus.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 8 points}

\medskip

Lors d'une mission de Médecins Sans Frontières, on a analysé le sang de la population d'une ville sur un échantillon représentatif de \np{8000} ~personnes.
Les résultats concernant la répartition selon les Rhésus $+$ et Rhésus $-$ et selon les quatre groupes sanguins A, B, AB et O sont les suivants :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item Il y a 70\,\% de ces \np{8000}~personnes qui sont Rhésus $+$. Parmi les personnes de Rhésus
$+$, 33\,\% sont de groupe A, 48\,\%  de groupe O et 260 personnes sont de groupe AB.
\item  Parmi les Rhésus négatifs, il y a 17\,\% qui sont de groupe B, $\dfrac{1}{12}$ de groupe AB et il y a autant de personnes de groupe A que de groupe O.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate}
\item Compléter le tableau suivant des effectifs :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\backslashbox{\begin{tabular}{l}Groupe\\ Sanguins\\
\end{tabular}}{Rhésus}&A& B& AB& O& TOTAL\\ \hline
$+$&&&&&\\ \hline
$-$&&&&&\\ \hline
TOTAL&&&&&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item On choisit au hasard une personne de l'échantillon.

On considère les évènements suivants :

E$_{1}$ :  \og La personne observée est de Rhésus $-$ \fg ;

E$_{2}$ : \og La personne observée est de groupe O \fg.
	\begin{enumerate}
		\item  Définir par une phrase en français les évènements suivants :
\begin{center} $\overline{\text{E}_{2}}$ \hspace{1,5cm}; \hspace{1,5cm}  E$_{1} \cap  \text{E}_{2}$ 
\end{center}
		\item Déterminer la probabilité, à $10^{-2}$ près, des évènements suivants :
\begin{center} E$_{2} \quad  ; \quad \overline{\text{E}_{2}} \quad ; \quad \text{E}_{1} \cap \text{E}_{2} \quad ; \quad  \text{E}_{1} \cup \text{E}_{2}$\end{center}
		\item Définir par une phrase en français, l'évènement $\overline{\text{E}_{1}} \cup \overline{\text{E}_{2}}$ et calculer sa probabilité.
	\end{enumerate}
\item Si l'on choisit une personne de groupe O, déterminer à $10^{-2}$ près la probabilité qu'elle soit de Rhésus $+$.
\end{enumerate}
\end{document}