%Origine : http://www.upbm.net/download/down/STL-03.pdf
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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat STL}
\rhead{\small Biochimie, génie biologique}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{septembre 2003}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STL Antilles--Guyane~\decofourright\\juin 2003 Biochimie--Génie biologique}}
    
\vspace{0,25cm}

%Calculatrice autorisée 
%
%\vspace{0,5cm}
%
%Durée de l'épreuve : 2 heures \hfill Coefficient  : 2

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 8 points}

\medskip

%Dans une entreprise qui fabrique des peintures à l'eau et à l'huile de couleur rouge, bleue et verte, le stock des \np{1200}~pots de peinture est réparti de la façon suivante :
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item  Il y a 2 fois plus de pots de peinture à l'huile que de pots de peinture à
%l'eau.
%\item  $30$\,\% des pots de peinture sont de couleur bleue.
%\item  Parmi les pots de couleur bleue, un pot sur neuf contient de la peinture à l'huile.
%\item Il y a $60$ pots de peinture à l'eau de couleur rouge.
%\item  Un quart des pots de peinture à l'huile sont de couleur verte.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate}
\item %Reproduire et compléter le tableau suivant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{2cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{}&Peinture à l'eau& Peinture à l'huile &Total\\ \hline
Rouge&60&560&620\\ \hline
Bleu&320&40&360\\ \hline
Vert&20&200&220\\ \hline
Total&400&800& \np{1200}\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

%Dans les questions suivantes les résultats seront donnés sous forme de fraction irréductible.
\item  %On tire au hasard un pot de peinture dans le stock.
	\begin{enumerate}
		\item  %Calculer la probabilité des évènements suivants :
		
%A : \og Le pot contient de la peinture à l'huile \fg{} ;
$p(\text{A}) = \dfrac{800}{1200} =  \dfrac{2}{3}$.
%B : \og Le pot contient de la peinture de couleur verte \fg.
$p(\text{B}) = \dfrac{220}{1200} =  \dfrac{11}{60}$.
		\item  %On considère les évènements suivants :
		
%\begin{center}A $ \cap$ B \hspace{1.5cm} $\overline{\text{B}}$ \hspace{1.5cm} $\overline{\text{A}} \cap \overline{\text{B}}$ \end{center}
%Définir chacun des évènements par une phrase puis calculer leur probabilité.
A $ \cap$ B : \og Le pot contient de la peinture à l'huile verte \fg{} ;

$p(\text{A} \cap \text{B}) = \dfrac{200}{\np{1200}} = \dfrac{1}{6}$ ;

$\overline{\text{B}}$ : \og La peinture du pot n'est pas verte \fg{} ;

$p\left(\overline{\text{B}} \right) = \dfrac{980}{\np{1200}} = \dfrac{49}{60}$ ;

$\overline{\text{A}} \cap \overline{\text{B}}$  : Le pot contient de la peinture à l'eau qui n'est pas verte \fg.

$p\left(\overline{\text{A}} \cap \overline{\text{B}} \right) = \dfrac{60 + 320}{\np{1200}} = \dfrac{380}{\np{1200}} = \dfrac{19}{60}$.
	\end{enumerate}
\item %On tire maintenant au hasard un pot parmi les pots de peinture à l'eau. Calculer la probabilité de l'évènement C : \og Le pot contient de la peinture de couleur verte \fg.
$p(\text{C}) = \dfrac{20}{400} = \dfrac{1}{20}$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Partie A : Étude d'une fonction}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  %On considère l'équation différentielle : (E)
  
%\[y' = - 0,008 y.\]

%où $y$ est une fonction numérique de la variable $t$ définie et dérivable sur $\R$ et $y'$ est la dérivée de $y$.

%Déterminer la solution $y$ de (E) telle que $y(0) = 10$.
Les solutions de l'équation différentielle sont de la forme $y(t) = C\text{e}^{-0,008t}$ avec $C \in \R$.

Or $y(0)  = 10 \iff C\text{e}^{-0,008 \times 0} = 10 \iff C = 10$.

La solution est donc $y(t) = 10\text{e}^{-0,008t}$
\item  %On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
 
%\[f(t) = 10\text{e}^{-0,008 t}.\]

%On appelle $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de la fonction $f$.
	\begin{enumerate}
		\item  %Déterminer la limite de $f(t)$ quand $t$ tend vers $+ \infty$.
On sait que $\displaystyle\lim_{t \to + \infty}\text{e}^{-0,008 t} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} f(t) = 0$.		
%En déduire que la courbe $(\mathcal{C})$ admet une asymptote dont on donnera une équation.
Graphiquement ceci signifie que l'axe des abscisses d'équation $y = 0$ est asymptote horizontale à la courbe $(\mathcal{C})$ au voisinage de plus l'infini.
		\item  %Calculer $f'(t)$ pour $t$ appartenant à $[0~;~+ \infty[$ puis en déduire son signe en fonction de $t$.
$f$ est dérivable sur $\R$ et sur cet intervalle :

$f'(t) = -0,008 \times 10\text{e}^{-0,008 t} = -0,08\text{e}^{-0,008 t}$.

Comme $\text{e}^{-0,008 t} > 0$ quel que soit le réel $t$, on a $f'(t) < 0$ : la fonction est décroissante sur $\R$. D'où le tableau de variation 
		\item~  %Construire le tableau de variations de $f$ sur cet intervalle.
\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(6,3)
\psframe(6,3) \psline(0,2)(6,2) \psline(0,2.5)(6,2.5)\psline(2,0)(2,3)
\uput[u](1,2.5){$x$}  \uput[u](2.5,2.5){$- \infty$} \uput[u](5.5,2.5){$+ \infty$}
\rput(1,2.25){$f'(x)$}\rput(4,2.25){$-$} \rput(1,1){$f(x)$}
\psline{->}(2.5,1.5)(5.5,0.5) \uput[d](2.2,2){$10$}\uput[u](5.5,0){$0$} 
\end{pspicture}
\end{center}
	\end{enumerate}
\item %Déterminer une équation de la tangente $(\mathcal{T})$ à la courbe $(\mathcal{C})$ au point A d'abscisse 0.
Une équation de $(\mathcal{T})$  est $y = f(0) + f'(0)(x - 0)$.

$f(0) = 10$ et $f'(0) = -0,08 \times 1 = - 0,08$.

Une équation de $(\mathcal{T})$  est donc $y = -0,08x + 10$.
\item %Tracer $(\mathcal{T})$ et la partie de la courbe $(\mathcal{C})$ correspondant aux abscisses positives dans un repère orthogonal.

%(On prendra : sur l'axe des abscisses $1$~cm pour $20$~unités, sur l'axe des ordonnées $1$~cm pour $1$~unité).
Voir à la fin.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B : Application}

\medskip

%Lors d'une hydrolyse du saccharose, on étudie l'évolution de sa concentration en fonction du temps. La concentration en saccharose (exprimée en mol.L$^{-1}$) en fonction du temps $t$ (exprimé en minutes) est donnée par la fonction $f$ de la \textbf{partie A}.
\begin{enumerate}
\item  %Calculer la concentration initiale à l'instant $t = 0$.
On a déjà vu que $f(0) = 10$~mol.L$^{-1}$
\item  %En laissant apparaître les traits de construction, déterminer graphiquement la concentration en saccharose après 2 heures et demie d'hydrolyse.
On trace la droite d'équation $x = 2,5$ qui coupe $(\mathcal{C})$ en un point dont on obtient l'ordonnée en le projetant sur l'axe des ordonnées. On lit à peu près une concentration de 3~mol.L$^{-1}$
\item  %Déterminer graphiquement le temps nécessaire pour que la concentration atteigne la moitié de sa valeur initiale. (Cette valeur initiale et la concentration à l'instant $0$).

%On laissera apparents les traits de construction permettant d'obtenir cette durée.
On trace la droite d'équation $y = 5$ qui coupe $(\mathcal{C})$ en un point dont on obtient l'abscisse  en le projetant sur l'axe des abscisses. On lit à peu près 85~minutes soit 1~h 25~min.
\item  %On considère que la réaction est terminée quand la concentration a atteint le centième de sa valeur initiale.

%Calculer, en heures et minutes, le temps nécessaire pour que la réaction soit terminée.
Le centième de 10 vaut 0,1. Il faut donc résoudre l'équation :

$f(t) = 0,1 \iff 10\text{e}^{-0,008 t} = 0,1 \iff \text{e}^{-0,008 t} = 0,01 \iff \text{e}^{-0,008 t} = \dfrac{1}{100} \iff $ (par croissance de la fonction logarithme népérien) $-0,008t = \ln\left(\dfrac{1}{100}\right) \iff - 0,008t = - \ln 100  \iff  0,008t = \ln 100 \iff t = \dfrac{\ln 100}{0,008} \approx 575,6$~(min) soit à peu près 9~h 36~min.
\end{enumerate}

\medskip

\psset{xunit=0.025cm,yunit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(500,10)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=100]{->}(0,0)(500,10)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=0.1,labels=none]{->}(0,0)(500,10)
\uput[d](150,0){150} 
\psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed,arrowsize=2pt 3]{->}(150,0)(150,3)(0,3)
\psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed,arrowsize=2pt 3]{->}(0,5)(85,5)(85,0)
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\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}